AC-Spannungsaddition mit komplexen Zahlen veranschaulicht

In diesem Tutorial untersuchen wir, wie drei Wechselstrom (AC) Spannungsquellen sich verhalten, wenn sie in Reihe geschaltet sind, wobei komplexe-Zahlen-Arithmetik verwendet wird, um die resultierende Nettospannung zu bestimmen. Der Ansatz demonstriert, dass alle bekannten DC-Kreisgesetze – Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Spannungs- und Stromgesetze sowie Netzwerkanalysetechniken – auf die AC-Analyse übertragbar sind, vorausgesetzt, jede Größe wird in Phasor- (komplexer) Form ausgedrückt und alle Quellen arbeiten mit der gleichen Frequenz.

Wir beginnen damit, die drei Quellen wie im untenstehenden Diagramm gezeigt anzuordnen. Die Polaritätsmarkierungen sind so gewählt, dass die Phasorrichtungen direkt addiert werden können, sodass wir die Gesamtspannung als einfache Vektorsumme schreiben können:

KVL erlaubt die Addition komplexer Spannungen.

Obwohl die Aufgabenstellung keine explizite Frequenz angibt, ist die implizite Annahme, dass alle drei Quellen die gleiche Frequenz teilen. Dies erfüllt die Anforderung, dass ihre Phasenbeziehungen konstant bleiben, was die Anwendung von DC-artigen Regeln ermöglicht.

Der algebraische Ausdruck für die Gesamtspannung lautet:

V_gesamt = V₁ + V₂ + V₃

Grafisch wird die Phasoraddition in der untenstehenden Abbildung veranschaulicht.

Grafische Addition von Vektorspannungen.

Der resultierende Vektor beginnt am Anfang der 22-V-Quelle und endet an der Spitze der 15-V-Quelle, wie in der nächsten Abbildung gezeigt.

Resultierende entspricht der Vektorsumme der drei ursprünglichen Spannungen.

Um Betrag und Phase des Resultierenden ohne Diagramm zu berechnen, wandeln wir jeden Polphasor in kartesische Form um, addieren sie und wandeln zurück. Die Berechnung ergibt:

V_gesamt = 36,8052 V ∠ –20,5018°

In der Praxis würde ein Voltmeter nur den Betrag von 36,8052 V anzeigen, während ein Oszilloskop verwendet werden könnte, um die Phasenverschiebung von –20,5018° relativ zur 15-V-Referenzquelle zu bestimmen. Dasselbe Prinzip gilt für AC-Amperemeter, die den Strombetrag, aber nicht seinen Phasenwinkel anzeigen.

Die kartesische Darstellung ist für die Arithmetik praktisch, hat aber kein direktes empirisches Gegenstück in der Messung; daher wandeln wir das Endergebnis routinemäßig zurück in Polarform, um es mit realen Instrumenten zu vergleichen.

Zur Validierung des analytischen Ergebnisses führen wir eine einfache SPICE-Simulation durch. Ein 10-kΩ-Widerstand ist nur enthalten, um einen Open-Circuit-Fehler zu vermeiden. Die gewählte Frequenz von 60 Hz ist willkürlich, da Widerstände frequenzunabhängiges Verhalten zeigen, während andere Elemente wie Kondensatoren und Spulen Frequenzabhängigkeit einführen würden.

Spice-Schaltplan.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

Die Simulation bestätigt das analytische Ergebnis: eine Gesamtspannung von 36,81 V ∠ –20,5°. Dieses scheinbar kontraintuitive Ergebnis – gerade einmal über 36 V aus 15 V, 12 V und 22 V Quellen in Reihe – illustriert, wie Phasenbeziehungen in AC-Kreisen konstruktive oder destruktive Interferenz verursachen können.

Als Nächstes untersuchen wir den Effekt der Umkehrung der Polarität der 12-V-Quelle. Das Umkehren der Leitungen ändert die Vektorrichtung, aber nicht den nominalen Phasenwinkel; mathematisch kann dies entweder durch Hinzufügen von 180° zum Winkel (12 V ∠ 215°) oder durch Negieren des Betrags (–12 V ∠ 35°) dargestellt werden. Beide Ansätze führen zum gleichen kartesischen Ergebnis:

In kartesischer Form lautet die neue Summe:

V_gesamt = 30,4964 V ∠ –60,9368°

Wir verifizieren dies mit SPICE:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; Umkehrung der Knotennummern 2 und 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Zusammenfassung

• Alle DC-Kreisgesetze gelten für AC-Kreise – außer Leistungsberechnungen – vorausgesetzt, alle Variablen liegen in komplexer Form vor und teilen eine gemeinsame Frequenz.
• Das Umkehren der Polarität einer AC-Quelle kann entweder durch Hinzufügen von 180° zu ihrem Winkel oder durch Negieren ihres Betrags ausgedrückt werden.
• Gemessene Werte in AC-Kreisen entsprechen den Polbeträgen der berechneten Phasoren; kartesische Werte sind nur für Zwischenschritte algebraisch nützlich.

Verwandte Arbeitsblätter

• AC-Netzwerkanalyse-Arbeitsblatt
• Kirchhoffsche-Gesetze-Arbeitsblatt
• Ohmsches-Gesetz-Arbeitsblatt