Millmans Theorem erneut besucht

Sie haben sich vielleicht gefragt, woher wir diese seltsame Gleichung zur Bestimmung der „Millman-Spannung“ über parallele Zweige einer Schaltung haben, bei der jeder Zweig einen Serienwiderstand und eine Spannungsquelle enthält:

Teile dieser Gleichung scheinen mit Gleichungen vertraut zu sein, die wir zuvor gesehen haben. Zum Beispiel sieht der Nenner des großen Bruchs auffallend aus wie der Nenner unserer Parallelwiderstandsgleichung. Und natürlich sollten die E/R-Terme im Zähler des großen Bruchs Zahlen für den Strom geben, wobei das Ohmsche Gesetz ist, was es ist (I=E/R).

Nachdem wir nun die Quellenäquivalenzen von Thevenin und Norton behandelt haben, verfügen wir über die notwendigen Werkzeuge, um die Millman-Gleichung zu verstehen. Was die Millman-Gleichung tatsächlich tut, ist, jeden Zweig (mit seiner Reihenspannungsquelle und seinem Widerstand) als einen Thevenin-Ersatzschaltkreis zu behandeln und dann jeden in einen entsprechenden Norton-Schaltkreis umzuwandeln.

Thevenin-Äquivalentkreislauf

Somit werden in der obigen Schaltung die Batterie B1 und der Widerstand R1 als eine Thevenin-Quelle angesehen, die in eine Norton-Quelle mit 7 Ampere (28 Volt / 4 ) parallel zu einem 4 -Widerstand umgewandelt werden soll. Der rechte Zweig wird in eine 7 Ampere Stromquelle (7 Volt / 1 ) und einen 1 Ω Widerstand parallel umgewandelt. Der mittlere Zweig, der überhaupt keine Spannungsquelle enthält, wird parallel zu einem 2 -Widerstand in eine Norton-Quelle von 0 Ampere umgewandelt:

Norton-Äquivalentschaltung

Da Stromquellen ihre jeweiligen Ströme direkt parallel addieren, beträgt der Gesamtstromkreis 7 + 0 + 7 oder 14 Ampere. Diese Addition von Norton-Quellströmen wird im Zähler der Millman-Gleichung dargestellt:

Millman-Gleichung

Alle Norton-Widerstände sind auch in der Ersatzschaltung parallel zueinander, sodass sie sich zu einem Gesamtwiderstand verringern. Diese Verringerung der Quellwiderstände wird im Nenner der Millman-Gleichung dargestellt:

In diesem Fall beträgt der Gesamtwiderstand 571,43 Milliohm (571,43 mΩ). Wir können unser Ersatzschaltbild jetzt als eines mit einer einzigen Norton-Stromquelle und einem Norton-Widerstand neu zeichnen:

Das Ohmsche Gesetz kann uns jetzt die Spannung zwischen diesen beiden Komponenten angeben (E=IR):

Fassen wir zusammen, was wir bisher über die Schaltung wissen. Wir wissen, dass der Gesamtstrom in dieser Schaltung aus der Summe aller Zweigspannungen geteilt durch ihre jeweiligen Widerstände besteht. Wir wissen auch, dass der Gesamtwiderstand ermittelt wird, indem der Kehrwert aller Kehrwerte des Zweigwiderstands gebildet wird. Darüber hinaus sollten wir uns der Tatsache bewusst sein, dass die Gesamtspannung über alle Zweige durch Multiplikation des Gesamtstroms mit dem Gesamtwiderstand (E =IR) ermittelt werden kann. Alles, was wir tun müssen, ist die beiden Gleichungen, die wir zuvor für den Gesamtstromkreis und den Gesamtwiderstand hatten, zusammenzusetzen und sie zu multiplizieren, um die Gesamtspannung zu ermitteln:

Die Millman-Gleichung ist nichts anderes als eine Thevenin-zu-Norton-Umwandlung, die zusammen mit der Parallelwiderstandsformel abgeglichen wird, um die Gesamtspannung über alle Zweige der Schaltung zu ermitteln. Hoffentlich ist jetzt ein Teil des Mysteriums verschwunden!

VERWANDTES ARBEITSBLATT:

• Arbeitsblatt zum Theorem von Millman