Millmans Satz erklärt: Von Thevenin zu Norton und die Millman-Gleichung

Haben Sie sich je gefragt, wie die scheinbar komplexe Formel für die „Millman-Spannung“ hergeleitet wird? Es geht darum, jeden parallelen Zweig – bestehend aus einem Reihenschalter und einer Spannungsquelle – als Thevenin-Äquivalent zu behandeln und diese dann in Norton-Äquivalente umzuwandeln. Der resultierende Ausdruck ist schlicht die bekannte Parallelwiderstands-Berechnung, angewendet auf Stromquellen-Äquivalente.

Der Zähler des großen Bruchs ähnelt der Summe der Zweigströme (I = E/R), während der Nenner dem Kehrwert der Summe der Kehrwert-Widerstände spiegelt – der klassischen Parallelwiderstands-Formel.

Thevenin-Äquivalenter Kreis

Im Beispiel ist Zweig 1 (B1 + R1) eine Thevenin-Quelle von 28 V und 4 Ω. Umwandlung zu Norton gibt eine 7-A-Stromquelle parallel zu 4 Ω. Zweig 2 wird zu einer 7-A-Quelle mit 1 Ω, und der mittlere Zweig – ohne Spannungsquelle – wandelt sich zu einer 0-A-Quelle parallel zu 2 Ω.

Norton-Äquivalenter Kreis

Da sich Parallel-Stromquellen einfach addieren, beträgt der Gesamtkreisstrom 7 A + 0 A + 7 A = 14 A. Diese Addition ist exakt der Zähler in der Millman-Formel.

Millman-Gleichung

Alle Norton-Widerstände sitzen parallel und reduzieren sich auf einen äquivalenten Widerstand:

In diesem Fall beträgt der Parallelwiderstand 571,43 mΩ (0,571 Ω). Der äquivalente Kreis vereinfacht sich zu einer einzelnen Norton-Quelle und -Widerstand:

Anwendung des Ohmschen Gesetzes (E = I×R) gibt die Spannung über dem äquivalenten Paar:

Zusammenfassend: Der Gesamtstrom ist die Summe der Zweigströme (E/R), der Gesamtwiderstand der Kehrwert der Summe der Kehrwert-Zweigwiderstände, und die Gesamtspannung das Produkt dieser beiden Größen. Der Millman-Satz ist schlicht ein prägnanter Ausdruck dieser Beziehung.

Indem man versteht, wie Thevenin- und Norton-Äquivalente sich kombinieren, verschwindet das Mysterium der Millman-Gleichung.

WEITERFÜHRENDES ARBEITSBLATT:

• Millmans Satz Arbeitsblatt