Spin- und Valley-Physik in Silicen: Periodische Potenziale ermöglichen einstellbare Bandlücken und Dirac-Punkte

Zusammenfassung

Wir untersuchen die spin- und valley-abhängige Energiebandstruktur und Transporteigenschaften von Silicen unter einem periodischen Potential, wobei sowohl Spin- als auch Valley-Entartungen aufgehoben werden. Es zeigt sich, dass Dirac-Punkt, Minibänder, Bandlücke, anisotrope Geschwindigkeit und Leitfähigkeit stark von Spin- und Valley-Indizes abhängen. Zusätzliche Dirac-Punkte treten auf, wenn das Spannungspotential zunimmt, wobei die kritischen Werte für Elektronen mit unterschiedlichen Spins und Valleys verschieden sind. Interessanterweise wird die Geschwindigkeit durch das elektrische Feld und das Austauschfeld stark unterdrückt, im Gegensatz zum lückenlosen Graphen. Es ist möglich, einen exzellenten Kollimationseffekt für einen bestimmten Spin in der Nähe eines bestimmten Valleys zu erreichen. Die spin- und valley-abhängige Bandstruktur kann genutzt werden, um den Transport einzustellen, und perfekte Transmissionen werden an den Dirac-Punkten beobachtet. Dadurch wird eine bemerkenswerte Spin- und Valley-Polarisation erzielt, die durch Strukturparameter effektiv geschaltet werden kann. Wichtig ist, dass die Spin- und Valley-Polarisationen durch die Unordnung des periodischen Potentials stark verstärkt werden.

Hintergrund

Zweidimensionale (2D) Dirac-Materialien mit hexagonalen Gitterstrukturen werden seit der Entdeckung von Graphen intensiv erforscht, darunter Silicen [1, 2], Übergangsmetall-Dichalkogenide [3, 4] und Phosphoren [5]. Obwohl Graphen viele besondere Eigenschaften aufweist, ist seine Anwendung durch die Null-Bandlücke und die schwache Spin-Orbit-Wechselwirkung (SOI) begrenzt. Kürzlich wurde ein Silicium-Analogon von Graphen, Silicen, durch epitaktisches Wachstum hergestellt [6–10], und seine Stabilität wurde durch theoretische Studien vorhergesagt [11, 12]. Graphen und Silicen weisen ähnliche Bandstrukturen um die K- und K^′-Valleys auf, und die Niedrigenergiespektren beider werden durch die relativistische Dirac-Gleichung beschrieben [13]. Im Gegensatz zu Graphen besitzt Silicen eine starke intrinsische SOI und eine geknickte Struktur. Die starke SOI kann an den Dirac-Punkten eine Lücke öffnen [13, 14] und zu einer Kopplung zwischen Spin- und Valley-Freiheitsgraden führen. Die geknickte Struktur ermöglicht es, die Bandlücke durch ein externes, senkrecht zur Silicen-Ebene gerichtetes elektrisches Feld zu steuern [14–16]. Zudem ist Silicen vorteilhafterweise besser mit der bestehenden siliziumbasierten Elektroniktechnologie kompatibel. Diese Eigenschaften machen Silicen zu einem hervorragenden Material für die Nanoelektronik der nächsten Generation. Insbesondere wurde ein Silicen-Feldeffekttransistor bei Raumtemperatur durch einen Wachstums-Transfer-Fertigungsprozess erfolgreich im Experiment realisiert [17].

Die Entdeckung 2D-Dirac-Materialien bietet neue Möglichkeiten zur Quantenkontrolle des Valleys. Die beiden äquivalenten Valleys K und K^′ in der ersten Brillouin-Zone können als zusätzlicher Freiheitsgrad neben Ladung und Spin für Quanteninformation und Quantencomputing betrachtet werden [18–20]. Beispielsweise kann der Valley-Freiheitsgrad genutzt werden, um ein Elektronenspin-Qubit zu einem Spin-Valley-Qubit zu erweitern [18]. Daher hat Valleytronik, die darauf abzielt, den Valley-Pseudospin zu erzeugen, zu detektieren und zu manipulieren, erhebliches Interesse geweckt. In Graphen wurden verschiedene Schemata zur Erreichung einer Valley-Polarisation vorgeschlagen, die einzigartige Randmoden [21, 22], trigonale Verformungseffekte [23], topologische Liniendefekte [24, 25], Dehnung [26, 27] und elektrostatische Gates [28] nutzen. Im Vergleich zu Graphen bietet Silicen signifikante Vorteile bei der Untersuchung des Valley-Pseudospins. Es wurde festgestellt, dass Silicen unter Modulation verschiedener externer Felder eine reiche Vielfalt topologischer Phasen und Chern-Zahlen aufweist [13, 16, 29, 30]. In Gegenwart eines elektrischen Feldes E _z und eines Austauschfeldes h untersuchte Ezawa das Phasendiagramm in der E _z −h-Ebene, charakterisiert durch Spin- und Valley-Indizes [16]. Unter Berücksichtigung der Rashba-SOI wird in Silicen aufgrund des topologischen Phasenübergangs ein valley-polarisierter quanten-anomaler Hall-Zustand vorhergesagt [31]. Basierend auf diesem Zustandsübergang wird ein Silicen-basierter Spinfilter mit fast 100 % Spinpolarisation vorgeschlagen, der gegen schwache Unordnung robust ist [32]. Yokoyama untersuchte den ballistischen Transport durch einen ferromagnetischen (FM) Silicen-Übergang und demonstrierte einen kontrollierbaren spin- und valley-polarisierten Strom [33]. In Übergangsmetall-Dichalkogeniden mit gebrochener Inversionssymmetrie ist die Spin-Aufspaltung der Valenzbänder aufgrund der intrinsischen SOI an den beiden Valleys entgegengesetzt wegen der Zeitumkehrsymmetrie [3, 34, 35]. Die gebrochene Inversionssymmetrie kann zu einer valley-abhängigen optischen Selektionsregel führen, die verwendet werden kann, um Träger im K- oder K^′-Valley durch rechts- oder links-zirkular polarisiertes Licht gezielt anzuregen [3, 34]. Experimentell wurde das Signal der Valley-Polarisation durch optische [36, 37] und Transportmessungen [38, 39] nachgewiesen. Ein riesiger nichtlokaler Valley-Hall-Effekt wurde in Bilayer-Graphen unter einem symmetriebrechenden Gate-Elektrischen Feld beobachtet, wobei das nichtlokale Signal bis Raumtemperatur anhält [38]. Eine aktuelle Übersicht zur Valleytronik in 2D-Dirac-Materialien findet sich in Ref. [40].

Supergitter sind eine effektive Methode zur Bandstrukturengineering in Halbleitern und 2D-Materialien [41]. Supergittermuster im Nanomaßstab können im Experiment natürlich entstehen, wenn Graphen oder Silicen auf metallischen Substraten platziert werden [42, 43]. Ein Supergitter in Graphen kann zu einer Renormierung der anisotropen Fermi-Geschwindigkeit [44] und zur Erzeugung neuer Dirac-Punkte im Spektrum [45–47] führen, was auf die chirale Natur zurückzuführen ist und experimentell beobachtet wurde [43, 48, 49]. In Silicen-Supergittern mit elektrischem Feld E _z und Austauschfeld h werden sowohl Spin- als auch Valley-Entartungen aufgehoben. Es wurde bestätigt, dass Minibandstruktur und Minilücken, die durch Supergitter verursacht werden, von Spin- und Valley-Indizes abhängen [50]. Darüber hinaus können Spin- und Valley-Polarisationen durch Silicen-Supergitter verstärkt werden [51]. Wie in Graphen werden auch in Silicen-Supergittern viele neuartige elektronische Strukturen erwartet. Allerdings sind Arbeiten zu Silicen-Supergittern sehr rar [50, 51]. In dieser Arbeit diskutieren wir detailliert einen komplementären Aspekt, nämlich die spin- und valley-abhängige Bandstruktur und Transporteigenschaft von Silicen. Wir fanden heraus, dass Spin- und Valley-Indizes unterschiedliche Auswirkungen auf zusätzliche Dirac-Punkte und anisotrope Geschwindigkeit haben, die durch Strukturparameter eingestellt werden können. Die Geschwindigkeit wird durch das elektrische Feld und das Austauschfeld stark unterdrückt. Eine bemerkenswerte Spin- und Valley-Polarisation wird erreicht, die durch Unordnung stark verstärkt werden kann.

Die Arbeit ist wie folgt gegliedert. Im Abschnitt „Methoden“ präsentieren wir den theoretischen Formalismus und die Dispersionsrelation. Die numerischen Ergebnisse zu Bandstruktur, spin- und valley-polarisiertem Transport werden im Abschnitt „Ergebnisse und Diskussion“ gezeigt. Schließlich fassen wir im Abschnitt „Schlussfolgerungen“ zusammen.

Methoden

In der Einzelteilchen-Näherung gehorcht die elektronische Struktur von Silicen in der Nähe der Dirac-Punkte einem effektiven Dirac-Hamiltonoperator. Das betrachtete System ist ein eindimensionales Silicen-Supergitter, gebildet aus einer Reihe lokaler Potentialbarrieren U, Austauschfelder h und senkrechter elektrischer Felder E _z . U, h und E _z sind nur in den Barrierenbereichen mit Barrierenbreite d _b vorhanden, während U=h=E _z =0 in den Wellenzonen mit Wellenzonenbreite d _w , wie in Abb. 1 dargestellt. Das Supergitter vom Kronig-Penney-Typ variiert nur entlang der x-Richtung, und die Länge einer Einheit beträgt d=d _b +d _w . Ein ähnliches Modell wurde in Refs. [51, 52] diskutiert, die sich hauptsächlich auf thermoelektrischen und elektronischen Transport konzentrieren, nicht auf Bandstruktur und Unordnungseffekt, die in dieser Arbeit untersucht werden. Experimentell kann U durch metallische Gates erzeugt werden und h durch magnetischen Proximitätseffekt mit FM-Isolatoren wie EuO [33], die periodisch auf der Silicen-Schicht abgeschieden sind (siehe Abb. 1). Das senkrecht zum Silicen angelegte elektrische Feld E _z kann ein gestaffeltes Sublattice-Potential Δ _z =ℓE _z induzieren, wobei 2ℓ≈0,46 Å die vertikale Trennung der A- und B-Sites der beiden Sublattices aufgrund der geknickten Struktur beträgt [16]. Daher können die elektronischen Zustände durch den Hamiltonoperator beschrieben werden:

$$ H = \hbar v_{F} (k_{x} \tau_{x} - \eta k_{y} \tau_{y}) + \Delta_{\eta \sigma} \tau_{z} + U_{\sigma}. $$ (1)

Δ _{η σ} =Δ _z −ησλ _SO beschreibt die Bandlücke für verschiedene Spin- und Valley-Indizes, die durch das gestaffelte Potential Δ _z und die SOI λ _SO gesteuert werden kann. U _σ =U−σh ist das effektive Potential für verschiedene Spin-Indizes. η=±1 bezeichnet die K- und K^′-Valleys. σ=±1 bezeichnet Spin-up- und Spin-down-Zustände. v _F ist die Fermi-Geschwindigkeit. In Silicen sind die intrinsischen und extrinsischen Rashba-Effekte sehr klein und können vernachlässigt werden [15].

Wegen der Translationsinvarianz entlang der y-Richtung ist der transversale Wellenvektor k _y erhalten. Die Wellenfunktion für Valley η und Spin σ in jedem Bereich hat die Form Ψ(x,y)=ψ(x)e^{ik _y y} mit

$$ \psi(x) = A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ \frac{\hbar v_{F} k_{-}}{\epsilon_{\eta \sigma}} \end{array}\right) e^{i q_{\eta \sigma} x} + B \left(\begin{array}{cc} 1 \\ \frac{- \hbar v_{F} k_{+}}{\epsilon_{\eta \sigma}} \end{array}\right) e^{-i q_{\eta \sigma} x}. $$ (2)

In den Barrierenbereichen gilt ε _{η σ} =ε _b =(E−U _σ )+Δ _{η σ} und die x-Komponente des Wellenvektors \( q_{\eta \sigma } = q_{b} = \sqrt {(E - U_{\sigma })^{2} - \Delta ^{2}_{\eta \sigma } - (\hbar v_{F} k_{y})^{2}} / \hbar v_{F} \). In den Wellenzonen gilt ε _{η σ} =ε _w =E−ησλ _SO und \( q_{\eta \sigma } = q_{w} = \sqrt {E^{2} - \lambda _{SO}^{2} - (\hbar v_{F} k_{y})^{2}} / \hbar v_{F} \). k_±=q _{η σ} ±iηk _y . Die Transmissionswahrscheinlichkeit T _{η σ} kann mit der Transfermatrix-Methode berechnet werden. Die normierte Leitfähigkeit für einen bestimmten Spin in einem bestimmten Valley bei Nulltemperatur ist gegeben durch

$$ G_{\eta \sigma} (E) = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} T_{\eta \sigma} (E,E\sin \theta) \cos \theta d \theta, $$ (3)

wobei θ der Einfallswinkel bezüglich der x-Richtung ist. Die spin- und valley-auflösbaren Leitfähigkeiten sind definiert als \(G_{\uparrow (\downarrow)} = \left (G_{K \uparrow (\downarrow)} + G_{K^{\prime } \uparrow (\downarrow)} \right) / 2 \) und \(G_{K (K^{\prime })} = \left (G_{K (K^{\prime }) \uparrow } + G_{K (K^{\prime }) \downarrow } \right) / 2\), jeweils. Dann führen wir die Spinpolarisation P _s und Valleypolarisation P _v ein:

$$ P_{s} = (G_{\uparrow} - G_{\downarrow}) / (G_{\uparrow} + G_{\downarrow}), $$ (4) $$ P_{v} = (G_{K} - G_{K^{\prime}}) / (G_{K} + G_{K^{\prime}}). $$ (5)

Basierend auf dem Bloch-Theorem und der Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktionen kann die Dispersionsrelation E(k _x ) für Spin-up- und Spin-down-Elektronen in der Nähe der K- und K^′-Valleys berechnet werden:

$$ \begin{aligned} \cos(k_{x} d) &= \cos(q_{w} d_{w}) \cos(q_{b} d_{b}) \\&\quad- \frac{(\epsilon_{b} q_{w})^{2} + (\epsilon_{w} q_{b})^{2} + (\epsilon_{b} \!- \!\epsilon_{w})^{2} k^{2}_{y}}{2 \epsilon_{w} \epsilon_{b} q_{w} q_{b}} \sin(q_{w} d_{w}) \sin(q_{b} d_{b}), \end{aligned} $$ (6)

wobei k _x die Bloch-Wellenzahl ist. Zur Vereinfachung werden dimensionslose Einheiten eingeführt: \(E \rightarrow E d / \hbar v_{F}\), \(U \rightarrow U d / \hbar v_{F}\), \(\lambda _{SO} \rightarrow \lambda _{SO} d / \hbar v_{F}\), \(\Delta _{z} \rightarrow \Delta _{z} d / \hbar v_{F}\), \(h \rightarrow h d / \hbar v_{F}\), k _y →k _y d, k _x →k _x d, d _w →d _w /d, und d _b →d _b /d. Beachte, dass bei Δ _z =λ _SO =h=0 Gleichung (6) auf die für lückenloses Graphen in einem periodischen Potential reduzierte Form zurückgeht, wo sowohl Spin als auch Valley entartet sind [44–47]. Aus Gleichung (6) geht hervor, dass das Austauschfeld h allein die Spin-Aufspaltung induzieren kann, während das Valley entartet bleibt. Die Valley-Entartung kann jedoch durch das elektrische Feld E _z mit Hilfe der SOI λ _SO aufgehoben werden. Somit können eine Kombination aus Austauschfeld und elektrischem Feld die Spin- und Valley-Entartungen aufheben [16, 31–33], wie in Abb. 1 gezeigt. Im vorgeschlagenen System würden Elektronen mit unterschiedlichen Spins in der Nähe verschiedener Valleys verschiedene Bandstrukturen und Transportmerkmale aufweisen.

Ergebnisse und Diskussion

In diesem Abschnitt verwenden wir die obigen Gleichungen, um Bandstrukturen und Transporteigenschaften für verschiedene Spin- und Valley-Indizes in Silicen-Supergittern zu berechnen. Die Breiten von Barrieren und Wellenzonen werden im Folgenden als gleich angenommen. Die Ergebnisse für den Fall ungleicher Wellenzonen- und Barrierenbreiten (d _b ≠d _w ) sind denen in lückenlosem Graphen ähnlich [47]. Einige Parameter werden als d _b =d _w =50 nm und λ _SO =3,9 meV in Silicen festgelegt, sofern nicht anders angegeben. Wir konzentrieren uns auf die ersten beiden Minibänder (das niedrigste Valenz- und Leitungsminiband) in der Nähe des Fermi-Niveaus.

Spin- und Valley-abhängige Bandstruktur

Zunächst wird der Effekt des Potentials U auf die Minibänder in Abb. 2 dargestellt. Um den gelückten und lückenlosen Fall der Energiebänder gleichzeitig zu diskutieren, setzen wir Δ _z =7,8 meV=2λ _SO . Ohne Potential (U=0) sind das Spin-up-Elektron im K-Valley (K↑ Elektron) und das Spin-down-Elektron im K^′-Valley (K^′↓ Elektron) lückenlos (siehe Abb. 2 (a1, a4)), während das Spin-down-Elektron im K-Valley (K↓ Elektron) und das Spin-up-Elektron im K^′-Valley (K^′↑ Elektron) eine große Lücke aufweisen (siehe Abb. 2 (a2, a3)). Die Minibänder von Spin-up- (oder Spin-down-) Elektronen verschieben sich vom E=0 in den negativen (oder positiven) Energiebereich um h, aufgrund des effektiven Potentials U _σ =U−σh. Die Bandstrukturen von K↑ (oder K↓) Elektronen und K^′↓ (oder K^′↑) Elektronen weisen Spiegelungssymmetrie bezüglich E=0 auf, konsistent mit Gleichung (6). Diese Spiegelungssymmetrie wird jedoch in Gegenwart von U zerstört. Beobachtbarerweise treten mit zunehmender U zusätzliche Dirac-Punkte auf, deren Anzahl dabei zunimmt. Die zusätzlichen Dirac-Punkte können durch die Chiralität der Wellenfunktionen in ihrer Nähe nachgewiesen werden [46]. Die Merkmale der Dirac-Punkte im Silicen-System hängen stark von den Spin- und Valley-Freiheitsgraden ab, wie in Abb. 2 gezeigt. Beispielsweise betragen bei U=135 meV in Abb. 2 (d1–d4) für K↑, K↓, K^′↑ und K^′↓ Elektronen die Anzahlen der Dirac-Punkte 5, 6, 4 bzw. 7. Für spezifische Werte von U, wie U=40,66 meV für K↓ Elektronen (siehe Abb. 2 (b2)) und U=100,63 meV für K^′↑ Elektronen (siehe Abb. 2 (c3)), kann ein neuer Dirac-Punkt bei k _y =0 erzeugt werden, der sich bei weiterer Erhöhung von U in ein Paar aufspaltet, das sich in entgegengesetzte Richtungen vom k _y =0-Punkt wegbewegt, aber immer k _x =0 beibehält. Folglich werden die Bandlücken für K↓ und K^′↑ Elektronen geschlossen (siehe Abb. 2 (b2, c3)), und das gelückte System wird lückenlos. Um den kritischen Wert von U zu finden, setzen wir d _b =d _w und k _x =0. Analog zur Regel in lückenlosem Graphen [47] und unter Berücksichtigung des impliziten Funktionensatzes kann man schließen, dass die longitudinalen Wellenvektoren an den neuen Dirac-Punkten q _b =q _w erfüllen, wenn