Nicht-Beachtete Zellen in Karnaugh-Diagrammen verstehen

Bisher haben wir Logikreduktionsprobleme behandelt, bei denen jede Eingangskombination vollständig spezifiziert war. Eine 3-Variable-Wahrheitstabelle enthält beispielsweise 2³ = 8 Einträge, und das entsprechende Karnaugh-Diagramm ist vollständig befüllt.

In vielen realen Anwendungen müssen wir jedoch nicht jeden möglichen Eingang definieren. Manche Kombinationen treten nie auf, und der Ausgang für diese „unmöglichen“ Zustände ist irrelevant. Diese werden als Nicht-Beachtete Bedingungen (Don't-Care-Bedingungen) bezeichnet.

Beispielsweise bei BCD-Zahlen (Binary Coded Decimal), die in vier Bits kodiert sind: Die gültigen Codes sind 0000 bis 1001 (Dezimal 0–9). Die sechs Binärmuster 1010 bis 1111 entsprechen den hexadezimalen Ziffern A bis F und werden nie verwendet. Daher können wir diese sechs Muster als Nicht-Beachtete kennzeichnen und sie in einer Wahrheitstabelle oder einem Karnaugh-Diagramm leer lassen.

Nicht-Beachtete Zellen

In einem Karnaugh-Diagramm werden Nicht-Beachtete Zellen durch einen Stern (*) dargestellt und können beim Gruppieren entweder als 0 oder als 1 behandelt oder einfach ignoriert werden. Ihre Verwendung kann größere Gruppierungen ermöglichen, was oft zu einem einfacheren Booleschen Ausdruck führt.

Beziehen Sie ein Nicht-Beachtetes nur in eine Gruppe ein, wenn es die Gesamtkomplexität der Logik verringert. Es besteht keine Verpflichtung, jede Nicht-Beachtete Zelle zu verwenden.

Betrachten Sie eine Funktion, die für den Eingang ABC = 101 eine 1 ausgeben soll, während alle anderen Eingänge zwischen 000 und 101 irrelevant sind. Die beiden Kombinationen 110 und 111 werden als Nicht-Beachtete markiert. Wir können drei verschiedene vereinfachte Ausdrücke ableiten:

• Ohne Verwendung von Nicht-Beachteten: Out = AB'C.
• Einbeziehung eines Nicht-Beachteten zur Paarbildung: Out = AC.
• Verwendung eines Nicht-Beachteten zur Bildung einer Vierer-Gruppe von Nullen: ebenfalls Out = AC.

Diese Beispiele zeigen, dass Nicht-Beachtete Zellen als 1en oder 0en behandelt werden können, je nachdem, welche Wahl den einfachsten Ausdruck ergibt.

Nun wenden wir uns einer praktischen Anwendung zu: der Lampenlogik für ein Fahrradergometer-Exponat in einem Wissenschaftsmuseum.

Je schneller der Fahrer in die Pedale tritt, desto mehr Spannung erzeugt ein kleiner DC-Generator proportional zur Geschwindigkeit. Diese Spannung wird in ein Tachometer-Board eingespeist, das das Signal begrenzt, sodass der nachgeschaltete Analog-Digital-Wandler (A/D) nie die beiden höchsten 3-Bit-Codes (110 und 111) ausgibt. Der Wandler erzeugt daher nur folgende Codes: 000 (Keine Bewegung), 001, 010, 011, 100 oder 101.

Fünf Lampen (L1 bis L5) bilden ein Balkendiagramm. Das Beleuchtungsmuster ist wie folgt:

• 000 – keine Lampe leuchtet.
• 001 – L1 leuchtet.
• 010 – L1 und L2 leuchten.
• 011 – L1, L2 und L3 leuchten.
• 100 – L1, L2, L3 und L4 leuchten.
• 101 – alle fünf Lampen leuchten.

Da die Codes 110 und 111 nie auftreten können, behandeln wir sie als Nicht-Beachtete. Die folgenden Karnaugh-Diagramme werden für jede Lampe erstellt, mit 0en für den 000-Zustand, 1en für die entsprechenden leuchtenden Zustände und *s für 110 und 111.

Beispielsweise leuchtet Lampe L5 nur bei ABC = 101. Ihre Map enthält eine einzelne 1 an dieser Stelle und sonst Nullen. Lampe L4 leuchtet bei ABC = 100 und 101, also hat ihre Map 1en in diesen beiden Zellen. Lampe L3 leuchtet für 011, 100 und 101; Lampe L2 für 010, 011, 100 und 101; Lampe L1 für jeden Code außer 000.

Durch Gruppieren der 1en und Ausnutzen der Nicht-Beachteten, wo vorteilhaft, vereinfacht sich der Boolesche Ausdruck jeder Lampe dramatisch. Insbesondere reduziert sich Lampe L4s Ausdruck auf einfach A (das höchstsignifikante Bit), was jegliche Logikgatter überflüssig macht. Auch die anderen Lampen profitieren von reduzierter Komplexität.

Das resultierende Gatterdiagramm (oben gezeigt) verbindet die fünf minimierten Ausdrücke mit Open-Collector-Invertern (74er-Serie 7406), die die LEDs ansteuern. Der L1-Ausgang verwendet ein 2-Eingangs-OR-Gatter, das (A + B) mit C kombiniert und die logische Summe A + B + C liefert.

Open-Collector-Ausgänge sind ideal für LED-Treiber, da sie Strom durch eine externe Last fließen lassen. Ein aktives High an einem Inverter zieht dessen Ausgang auf Low, wodurch Strom durch die LED und ihren Vorwiderstand fließt. Obwohl die LEDs in diesem Exponat Teil eines Halbleiterrelais sein könnten, das 120-VAC-Lampen ansteuert, liegt diese Schaltung außerhalb des Rahmens dieses Logikdesigns.

Zugehörige Arbeitsblätter

• Digital Display Circuits Worksheet
• Karnaugh Mapping Worksheet