Einstellbare optische Bistabilität und Vierwellenmischung in einem photonischen-Molekül-Hohlraum-Optomechanischen System

Zusammenfassung

Wir untersuchen theoretisch nichtlineare optische Phänomene einschließlich optischer Bistabilität und Vierwellenmischung (FWM) in einem kompositen photonischen-Molekül-Hohlraum-optomechanischen System. Der photonische-Molekül-Hohlraum besteht aus zwei Flüstergaleriemodus (WGM)-Mikrohohlräumen, wobei ein WGM-Hohlraum ein optomechanischer Hohlraum mit hoher Hohlraumdissipation κ ist und der andere ein auxiliarer gewöhnlicher optischer Hohlraum mit hoher Güte (Q). Durch Steuerung der Systemparameter wie der Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlräumen, dem Abklingratenverhältnis δ der beiden Hohlräume und der Pumpleistung P kann die optische Bistabilität kontrolliert werden. Weiterhin wird der FWM-Prozess, der die normale Modenaufspaltung zeigt, im FWM-Spektrum unter verschiedenen Parameterregimen untersucht. Unsere Studie könnte weitere Einblicke in nichtlineare Phänomene in kompositen photonischen-Molekül-optomechanischen Systemen bieten.

Hintergrund

Optomechanische Systeme (OMS) [1], bestehend aus optischen Hohlräumen, die an mechanische Resonatoren gekoppelt sind und strahlungsdruckinduzierte kohärente Photon-Phonon-Wechselwirkungen erforschen, haben kürzlich viel Aufmerksamkeit erregt, da sie eine Plattform bieten, mechanische Resonatoren und elektromagnetische Felder zu manipulieren, und den Weg für potenzielle Anwendungen optomechanischer Geräte ebnen, wie Phonon-Laser [2, 3], Sensorik [4], Phonon-Quetschung [5], Erzeugung gequetschten Lichts [6–8], Grundzustandskühlung [9–11] und optomechanisch induzierte Transparenz (OMIT) [12–15]-induzierte Lichtspeicherung in Festkörpergeräten [16, 17]. Obwohl den meisten Arbeiten einzelne OMS gewidmet waren, wird die Realisierung zusammengesetzter OMS durch Integration weiterer optischer oder mechanischer Moden – wie ein mechanischer Modus, der an zwei optische Moden via Strahlungsdruck gekoppelt ist [18, 19] und die phononische Wechselwirkung zwischen zwei mechanischen Resonatoren [20, 21] – zu einem Trend für weitere Untersuchungen der OMS und ihrer potenziellen Anwendungen in der Quanteninformationsverarbeitung. Basierend auf hybriden zusammengesetzten OMS wurden Quantenzustandsübertragung [22], OMIT-ähnliche Phononkühlung [23], optomechanische Dunkle Moden [24] und phonon-vermittelte elektromagnetisch induzierte Absorption [25] breit erforscht. In den zahlreichen zusammengesetzten OMS haben zwei direkt gekoppelte Flüstergaleriemodus (WGM)-Mikrohohlräume, sogenannte photonische Moleküle [26, 27], mit optomechanischem Effekt in einem WGM-Mikrohohlraum viel Aufmerksamkeit erregt. Es gibt zwei Arten von Wechselwirkungen im zusammengesetzten photonischen-Molekül-optomechanischen System: die erste ist die optomechanische Wechselwirkung, induziert durch Strahlungsdruck, die andere ist Hohlraum-Hohlraum-Kopplung via einstellbarem Photonentunneln. Die beiden Wechselwirkungen zusammen führen zu mehreren interessanten Phänomenen einschließlich Phonon-Lasern [2, 3], Chaos [28], Grundzustandskühlung [23] und kohärenter Kontrolle der Lichttransmission [25, 29, 30].

Andererseits bieten OMS auch eine Plattform zur Untersuchung nichtlinearer Effekte der Licht-Materie-Wechselwirkung. Unter allen nichtlinearen Phänomenen in OMS sind optische Bistabilität und Vierwellenmischung (FWM) typische nichtlineare optische Phänomene, die das Interesse der Forscher auf sich ziehen. In jüngster Zeit wurde das bistabile Verhalten der mittleren intrazavitären Photonenzahl in verschiedenen OMS ausführlich untersucht, wie Bose-Einstein-Kondensat-Hohlraum-optomechanische Systeme [31, 32], OMS mit Quantenwellen [33], ultrakalte Atome [34, 35] und andere hybride OMS [36, 37]. Zusätzlich kann FWM als Hohlraum beschrieben werden, der von einem starken Pumplaser mit Frequenz ω_p und einem schwachen Probelenaser mit Frequenz ω_s getrieben wird, und dann würden zwei Pump-Photonen mit einem Probe-Photon über den mechanischen Modus mischen, um ein Idler-Photon bei Frequenz 2ω_p−ω_s in OMS zu erzeugen, was auch in früheren Arbeiten untersucht wurde, wie Modenaufspaltung in stark gekoppelten optomechanischen Systemen [38], kohärent mechanisch getriebene OMS [39, 40] und ein Zweimoden-Hohlraum-optomechanisches System [41]. Optische Bistabilität und FWM wurden jedoch selten in kompositen photonischen-Molekül-OMS untersucht, wo die durch J dargestellte Kopplungsstärke der beiden Hohlräume eine Schlüsselrolle bei der Beeinflussung dieser nichtlinearen optischen Phänomene spielt.

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir ein komposites photonisches-Molekül-Hohlraum-optomechanisches System, bestehend aus zwei WGM-Mikrohohlräumen, wobei ein WGM-Hohlraum ein optomechanischer Hohlraum mit hoher Hohlraumdissipation κ ist und der andere ein auxiliarer gewöhnlicher optischer Hohlraum mit hoher Güte (Q) [42]. Wie Liu et al. [43] demonstrierten, bleibt es schwierig, gleichzeitig hohe Güte und kleines Modenvolumen (V) für denselben Resonatortyp zu erreichen. In der photonischen-Molekül-Optomechanik kann durch Kopplung des ursprünglich optomechanischen Hohlraums c mit hoher Hohlraumdissipation κ (ohne hohe Q) an einen auxiliar Hohlraummodus a mit hoher Q aber großem V die Anforderung an hohe Q und kleines V für denselben Hohlraum beseitigt werden. Wir führen einen Verhältnisparameter δ=κ_c/κ_a ein, wobei κ_c=ω_c/Q_c und κ_a=ω_a/Q_a die Abklingraten der Hohlraummoden c und a (ω_c und ω_a sind die Frequenzen von Hohlraum c und a) sind, um den nichtlinearen Effekt in der photonischen-Molekül-Optomechanik zu untersuchen. Hier wird der optomechanische Hohlraum c vom Pumplaser getrieben, während der auxiliar Hohlraum a vom Probelenaser getrieben wird. Hohlraum c ist über evaneszentes Feld an Hohlraum a gekoppelt, und die Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlräumen kann durch Variation der Trennung zwischen den beiden WGM-Hohlräumen kontrolliert werden [26]. Wir untersuchen die optische Bistabilität und FWM basierend auf dem kompositen photonischen-Molekül-OMS durch Variation der Kopplungsstärke J zwischen den Hohlraumresonatoren, und ein einstellbares und kontrollierbares optisches Bistabilitäts- und FWM-Verhalten kann durch Manipulation der Kopplungsstärke J erreicht werden. Weiterhin kann der FWM-Prozess durch Anpassung des Parameters δ und der Pumpleistung P kontrolliert werden.

Modell und Theorie

Die photonische-Molekül-Optomechanik ist in Abb. 1 dargestellt. Der erste Hohlraum unterstützt einen optischen Modus c mit der Frequenz ω_c, getrieben vom Pumplaser mit Frequenz ω_p und Amplitude ε_p = √(P/ħω_p). Der Strahlungsdruck induziert einen mechanischen Modus b mit der mechanischen Resonanzfrequenz ω_m, und die Einzelphoton-optomechanische Kopplungsrate ist g=g₀x₀ (g₀=ω_c/R und R ist der Radius von Hohlraum c), und die Nullpunktsfluktuation der mechanischen Oszillatorposition ist x₀=√(ħ/2Mω_m) [13]. Dann ist der Hamiltonian von Optomechanik c [13]

Schematisches Diagramm des kompositen photonischen-Molekül-Hohlraum-optomechanischen Systems einschließlich zwei WGM-Hohlräume. Der erste WGM-Hohlraum mit hoher Hohlraumdissipation κ ist optomechanischer Hohlraum c, getrieben von einem Pumplaser, und Strahlungsdruckkraft induziert den mechanischen Modus b, gekoppelt an Hohlraum c mit Kopplungsstärke g. Der zweite WGM-Hohlraum a ist ein auxiliar Hohlraum, getrieben von einem Probelenaser mit hoher Güte (Q). Der optomechanische Hohlraum c ist über evaneszentes Feld an Hohlraum a gekoppelt, und wir führen einen Parameter J ein, um die Kopplungsstärke der beiden Hohlräume zu beschreiben, die durch Variation der Trennung zwischen ihnen kontrolliert werden kann [26]

$$ H_{c}=\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right)+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right), $$ (1)

wobei Δ_c=ω_c−ω_p die Detuning des Pumpfeldes und Hohlraum c ist. c und c† repräsentieren die bosonischen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren des Hohlraummodus c, und b†(b) ist der Erzeugungs-(Vernichtungs-)Operator des mechanischen Modus. Der auxiliar Hohlraum unterstützt nur einen optischen Modus a, getrieben vom Probelenaser mit Frequenz ω_s, und seine Amplitude ε_s ist ε_s=√(P_s/ħω_s). Wir führen die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren a und a† ein, um Hohlraum a zu beschreiben, und sein Hamiltonian ist [13]

$$ H_{a}=\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+i\hbar \sqrt{\kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right) $$ (2)

wobei Δ_a=ω_a−ω_p das Detuning des Pumpfeldes und Hohlraum a ist, und Ω=ω_s−ω_p das Pumpe-Probe-Detuning. Wir verwenden zwei konische Fasern, um Hohlraummodus a und Hohlraummodus c als optischen Wellenleiter mit den Kopplungsraten κ_ae und κ_ce anzuregen. Der optomechanische Hohlraum c koppelt an Hohlraum a durch ein evaneszenten Feld, und die Hohlraum-Hohlraum-Kopplungsrate J kann effizient durch Änderung des Abstands zwischen ihnen abgestimmt werden [26]. Wenn die Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlräumen schwach ist, kann die Energie von Hohlraum c nicht leicht an Hohlraum a übertragen werden. Umgekehrt, wenn die Kopplungsstärke J mit abnehmendem Abstand der beiden Hohlräume zunimmt, kann die Energie leicht zwischen den beiden Hohlräumen fließen. Die linear gekoppelte Wechselwirkung zwischen den beiden Hohlräumen wird beschrieben durch [26] ħJ(a†c+ac†). Dann kann der Gesamthamiltonian im rotierenden Wellenrahmen der Pumpfrequenz ω_c geschrieben werden [3, 13, 23]

$$ \begin{aligned} H =&\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b+\hbar J\left(a^{\dag }c+ac^{\dag }\right)-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right) \\ &+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right)+i\hbar \sqrt{ \kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right). \end{aligned} $$ (3)

Die Abklingrate der beiden Hohlraummodi κ=κ_c=κ_a=κ_ex+κ_0 mit der intrinsischen Photonenverlustrate κ_0, und κ_ex beschreibt die Rate, mit der Energie den optischen Hohlraum in ausbreitende Felder verlässt [13]. Hier, zur Vereinfachung, betrachten wir nur die Bedingung κ_ex=κ_0=κ_ae=κ_ce, und wir betrachten ω_c=ω_a.

Wir verwenden die Heisenberg-Bewegungsgleichung iħ ∂_t O=[O,H] (O=a,c,X) und führen entsprechende Dämpfungs- und Rauschoperatoren ein, und erhalten die quantenmechanischen Langevin-Gleichungen wie folgt [44]:

$$ \partial_{t}a=-(i\Delta_{a}+\kappa_{a})a-iJc+\sqrt{\kappa_{ae}} \varepsilon_{s}e^{-i\Omega t}+\sqrt{2\kappa_{a}}a_{\text{in}}, $$ (4)

$$ \partial_{t}c=-(i\Delta_{c}+\kappa_{c})c+igcX-iJa+\sqrt{\kappa_{ce}} \varepsilon_{p}+\sqrt{2\kappa_{c}}c_{\text{in}}, $$ (5)

$$ \partial_{t}^{2}X+\gamma_{m}\partial_{t}X+\omega_{m}^{2}X=2g\omega_{m}c^{\dagger }c+\xi, $$ (6)

wobei X=b†+b der Positionsoperator ist und γ_m die Abklingrate des Resonators. a_in und c_in, die die Langevin-Rauschen beschreiben, folgen den Relationen [45]

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)a_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)c_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle =\delta\left(t-t^{^{\prime }}\right), \end{array} $$ (7)

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)\right\rangle =0. \end{array} $$ (8)

Der Resonatormodus wird durch einen stochastischen Kraftprozess mit der folgenden Korrelationsfunktion beeinflusst [46]

$$ \left\langle \xi^{\dagger }(t)\xi \left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle \,=\,\frac{ \gamma_{m}}{\omega_{m}}\int\! \frac{d\omega }{2\pi }\omega e^{-i\omega \left(t-t^{^{\prime }}\right)}\left[1\,+\,\coth \left(\frac{\hbar \omega }{2\kappa_{B}T}\right)\right], $$ (9)

wobei k_B die Boltzmann-Konstante und T die Reservoirtemperatur angibt.

Wenn der optomechanische Hohlraum c von einem starken Pumplaser getrieben wird, kann der Heisenberg-Operator in zwei Teile aufgeteilt werden, d.h. stationärer Mittelwert O_0 und kleine Fluktuation δO mit Nullmittelwert 〈δO〉=0. Die stationären Werte bestimmen die intrazavitäre Photonenzahlen (n_a=|a_s|² und n_c=|c_s|²) bestimmt durch

$$ n_{c}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right) }{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, $$ (10)

$$ n_{a}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}J^{2}}{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, $$ (11)

wobei Δ' = Δ_c - 2g²n_c/ω_m. Diese Form gekoppelter Gleichungen ist charakteristisch für optische Bistabilität. Im folgenden Abschnitt werden wir die Parameter wie Pumpleistung P, Hohlraum-Hohlraum-Kopplungsstärke J und Verhältnisparameter δ diskutieren, die die optische Bistabilität beeinflussen. Beibehaltung nur der linearen Terme der Fluktationsoperatoren und Machen des Ansatzes [47] 〈δa〉=a_+e^{−iΩt}+a_−e^{iΩt}, 〈δc〉=c_+e^{−iΩt}+c_−e^{iΩt}, 〈δX〉=X_+e^{−iΩt}+X_−e^{iΩt}, erhalten wir dann

$$ a_{-}=\frac{\Lambda_{1}}{\Lambda_{2}-\Lambda_{3}}, $$ (12)

wobei Λ_1=igc_s²η*J²ε_s√κ_ae, Λ_2=(iΔ_a2+κ_a)(iΔ_2+κ_c)[(iΔ_1−κ_c)(iΔ_a1−κ_a)−J²], Λ_3=−g²η*²n_c²(iΔ_a1−κ_a)(iΔ_a2+κ_a), Δ_a1=Δ_a−Ω, Δ_a2=Δ_a+Ω, Δ_1=Δ'−Ω+gηn_c, Δ_2=Δ'+Ω+gη*n_c, und η=2gω_m/(ω_m²−iγ_mΩ−Ω²). Mit der Standard-Ein-Ausgangsrelation [45] a_out(t)=a_in(t)−√(2κ_a)a(t), wobei a_out(t) der Ausgabe-Feldoperator ist, erhalten wir den Erwartungswert der Ausgabe-Felder:

$$ {\begin{aligned} a_{\text{out}}(t)&=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i(\delta +\omega_{p})t}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}e^{-i(\delta -\omega_{p})t} \\ &=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i\omega_{s}t}-\sqrt{\kappa_{ae}} a_{-}e^{-i(2\omega_{p}-\omega_{s})t} \end{aligned}} $$ (13)

wobei a_out(t) der Ausgabe-Feldoperator ist. Gleichung (13) zeigt, dass das Ausgabe-Feld aus drei Termen besteht. Der erste Term entspricht dem Ausgabe-Feld bei Antriebsfeld mit Amplitude ε_p und Frequenz ω_p. Der zweite Term entspricht dem Probefeld mit Frequenz ω_s, bezogen auf das Anti-Stokes-Feld, resultierend in OMIT, was in verschiedenen optomechanischen Systemen untersucht wurde [12–15, 48]. Der letzte entspricht dem Ausgabe-Feld mit Frequenz 2ω_p−ω_s, bezogen auf das Stokes-Feld, das FWM anzeigt. Im FWM-Prozess interagieren zwei Photonen des Antriebsfeldes mit einem einzelnen Photon des Probefeldes, jeweils mit Frequenzen ω_p und ω_s, und erzeugen ein neues Photon der Frequenz 2ω_p−ω_s. Die FWM-Intensität in Bezug auf das Probefeld kann definiert werden als [49]

$$ \text{FWM}=\left\vert \frac{\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}}{\varepsilon_{s}}\right\vert^{2}\text{,} $$ (14)

die durch die optomechanische Kopplungsstärke g, die Pumpleistung P, die Hohlraum-Hohlraum-Kopplungsstärke J und das Abklingratenverhältnis δ der beiden Hohlräume bestimmt wird.

Numerische Ergebnisse und Diskussionen

In diesem Abschnitt untersuchen wir zunächst das bistabile Verhalten der stationären Photonenzahlen n_c und n_a der beiden Hohlräume gemäß Gleichungen (10) und (11). Da es zu umständlich ist, den analytischen Ausdruck der Bistabilitätsbedingung zu geben, präsentieren wir hier die numerischen Ergebnisse. Wir wählen Parameter ähnlich denen in Ref. [13, 26]: die Parameter von Hohlraum c als [13]: g₀=12 GHz/nm, γ_m=41 kHz, ω_m=51,8 MHz, κ_c=5 MHz, m=20 ng, λ=750 nm, und Q=1500, und die Größenordnung der Pumpleistung ist Milliwatt (1 mW =10⁻³ W). Für Hohlraum a betrachten wir ω_a=ω_c und κ_c=κ_a. Die Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlraummodi spielt eine Schlüsselrolle und kann das bistabile Verhalten und FWM beeinflussen. Es wurde experimentell berichtet, dass die Kopplungsstärke J vom Abstand zwischen Hohlraum c und Hohlraum a abhängt [26] (auch die Kopplungsstärke nimmt exponentiell ab mit zunehmendem Abstand der beiden Hohlräume). Hier erwarten wir die Kopplungsstärke J ∼ √(κ_c κ_a).

Gleichungen (10) und (11), die die intrazavitäre Photonenzahlen des optomechanischen Hohlraums c und des gewöhnlichen Hohlraums a geben, sind gekoppelte kubische Gleichungen, die bistabiles Verhalten zeigen. Wir betrachten zunächst die Bedingung J=0, d.h. nur ein einzelner optomechanischer Hohlraum c, und Abb. 2a zeigt die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c des optomechanischen Hohlraums c als Funktion des Hohlraum-Pump-Detunings Δ_c=ω_c−ω_p mit drei Pumpleistungen. Wenn die Pumpleistung kleiner als P=0,4 mW ist (wie P=0,1 mW), ist die Kurve fast Lorentzisch. Mit zunehmender Leistung P auf einen kritischen Wert zeigt der optomechanische Hohlraum c bistabiles Verhalten, wie in den Kurven für P=0,4 mW bis P=0,8 mW gezeigt, wo die ursprünglich Lorentzische Resonanzkurve asymmetrisch wird. Die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c hat drei reelle Wurzeln (Gl. (10)), und die größte und kleinste Wurzel sind stabil, die mittlere instabil, was in einem Oval in Abb. 2a dargestellt ist. Wenn wir jedoch den optischen Hohlraum a betrachten, d.h. J≠0 wie J=1,0 κ_a, wird das bistabile Verhalten in gewisser Weise gebrochen, wie in Abb. 2b gezeigt. Das liegt daran, dass wenn optomechanischer Hohlraum c an optischen Hohlraum a gekoppelt ist, Teile der intrazavitäre Photonenzahl n_c des optomechanischen Hohlraums c in optischen Hohlraum a gekoppelt werden, und daher n_c abnimmt und dann zu einem zerstörten bistabilen Verhalten führt. Abbildung 2c zeigt die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c des optomechanischen Hohlraums c als Funktion der Hohlraum-Hohlraum-Kopplungsstärke J mit drei Pumpleistungen. Offensichtlich hängt die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c von der Pumpleistung P ab, und n_c nimmt immer ab mit zunehmender Kopplungsstärke J, weil Teile der Photonenzahl in optischen Hohlraum a gekoppelt werden. Weiterhin ist größere Hohlraum-Pump-Detuning vorteilhaft, um optisches bistabiles Verhalten mit zunehmender Pumpleistung P zu beobachten. Abbildung 2d zeigt die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c versus die Pumpleistung P mit Hohlraum a an roten Seitenbändern (Δ_a=ω_m) und blauen Seitenbändern (Δ_a=−ω_m), jeweils, und die Bistabilität zeigt Hysterese-Schleifen-Verhalten [50]. Allerdings unterscheiden sich unsere Ergebnisse von der vorherigen Arbeit an Zweimoden-optomechanischen Systemen ohne Berücksichtigung der Hohlraum-Hohlraum-Kopplung J. Daher spielt die Kopplungsstärke J eine wichtige Rolle in der Bistabilität.

a Mittlere intrazavitäre Photonenzahl des optomechanischen Hohlraums c als Funktion des Hohlraum-Pump-Detunings Δ_c mit drei Pumpleistungen bei J=0. b Mittlere intrazavitäre Photonenzahl des optomechanischen Hohlraums c als Funktion des Hohlraum-Pump-Detunings Δ_c mit mehreren verschiedenen Pumpleistungen unter J=1,0 κ_a. c Mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c des optomechanischen Hohlraums c als Funktion von J mit drei Pumpleistungen. d Mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c als Funktion von P für Δ_c=Δ_a=ω_m

Wir untersuchen weiter das bistabile Verhalten des optischen Hohlraums a mit Gl. (11). Abbildung 3a gibt die intrazavitäre Photonenzahl n_a des gewöhnlichen Hohlraums a als Funktion des Hohlraum-Pump-Detunings Δ_a=ω_a−ω_p mit Pumpleistungen P=0,1 mW, P=1,0 mW und P=10 mW bei J=1,0 κ_a. Es ist offensichtlich, dass optischer Hohlraum a nicht als bistabiles Verhalten auftreten kann, da die intrazavitäre Photonenzahl n_a von Hohlraum a aus Hohlraum c die Bistabilität bei niedriger Pumpleistung nicht aufrechterhalten kann. Tatsächlich kann nur hohe Pumpleistung P Hohlraum a bistabiles Verhalten zeigen, weil nur hohe Pumpleistung getriebener optomechanischer Hohlraum c viel mehr Photonenzahl in optischen Hohlraum a koppeln kann. Wir zeichnen auch die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_a des optischen Hohlraums a als Funktion der Kopplungsstärke J unter drei Pumpleistungen wie in Abb. 3b gezeigt. Es ist klar, dass bei J=0, n_a=0, weil es keine Kopplung zwischen den beiden Hohlräumen bei J=0 gibt, und bei dieser Bedingung kein Photon in optischen Hohlraum a koppelt. Mit zunehmender Kopplungsstärke J (abnehmender Abstand der beiden Hohlräume [26]) nehmen die intrazavitäre Photonenzahlen n_a des gewöhnlichen optischen Hohlraums a zu, aber nicht immer. Es gibt eine optimale Kopplungsstärke J für den maximalen Wert von n_a unter verschiedenen Pumpleistungen, und dann wird n_a mit zunehmendem J abnehmen. Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, dass die Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlräumen eingestellt werden kann [26].

a Mittlere intrazavitäre Photonenzahl des gewöhnlichen Hohlraums a als Funktion des Hohlraum-Pump-Detunings Δ_a mit drei Pumpleistungen bei J=1,0 κ_a. b Mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_a als Funktion von J mit drei Pumpleistungen. c Mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c als Funktion von Δ_c mit drei Verhältnisparametern δ. d Mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c als Funktion von δ für zwei J

Zusätzlich betrachten wir einen Verhältnisparameter δ=κ_c/κ_a (κ_c=ω_c/Q_c und κ_a=ω_a/Q_a), um die Parameter der beiden Hohlräume zu untersuchen, die das bistabile Verhalten beeinflussen. κ ist die Abklingrate des Hohlraummodus, die mit der Frequenz und Güte des Hohlraums zusammenhängt. Wie wir wissen, ist es schwierig, hohe Q und kleines V gleichzeitig für einen Hohlraummodus aufgrund der Beugungsgrenze zu erreichen. Für einen optischen Hohlraum entspricht ein kleineres V einer größeren strahlenden Abklingrate, was zu einer niedrigeren Q führt. Obwohl verschiedene Hohlraumtypen ihre eigenen einzigartigen Eigenschaften besitzen, besteht das Gewicht zwischen hoher Q und kleinem V immer noch. Wenn jedoch durch Kopplung des ursprünglich OMS c mit hoher Hohlraumdissipation an einen auxiliar Hohlraummodus a mit hoher Q aber großem V, wird das bistabile Verhalten signifikant ändern. Abbildung 3c zeigt die mittlere intrazavitäre Photonenzahl n_c des optomechanischen Hohlraums c als Funktion von Δ_a unter mehreren verschiedenen δ=κ_c/κ_a mit unveränderter Kopplungsstärke J=1,0 κ_a. Wir finden, dass bistabiles Verhalten auftreten kann, aber die intrazavitäre Photonenzahl n_c ist klein bei δ=0,1 mit J=2 κ_a, d.h. κ_c=0,1 κ_a, was bedeutet Q_c>Q_a. Wenn der Verhältnis δ von δ=1,0 auf δ=2,0 erhöht wird, erfährt die intrazavitäre Photonenzahl n_c den Wechsel von bistabilem Verhalten zu fast Lorentzischem Linienprofil. Das heißt, wenn Q_c

Andererseits, als typisches nichtlineares optisches Phänomen, untersuchen wir auch den FWM-Prozess mit Gl. (14) im photonischen-Molekül-optomechanischen System. Abbildung 4 zeigt das FWM-Spektrum als Funktion des Probe-Hohlraum-a-Detunings Δ_s=ω_s−ω_a bei Δ_a=Δ_c=0 unter verschiedenen Parameterregimen. Abbildung 4a–d zeigt die FWM-Spektrenentwicklung unter verschiedenen Pumpleistungen P bei J=1,0 κ_a. Es ist klar, dass die FWM-Spektren drei Peaks präsentieren, wo ein Lorentzscher Peak nahe Δ_s=0 und zwei Modenaufspaltungs-Peaks bei ±ω_m lokalisiert sind, und die FWM-Intensität nimmt mit zunehmender Pumpleistung ab. Abbildung 4e–h zeigt die Änderung der FWM-Spektren von J=0,5 κ_a bis J=2,0 κ_a bei Pumpleistung P=1,0 mW. Mit zunehmender Kopplungsstärke J von J=0,5 κ_a bis J=2,0 κ_a ändern sich die FWM-Spektren signifikant. Die Phänomene können mit einem bekleideten-Zustands-Bild erklärt werden, das in einzelnem Hohlraum-optomechanischem System demonstriert wurde [51].

a–d FWM-Intensität als Funktion des normierten Probe-Pumpe-Detunings Δ_s für verschiedene Pumpleistungen bei J=1,0 κ_a. e–h FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für verschiedene J bei Pumpleistung P=1,0 mW

Wir untersuchen dann die FWM-Spektren bei Δ_a=Δ_c≠0. Abbildung 5a–d gibt die FWM-Spektren am roten Seitenband, d.h. Δ_a=Δ_c=ω_m unter unverändertem J=1,0 κ_a mit zunehmender Pumpleistung von P=1,0 bis P=10 mW. Zwei normale Modenaufspaltungs-Peaks erscheinen in den FWM-Spektren lokalisiert bei ±ω_m jeweils, und die FWM-Intensität nimmt mit zunehmender Pumpleistung ab. Abbildung 5e–h zeigt die FWM-Spektren am roten Seitenband, d.h. Δ_a=Δ_c=ω_m unter festgelegter Pumpleistung P=2,0 mW mit zunehmender Kopplungsstärke J von J=0,5 κ_a bis J=2,0 κ_a. Offensichtlich nimmt die FWM-Intensität mit zunehmender Kopplungsstärke J zu, und größeres J bedeutet mehr Photonenzahlen, die in optischen Hohlraum a gekoppelt werden. Wenn das Detuning Δ_a und Δ_c vom roten Seitenband zum blauen Seitenband geändert wird, d.h. Δ_a=Δ_c=−ω_m, ändert sich die Entwicklung der FWM-Spektren prominent. Abbildung 5i–l zeigt die FWM-Spektren am blauen Seitenband unter vier verschiedenen Pumpleistungen, und die FWM-Intensität nimmt mit zunehmender Pumpleistung sogar am blauen Seitenband ab. Außer zwei normalen Modenaufspaltungs-Peaks, lokalisiert bei ±ω_m, erscheinen auch zwei scharfe Seitenband-Peaks in den FWM-Spektren und ihre Lage ist mit der Pumpleistung verbunden. In Abb. 5m–p diskutieren wir auch die Kopplungsstärke J, die die FWM-Spektren unter dem blauen Seitenband beeinflusst. Ob andere scharfe Seitenband-Peaks in den FWM-Spektren erscheinen, hängt von der Kopplungsstärke J ab.

a–d FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für verschiedene Pumpleistungen P am roten Seitenband (Δ_c=Δ_a=ω_m) und J=1,0 κ_a. e–h FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für verschiedene J unter dem roten Seitenband und der Pumpleistung P=2,0 mW. i–l FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für verschiedene Pumpleistungen P am blauen Seitenband (Δ_c=Δ_a=−ω_m) und J=1,0 κ_a. m–p FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für verschiedene J unter dem blauen Seitenband und der Pumpleistung P=2,0 mW

Weiterhin, da der Verhältnisparameter δ=κ_c/κ_a die intrazavitäre Photonenzahl im kompositen photonischen-Molekül-OMS beeinflussen kann, können die FWM-Spektren durch Kontrolle des Parameters δ manipuliert werden. Abbildung 6a–h präsentiert die FWM-Spektren bei unveränderten Parametern J=2,0 κ_a und P=10 mW unter dem roten Seitenband mit zunehmendem Verhältnis δ von δ=0,05 bis δ=3,0, und die FWM-Intensität nimmt mit zunehmendem Verhältnis δ ab. Während im blauen Seitenband andere scharfe Seitenband-Peaks in den FWM-Spektren erscheinen wie in Abb. 6i–p gezeigt, und die FWM-Intensität nimmt auch mit zunehmendem Verhältnis δ ab. Daher kann mit Kontrolle der Hohlraumparameter, wie der Abklingrate κ oder der Q der Hohlräume, der FWM im kompositen photonischen-Molekül-OMS direkt erreicht werden.

a–h FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für mehrere verschiedene Verhältnisparameter δ am roten Seitenband (Δ_c=Δ_a=ω_m) und J=2,0 κ_a, P=10 mW. i–p FWM-Intensität als Funktion von Δ_s für mehrere verschiedene Verhältnisparameter δ am blauen Seitenband (Δ_c=Δ_a=−ω_m) und J=2,0 κ_a, P=10 mW

Schlussfolgerung

Wir haben die optische Bistabilität und Vierwellenmischung in einem kompositen WGM-Hohlraum photonischen-Molekül-optomechanischen System untersucht, das einen optomechanischen Hohlraum mit hoher Hohlraumdissipation umfasst, der an einen auxiliar Hohlraum mit hoher Güte gekoppelt ist. Wir untersuchten die optische Bistabilität unter verschiedenen Parameterregimen wie der Kopplungsstärke J zwischen den beiden Hohlräumen und dem Abklingratenverhältnis δ der beiden Hohlräume im System. Die optische Bistabilität kann durch das Pumpfeld, das den optomechanischen Hohlraum antreibt, angepasst werden, und die intrazavitäre Photonenzahl in den beiden Hohlräumen wird durch die Kopplungsstärke J bestimmt. Weiterhin haben wir auch demonstriert, wie der FWM-Prozess im photonischen-Molekül-optomechanischen System unter verschiedenen Antriebsbedingungen (rotes Seitenband und blaues Seitenband) und verschiedenen Parameterbedingungen (Kopplungsstärke J und Verhältnis δ) kontrolliert werden kann. Numerische Ergebnisse zeigen, dass der FWM-Prozess mit solchen Parametern kontrolliert werden kann. Diese Ergebnisse sind vorteilhaft für ein besseres Verständnis der nichtlinearen Phänomene im kompositen photonischen-Molekül-optomechanischen System.

Abkürzungen

C-OMS

Hohlraum-optomechanische Systeme (Cavity optomechanics systems)

FWM

Vierwellenmischung (Four-wave mixing)

OMS

Optomechanische Systeme (Optomechanics systems)

OMIT

Optomechanisch induzierte Transparenz (Optomechanically induced transparency)

Q

Güte (Quality)

V

Volumen (Volume)

WGM

Flüstergaleriemodus (Whispering gallery mode)