Theorem von Millman – Analysieren von AC- und DC-Schaltungen – Beispiele

Theorem von Millman für AC- und DC-Schaltungen – Schritt für Schritt gelöste Beispiele

Theorem von Millman

Der Satz von Millman wird in der Schaltungsanalyse verwendet, wenn er nur parallele Verzweigungen hat. Daher ist dieser Satz nützlich, um die Spannung am Ende eines Stromkreises zu berechnen. Der Satz von Millman ist nur auf die Schaltung anwendbar, die ein paralleles Netzwerk enthält.

Der Satz von Millman ist eine Kombination aus dem Satz von Thevenin und Theorem von Norton . Manchmal wird dieses Theorem auch als Parallel-Generator-Theorem bezeichnet . Dieses Theorem wurde vom Elektrotechnik-Professor Jacob Millman vorgeschlagen . Und nach seinem Namen heißt dieser Satz Millmans Satz.

Der Satz von Millman besagt Folgendes:

Das bedeutet, dass wir die Spannung über den parallelen Zweigen des gegebenen Netzwerks finden können. Dieses Theorem reduziert die Komplexität des Netzwerks, wenn mehrere Quellen verbunden sind, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Gemäß Satz von Millman; die Spannung über der Last ist;

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Mathematische Gleichung

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, hat die Schaltung eine Anzahl von n Spannungsquellen (E₁ , E₂ , E₃ , …, E_n ). Und der Innenwiderstand der Quellen ist R₁ , R₂ , R₃ , …, R_n beziehungsweise. Nach dem Satz von Millman kann jede Schaltung durch das folgende Netzwerk ersetzt werden. Die folgende Abbildung zeigt das Millman-Ersatzschaltbild.

Jetzt müssen wir den Wert der Spannungsquelle (E) und den äquivalenten Widerstand (R) finden. Die obige Schaltung ähnelt der Ersatzschaltung von Thevenin. Daher können wir sagen, dass die Spannungsquelle (E) dieselbe ist wie die äquivalente Spannung des Thevenin (V_TH ) und der äquivalente Widerstand ist der äquivalente Widerstand von Thevenin (R_TH ).

Wir finden Nortons Ersatzschaltbild für eine einfache Berechnung. Dazu werden wir eine Quellentransformation vornehmen. Und wandeln Sie alle Spannungsquellen in die Stromquellen um.

Wir haben einen Innenwiderstand in Reihe mit der Spannungsquelle geschaltet. Nach der Quellentransformation wird die Spannungsquelle in die Stromquelle umgewandelt und der Innenwiderstand parallel zur Stromquelle geschaltet. Daher wird die obige Schaltung wie in der folgenden Abbildung gezeigt umgewandelt.

Nach dem Ohmschen Gesetz ist der Wert der Stromquellen E₁ /R₁ , E₂ /R₂ , E₃ /R₃ , …, E_n /R_n . Um nun den äquivalenten Strom von Norton zu finden (I_N ), müssen wir die Lastanschlüsse kurzschließen. Und finden Sie den Strom, der durch diesen Zweig fließt.

Bei Knoten A₁ teilt sich der Strom in zwei Pfade auf. Ein Weg führt durch den Widerstand R₁ und der zweite Weg ist von dem kurzgeschlossenen Zweig. Wie wir wissen, fließt der Strom immer durch den niederohmigen Pfad. Daher fließt in diesem Zustand der gesamte Strom durch den kurzgeschlossenen Zweig. Und der Strom, der durch den Widerstand fließt, ist Null.

Das Gleiche passiert für alle Quellen am Knoten A₂ , A₃ , …, A_n . Und der Strom fließt durch alle Widerstände ist Null.

Jetzt bei Knoten A₂ , der Strom, der vom Knoten A₁ kommt hinzugefügt. In ähnlicher Weise am Knoten A3 der Strom, der vom Knoten A₂ kommt hinzugefügt. Daher am Knoten A_n , Strom von allen Knoten hinzugefügt. Der Gesamtstrom ist eine Summe aller Ströme und wird als Norton-Strom (I_N) bezeichnet ).

Also haben wir Nortons äquivalenten Strom gefunden. Jetzt müssen wir den äquivalenten Widerstand von Norton finden. Und dafür müssen wir alle im Stromkreis vorhandenen Energiequellen entfernen, indem wir die Stromquelle öffnen und die Spannungsquelle kurzschließen.

In der obigen Abbildung haben wir nur eine aktuelle Quelle. Wir werden diese Stromquellen durch offene Stromkreise entfernen. Und wir müssen die Last entfernen, um den äquivalenten Widerstand zu berechnen. Daher sieht die verbleibende Schaltung wie in der folgenden Abbildung aus.

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, können wir sehen, dass alle Widerstände parallel geschaltet sind. Und diese parallele Kombination ist gleich dem äquivalenten Widerstand.

R_eq =R_N =R ₁ || R ₂ || R ₃ … || R_n

Fügen Sie diese Werte nun wie in der Abbildung unten gezeigt in Nortons Ersatzschaltbild ein.

Wenn wir dieses Norton-Ersatzschaltbild in das Thevenin-Ersatzschaltbild umwandeln, können wir den Wert von E und R aus dem Norton-Strom I_N berechnen und Norton Resistance R_N .

Nach dem Ohmschen Gesetz;

E =I_N x R_N

Lassen Sie uns die obige Gleichung in allgemeiner Form für eine Anzahl von n Zweigen aufstellen.

Also haben wir den Wert der Spannungsquelle. Und der Wert des äquivalenten Widerstands ist gleich dem äquivalenten Widerstand von Norton. Daher können wir das Millman-Ersatzschaltbild erhalten (Abb. 2).

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Zu befolgende Schritte für das Millman-Theorem

Schritt-1 Der Satz von Milliman ist der einzige, der auf das Netzwerk oder die Schaltung mit einer größeren Anzahl paralleler Zweige anwendbar ist. Wir nehmen also an, dass wir die Schaltung lösen müssen, die eine Reihe paralleler Zweige hat, die eine Spannungsquelle enthalten, die in Reihe mit dem Innenwiderstand geschaltet ist.

Schritt-2 Machen Sie eine Liste der Innenwiderstände oder in Reihe geschalteten Widerstände und der Spannungsquellen.

Schritt-3 Ermitteln Sie den äquivalenten Widerstand (R) über den Lastanschlüssen, indem Sie die Spannungsquellen kurzschließen.

Schritt-4 Wenden Sie den Satz von Millman an und ermitteln Sie den Wert der Spannung (E) an den Lastanschlüssen. Verwenden Sie dazu Gleichung-1. Diese Spannung ist die Spannung über der Last.

Schritt-5 Setzen Sie die Werte von R und E in das Ersatzschaltbild von Millman ein (Abb. 2).

Schritt-6 Wenden Sie KVL auf die Schleife an, um den Strom zu finden, der durch die Last fließt.

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Analyse eines Gleichstromkreises mit dem Satz von Millman

Beispiel #1

Ermitteln Sie den Strom und die Spannung über dem Lastanschluss mithilfe des Satzes von Millman.

Schritt-1 Wenn wir die obige Abbildung beobachten, können wir sagen, dass alle vier Zweige parallel geschaltet sind. Und wir können den Satz von Millman anwenden.

Schritt-2 Außer dem Ladezweig gibt es drei Zweige. Es gibt also drei Spannungen und drei Widerstände, wie unten aufgeführt.

E ₁ =12V und R ₁ =2Ω

E ₂ =0V und R ₁ =4Ω

E ₃ =16V und R ₁ =4Ω

Schritt-3 Um den Ersatzwiderstand zu finden, müssen wir die Spannungsquellen durch Kurzschließen entfernen und die Lastanschlüsse öffnen. Daher ist die verbleibende Zahl in der folgenden Abbildung dargestellt.

R_eq =1Ω

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, sind alle Widerstände parallel. Der äquivalente Widerstand ist also:

Schritt-4 Wenden Sie nun den Satz von Millman an.

In diesem Beispiel haben wir 3 Zweige. Daher verwenden wir n=3.

Setze die oben aufgelisteten Werte in diese Gleichung ein.

E =10V

Dies ist die Spannung am Lastanschluss.

Schritt-5 Setzen Sie diese Werte in das Millman-Ersatzschaltbild ein.

Schritt-6 Nach dem Ohmschen Gesetz

I_L =1A

Daher beträgt die Spannung über der Last 10 V und der Strom, der durch die Last fließt, 1 A.

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Analyse von Wechselstromkreisen mit dem Satz von Millman

Beispiel Nr. 2

Ermitteln Sie den Strom und die Spannung an den Lastanschlüssen mithilfe des Satzes von Millman.

Schritt-1 Wie in der obigen Abbildung gezeigt, sind vier Zweige parallel geschaltet. Daher können wir den Satz von Millman anwenden.

Schritt-2 Wenn wir den Ladezweig nicht betrachten, gibt es drei Zweige. Um die Berechnung zu vereinfachen, listen wir die Spannungen und Impedanzen auf. Im Fall eines Wechselstromkreises müssen wir die Wortimpedanz anstelle des Widerstands verwenden.

Die Werte von Spannungsquellen werden in Polarform angegeben. Die Werte der Impedanzen werden jedoch in rechteckiger Form angegeben. Also müssen wir die Werte der Spannungsquelle in Polarform umwandeln.

V ₁ =12∠60° =6 + j 10.392

V ₂ =9∠0° =9 + j 0

V ₃ =6∠30° =5,196 + j 3

Impedanzen werden in rechteckiger Form angegeben. Also listen wir es so auf, wie es ist.

Z ₁ =6Ω

Z ₂ =j 6Ω

Z ₃ =–j 6Ω

Schritt-3 Finden Sie die äquivalente Impedanz. Wie im obigen Beispiel gezeigt, müssen wir alle Spannungsquellen durch Kurzschließen entfernen. Und die verbleibende Schaltung ist wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Hier werden alle Impedanzen parallel geschaltet. Die äquivalente Impedanz beträgt also:

Z _eq =6Ω

Schritt-4 Wenden Sie nun Millimans Theorem an,

Hier haben wir drei Zweige. Daher ist n gleich 3.

V =6 + 1j 0,392 – j 9 + j 5.196 – 3

V =3 + j 6.588

Nun müssen wir den RMS-Wert finden.

V =7,23 V

Schritt-5 Setzen Sie diese Werte in das Millman-Ersatzschaltbild ein.

Schritt-6 Nach dem Ohmschen Gesetz

I_L =0,9 A

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Einschränkung des Satzes von Millman

Der Satz von Millman ist sehr hilfreich, um das Netzwerk zu lösen. Aber es gibt einige Einschränkungen, die unten aufgelistet sind.

• Dieses Theorem gilt nicht für die Schaltung mit einer abhängigen Quelle zwischen der unabhängigen Quelle.
• Für die Schaltung mit weniger als zwei unabhängigen Quellen ist dieser Satz nicht nützlich.
• Dieser Satz gilt nicht für Schaltungen, die nur Reihenelemente haben.
• Wenn zwischen der Quelle ein Element verbunden ist, kann dieser Satz nicht angewendet werden.

Anwendungen des Satzes von Millman

Der Satz von Millman wird häufig in der Netzwerkanalyse verwendet, um komplexe Schaltungen zu lösen. Die Anwendung des Satzes von Millman ist unten aufgeführt.

• Der Satz von Millman ist am nützlichsten, um die Spannung und den Strom der Lastimpedanz zu ermitteln, falls eine größere Anzahl paralleler Zweige mit einer Reihe von Spannungsquellen verfügbar sind.
• Die Berechnung dieses Theorems ist einfach. Es müssen keine weiteren Gleichungen verwendet werden.
• Dieses Theorem wird verwendet, um die komplexe Schaltung mit komplexen Elementen wie Operationsverstärkern zu lösen.

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