Millmans Theorem

In Millmans Theorem wird die Schaltung als paralleles Netzwerk von Zweigen neu gezeichnet, wobei jeder Zweig einen Widerstand oder eine Reihenbatterie/Widerstands-Kombination enthält. Der Satz von Millman ist nur auf solche Schaltungen anwendbar, die entsprechend neu gezeichnet werden können. Hier noch einmal unsere Beispielschaltung, die für die letzten beiden Analysemethoden verwendet wurde:

Und hier ist dieselbe Schaltung, neu gezeichnet, um den Satz von Millman anzuwenden:

Unter Berücksichtigung der Versorgungsspannung in jedem Zweig und des Widerstands in jedem Zweig sagt uns der Satz von Millman die Spannung über alle Zweige. Bitte beachte, dass ich die Batterie im äußersten rechten Zweig mit „B₃ . beschriftet habe “, um deutlich zu kennzeichnen, dass es sich im dritten Zweig befindet, obwohl es kein „B₂ . gibt ” in der Schaltung!

Gleichung des Satzes von Millman

Der Satz von Millman ist nichts anderes als eine lange Gleichung, die auf jede Schaltung angewendet wird, die als eine Reihe von parallel geschalteten Zweigen gezeichnet ist, wobei jeder Zweig seine eigene Spannungsquelle und seinen eigenen Serienwiderstand hat:

Wenn wir die variablen Terme dieser Gleichung durch die tatsächlichen Spannungs- und Widerstandswerte aus unserer Beispielschaltung ersetzen, erhalten wir den folgenden Ausdruck:

Die endgültige Antwort von 8 Volt ist die Spannung, die über alle parallelen Zweige hinweg gesehen wird, wie folgt:

Die Polarität aller Spannungen im Theorem von Millman bezieht sich auf denselben Punkt. In der obigen Beispielschaltung habe ich den unteren Draht der Parallelschaltung als Bezugspunkt verwendet, und so wurden die Spannungen innerhalb jedes Zweigs (28 für den R1-Zweig, 0 für den R2-Zweig und 7 für den R3-Zweig) eingefügt die Gleichung als positive Zahlen. Als die Antwort 8 Volt (positiv) ergab, bedeutete dies, dass der obere Draht des Stromkreises in Bezug auf den unteren Draht (der ursprüngliche Bezugspunkt) positiv war. Wären beide Batterien verkehrt herum angeschlossen (negatives Ende oben und positives Ende unten), wäre die Spannung für Zweig 1 als -28 Volt, die Spannung für Zweig 3 als -7 Volt in die Gleichung eingetragen worden und die resultierende Antwort von - 8 Volt hätten uns gesagt, dass der obere Draht in Bezug auf den unteren Draht (unser anfänglicher Bezugspunkt) negativ war.

Lösung für Widerstandsspannungsabfälle

Um die Spannungsabfälle des Widerstands aufzulösen, muss die Millman-Spannung (über das parallele Netzwerk) mit der Spannungsquelle in jedem Zweig verglichen werden, wobei das Prinzip der in Reihe addierten Spannungen verwendet wird, um die Größe und Polarität der Spannung an jedem Widerstand zu bestimmen:

Auflösung für Zweigströme

Um nach Zweigströmen aufzulösen, kann jeder Widerstandsspannungsabfall durch seinen entsprechenden Widerstand (I=E/R) geteilt werden:

Bestimmung der Stromrichtung

Die Stromrichtung durch jeden Widerstand wird durch die Polarität an jedem Widerstand bestimmt, nicht durch die Polarität über jede Batterie, da der Strom durch eine Batterie zurückgeführt werden kann, wie es bei B₃ . der Fall ist in der Beispielschaltung. Dies ist wichtig zu beachten, da das Theorem von Millman keinen so direkten Hinweis auf die „falsche“ Stromrichtung liefert wie die Methoden des Branch Current oder Mesh Current. Sie müssen die Polaritäten der Widerstandsspannungsabfälle gemäß dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz genau beachten und daraus die Richtung der Ströme bestimmen.

Das Theorem von Millman ist sehr praktisch, um die Spannung über eine Reihe von parallelen Zweigen zu bestimmen, wo genügend Spannungsquellen vorhanden sind, um eine Lösung durch eine reguläre Serie-Parallel-Reduktionsmethode auszuschließen. Es ist auch in dem Sinne einfach, dass es nicht die Verwendung simultaner Gleichungen erfordert. Sie ist jedoch dadurch eingeschränkt, dass sie nur auf Schaltungen angewendet wird, die neu gezeichnet werden können, um diese Form zu erfüllen. Es kann beispielsweise nicht verwendet werden, um eine unsymmetrische Brückenschaltung zu lösen. Und selbst in Fällen, in denen das Millman-Theorem angewendet werden kann, kann die Lösung einzelner Widerstandsspannungsabfälle für manche etwas entmutigend sein, da die Gleichung des Millman-Theorems nur eine einzige Zahl für die Zweigspannung liefert.

Wie Sie sehen werden, hat jede Netzwerkanalysemethode ihre eigenen Vor- und Nachteile. Jede Methode ist ein Werkzeug, und es gibt kein Werkzeug, das für alle Aufgaben perfekt ist. Der erfahrene Techniker trägt diese Methoden jedoch in seinem Kopf, wie ein Mechaniker einen Werkzeugsatz in seinem Werkzeugkasten trägt. Je mehr Werkzeuge Sie haben, desto besser sind Sie auf alle Eventualitäten vorbereitet.

RÜCKBLICK:

• Der Satz von Millman behandelt Schaltungen als einen parallelen Satz von Reihenkomponentenzweigen.
• Alle in Millmans Theorem eingegebenen und gelösten Spannungen sind am gleichen Punkt in der Schaltung polaritätsbezogen (normalerweise der untere Draht des parallelen Netzwerks).

VERWANDTES ARBEITSBLATT:

• Arbeitsblatt zum Theorem von Millman