Venn-Diagramm in Karnaugh-Diagramm transformieren: Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ausgehend von Kreis A in einem rechteckigen A'-Universum in Abbildung (a) unten, wandeln wir ein Venn-Diagramm fast in ein Karnaugh-Diagramm um.

 

 

Wir erweitern Kreis A in (b) und (c), passen ihn an das rechteckige A'-Universum in (d) an und ändern A in (e) zu einem Rechteck. Alles außerhalb von A ist A'. Wir weisen A' in (f) ein Rechteck zu. Auch verwenden wir keine Schraffur in Karnaugh-Diagrammen. Was wir bisher haben, ähnelt einem 1-Variablen-Karnaugh-Diagramm, ist aber von geringem Nutzen. Wir benötigen mehrere Variablen.

 

 

Abbildung (a) oben entspricht dem vorherigen Venn-Diagramm, das A und A' zeigt, außer dass die Beschriftungen A und A' über dem Diagramm statt innerhalb der jeweiligen Bereiche stehen. Stellen Sie sich vor, wir durchlaufen einen ähnlichen Prozess wie in Abbildungen (a-f), um ein „quadratisches Venn-Diagramm“ für B und B' zu erhalten, wie in mittlerer Abbildung (b) gezeigt.

Wir werden nun die Diagramme in Abbildungen (a) und (b) überlagern, um das Ergebnis in (c) zu erhalten, genau wie wir es bei Venn-Diagrammen getan haben. Der Grund dafür ist, dass wir beobachten können, was zwei überlappenden Regionen gemeinsam sein mag – sagen wir, wo A B überlappt. Die untere rechte Zelle in Abbildung (c) entspricht AB, wo A B überlappt.

 

 

Wir verschwenden keine Zeit damit, ein Karnaugh-Diagramm wie (c) oben zu zeichnen, sondern skizzieren eine vereinfachte Version wie oben links. Die Spalte aus zwei Zellen unter A' wird als mit A' assoziiert verstanden, und die Überschrift A ist mit der Spalte der Zellen darunter assoziiert. Die von B' angeführte Reihe ist mit den Zellen rechts davon assoziiert.

Auf ähnliche Weise ist B mit den Zellen rechts davon assoziiert. Der Einfachheit halber grenzen wir die verschiedenen Bereiche nicht so deutlich ab wie bei Venn-Diagrammen.

Das Karnaugh-Diagramm oben rechts ist eine alternative Form, die in den meisten Lehrbüchern verwendet wird. Die Variablennamen sind neben der Diagonallinie aufgeführt.

Das A über der Diagonale zeigt an, dass die Variable A (und A') den Spalten zugewiesen ist. Die 0 ersetzt A', und die 1 ersetzt A. Das B unter der Diagonale ist den Zeilen zugeordnet: 0 für B' und 1 für B.

Beispiel:

Markieren Sie die Zelle, die dem Booleschen Ausdruck AB im obenstehenden Karnaugh-Diagramm entspricht, mit einer 1.

 

 

Lösung:

Schraffieren oder umkreisen Sie den Bereich, der A entspricht. Dann schraffieren oder umschließen Sie den Bereich, der B entspricht. Die Überlappung der beiden Bereiche ist AB. Setzen Sie eine 1 in diese Zelle. Wir umschließen die A und B Bereiche nicht zwingend wie oben links.

 

 

3-Variablen K-Diagramm

Wir entwickeln ein 3-Variablen-Karnaugh-Diagramm oben, beginnend mit Venn-Diagramm-ähnlichen Bereichen. Das Universum (innerhalb des schwarzen Rechtecks) wird in zwei schmale rechteckige Bereiche für A' und A geteilt. Die Variablen B' und B teilen das Universum in zwei quadratische Bereiche. C belegt einen quadratischen Bereich in der Mitte des Rechtecks, wobei C' in zwei vertikale Rechtecke auf jeder Seite des C-Quadrats aufgeteilt wird.

In der finalen Abbildung überlagern wir alle drei Variablen und versuchen, die verschiedenen Bereiche klar zu beschriften. Die Bereiche sind ohne Farbdruck weniger offensichtlich, deutlicher beim Vergleich mit den anderen drei Abbildungen.

Dieses 3-Variablen K-Diagramm (Karnaugh-Diagramm) hat 2³ = 8 Zellen, die kleinen Quadrate innerhalb des Diagramms. Jede einzelne Zelle wird eindeutig durch die drei Booleschen Variablen (A, B, C) identifiziert. Beispielsweise wählt ABC' eindeutig die unterste rechte Zelle(*), A'B'C' die oberste linke Zelle (x).

 

 

Normalerweise beschriften wir das Karnaugh-Diagramm nicht wie oben links gezeigt. Obwohl diese Abbildung die Abdeckung der Karte durch einzelne boolesche Variablen eines 4-Zellen-Bereichs klar zeigt.

Karnaugh-Diagramme werden wie die rechte Abbildung beschriftet. Jede Zelle wird weiterhin eindeutig durch einen 3-Variablen-Produktterm, einen Booleschen UND-Ausdruck, identifiziert. Nehmen Sie beispielsweise ABC', indem Sie der A-Zeile nach rechts und der BC'-Spalte nach unten folgen, beide schneiden sich in der unteren rechten Zelle ABC'. Siehe (*) oben in der Abbildung.

 

 

Die beiden oben gezeigten unterschiedlichen Formen eines 3-Variablen-Karnaugh-Diagramms sind äquivalent und stellen die endgültige Form dar. Die rechte Version ist etwas einfacher zu verwenden, da wir nicht so viele booleschen alphabetischen Header und Komplementbalken notieren müssen, nur 1s und 0s. Verwenden Sie die rechte Kartenform und suchen Sie die linke in manchen Texten. Die Spaltenüberschriften links B'C', B'C, BC, BC' entsprechen 00, 01, 11, 10 auf der rechten Karte. Die Zeilenüberschriften A, A' entsprechen 0, 1 auf der rechten Karte.