Kompensationstheorem in der Netzwerkanalyse: Beweis, Erklärung & gelöste Beispiele

Beweis, Erklärung, Experiment & gelöste Beispiele zum Kompensationstheorem

Kompensationstheorem

In der Netzwerktheorie ist es oft nötig, die Auswirkung einer Impedanzänderung in einem Zweig auf die Ströme und Spannungen im gesamten Netzwerk zu bestimmen. Das Kompensationstheorem liefert hierfür eine elegante Methode.

Es basiert auf dem ohmschen Gesetz: Fließt ein Strom durch einen Widerstand, entsteht ein Spannungsabfall, der der Quellenspannung entgegenwirkt. Das Theorem ersetzt diesen Spannungsabfall durch eine zusätzliche Kompensationsspannungsquelle entgegengesetzter Polarität.

Satz des Kompensationstheorems:

Wird in einem linearen, bilateralen Netzwerk die Impedanz eines Zweiges um ΔZ geändert, so lässt sich die resultierende Stromänderung ΔI in diesem Zweig berechnen, indem man:

1. die ursprünglichen unabhängigen Quellen durch ihre Innenimpedanzen ersetzt (ideale Spannungsquelle → Kurzschluss, ideale Stromquelle → Offen),
2. in dem geänderten Zweig eine Spannungsquelle V_C = I × ΔZ (I = ursprünglicher Zweigstrom) mit Polarität entgegen der ursprünglichen Stromrichtung einsetzt.

Der in diesem modifizierten Netzwerk fließende Strom entspricht exakt der Stromänderung ΔI.

Erklärung am Beispiel

Betrachte einen einfachen Reihenschluss: Spannungsquelle V, zwei Impedanzen Z₁ und Z₂. Strom I fließt im Kreis.

Wird Z₂ um ΔZ erhöht, ändert sich der Strom auf I'. Die Stromänderung ΔI = I – I'.

Gemäß Theorem: Ersetze V durch Kurzschluss (ideale Quelle), füge in den Z₂-Zweig eine Quelle V_C = I·ΔZ entgegen der Originalstromrichtung ein. Der in diesem Ersatznetzwerk fließende Strom I'' ist identisch mit ΔI.

Beweis des Kompensationstheorems

Ursprünglicher Kreis (KVL): V = I(Z₁ + Z₂) → I = V / (Z₁ + Z₂)

Geänderter Kreis (Z₂ → Z₂+ΔZ): V = I'(Z₁ + Z₂ + ΔZ) → I' = V / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

Stromänderung: ΔI = I – I' = V/(Z₁+Z₂) – V/(Z₁+Z₂+ΔZ) = V·ΔZ / [(Z₁+Z₂)(Z₁+Z₂+ΔZ)]

Kompensationskreis (V kurzgeschlossen, V_C = I·ΔZ eingefügt):

KVL: V_C = I''(Z₁ + Z₂ + ΔZ)

Einsetzen von V_C = I·ΔZ = [V/(Z₁+Z₂)]·ΔZ

→ I'' = V·ΔZ / [(Z₁+Z₂)(Z₁+Z₂+ΔZ)] = ΔI   ✓ q.e.d.

Experimenteller Nachweis

Ziel: Kompensationstheorem verifizieren, ΔI bestimmen.

Aufbau: Spannungsquelle, zwei Widerstände (Z₁, Z₂), Amperemeter, Breadboard, Leitungen.

Schritte:

1. Originalschaltung (Fig. 1) aufbauen, Strom I messen.
2. Zweiten Widerstand um ΔR erweitern (Fig. 2), Strom I₁ messen.
3. ΔI = I – I₁ berechnen.
4. Kompensationsschaltung (Fig. 3) aufbauen: Quelle kurzschließen, Kompensationsquelle V_C = I·ΔR in den Zweig mit ΔR einsetzen.
5. Strom I'' in Kompensationsschaltung messen.
6. Vergleichen: I'' ≈ ΔI (Messtoleranzen beachten).

Ergebnis: Übereinstimmung von I'' und ΔI bestätigt das Theorem.

Gelöstes Beispiel 1

Schaltung: 10-V-Quelle, 3 Ω in Reihe mit Parallelschaltung 6 Ω || 3 Ω. Zweig AB ist der 3-Ω-Widerstand in der Parallelschaltung.

1. Strom im Zweig AB bei 3 Ω:

R_eq = 3 + (6||3) = 3 + 2 = 5 Ω → I_ges = 10/5 = 2 A

Stromteiler: I'_AB = 2 A × 6/(6+3) = 1,333 A (4/3 A)

2. Widerstand AB auf 9 Ω ändern, ΔI per Kompensationstheorem:

ΔZ = 9 – 3 = 6 Ω

V_C = I'_AB × ΔZ = (4/3) × 6 = 8 V (Polarität gegen Originalstrom)

Ersatznetz: 10-V-Quelle kurzgeschlossen. Verbleibend: 3 Ω (Reihe) + (6 Ω || 9 Ω) = 3 + 3,6 = 6,6 Ω? Wait – sorgfältig:

Der Kompensationskreis enthält nur die passive Struktur (Quelle kurzgeschlossen) plus V_C in Serie mit dem geänderten Zweig (9 Ω). Der Zweig mit 6 Ω bleibt parallel.

Gesamtwiderstand gesehen von V_C: 3 Ω + (6 Ω || 9 Ω) = 3 + 3,6 = 6,6 Ω? Nein: V_C sitzt in Serie mit dem 9-Ω-Zweig. Der Strom I'' fließt aus V_C durch 9 Ω, dann durch die Parallelkombination 6 Ω || 3 Ω? Lassen Sie uns die Originaltopologie beachten.

Original: V – 3 Ω – (6 Ω || 3 Ω) – zurück zu V. Zweig AB = der 3 Ω in der Parallelschaltung.

Kompensationskreis: V kurzgeschlossen → 3 Ω direkt mit Parallelkombination verbunden. In den 3-Ω-Zweig (nun 9 Ω) wird V_C = 8 V in Serie geschaltet (Polarität gegen I').

Der Strom I'' fließt: aus V_C → 9 Ω → Knoten → teilt sich in 6 Ω und 3 Ω (der obere 3 Ω) → zurück zu V_C.

Ersatzwiderstand für I'': 9 Ω + (6 Ω || 3 Ω) = 9 + 2 = 11 Ω.

I'' = V_C / 11 = 8/11 = 0,7272 A = ΔI.

3. Direkter Beweis mit 9 Ω:

Neuer Gesamtwiderstand: 3 Ω + (6 Ω || 9 Ω) = 3 + 3,6 = 6,6 Ω

I_ges,neu = 10 / 6,6 = 1,5151 A

Stromteiler im Zweig 9 Ω: I''_AB = 1,5151 × 6/(6+9) = 0,6060 A

ΔI = I'_AB – I''_AB = 1,3333 – 0,6060 = 0,7273 A ≈ 0,7272 A ✓

Gelöstes Beispiel 2

Schaltung: Stromquelle 10 A, zwei Parallelzweige: 7 Ω und 3 Ω (später 7 Ω). Gesucht: ΔI im 3-Ω-Zweig beim Wechsel auf 7 Ω.

Original (3 Ω): Stromteiler: I = 10 A × 7/(7+3) = 7 A durch 3 Ω.

Kompensationskreis: Stromquelle → Offen (ideal). ΔZ = 7 – 3 = 4 Ω.

V_C = I × ΔZ = 7 A × 4 Ω = 28 V (Polarität gegen Originalstrom).

Passives Netz: 7 Ω || 7 Ω (der andere Zweig bleibt 7 Ω). V_C in Serie mit dem geänderten 7-Ω-Zweig.

Einzige Masche: V_C treibt Strom durch 7 Ω + 7 Ω = 14 Ω.

ΔI = I'' = 28 V / 14 Ω = 2 A.

Direkter Beweis: Neuer Gesamtwiderstand: 7 Ω || 7 Ω = 3,5 Ω. Spannung an Parallelschaltung: U = 10 A × 3,5 Ω = 35 V.

Strom im geänderten 7-Ω-Zweig: I'' = 35 V / 7 Ω = 5 A.

ΔI = 7 A – 5 A = 2 A ✓

Weiterführende Tutorials zur Netzwerkanalyse:

• Thevenin-Theorem – Schritt für Schritt mit Beispiel
• Norton-Theorem – Schritt für Schritt mit Beispiel
• Superpositionstheorem – Analyse mit Beispiel
• Millman-Theorem – AC/DC-Analyse mit Beispielen
• Substitutions-Theorem – Schritt für Schritt
• Tellegen-Theorem – Beispiele & MATLAB-Simulation
• Leistungsanpassungssatz (Max Power Transfer) für AC & DC