Reihen-RL-AC-Kreise analysieren: Impedanz, Phase und SPICE-Verifikation

Im vorherigen Abschnitt haben wir einfache rein resistive und rein induktive AC-Kreise untersucht. Nun kombinieren wir die beiden Elemente in Reihe, um zu erforschen, wie Widerstand und Blindwiderstand interagieren und das Gesamtverhalten des Kreises formen.

Beispiel für einen Reihen-Widerstand-Spule-Kreis

Betrachten Sie das folgende Schaltbild:

Reihen-Widerstand-Spule-Kreis: der Strom hinkt der angelegten Spannung um 0° bis 90° hinterher.

Der Widerstand liefert einen festen Widerstand von 5 Ω über alle Frequenzen, während die Spule einen induktiven Blindwiderstand von 3,7699 Ω bei 60 Hz beiträgt. Da der Widerstand des Widerstands rein reell ist (5 Ω ∠ 0°) und der Widerstand der Spule rein imaginär (3,7699 Ω ∠ 90°), ist ihre kombinierte Wirkung eine komplexe Summe, die wir als Impedanz bezeichnen.

Impedanz, bezeichnet mit Z, wird in Ohm gemessen genau wie Widerstand und Blindwiderstand, aber sie umfasst sowohl Betrag als auch Phaseninformation.

Die Gesamtimpedanz des Kreises beträgt daher:

Widerstand und Ohmsches Gesetz in AC

Impedanz verknüpft Spannung und Strom genauso wie Widerstand in DC-Kreisen:

Diese Verallgemeinerung des Ohmschen Gesetzes gilt für jedes AC-Netzwerk, egal ob die Elemente resistiv, induktiv oder eine Kombination daraus sind. Für Reihen- oder Parallelschaltungen behandeln wir die gesamte Komponentenmenge als eine einzelne Impedanz.

Um den Strom zu berechnen, legen wir zuerst eine Phasenreferenz für die Spannungsquelle fest, die konventionell als 0° genommen wird. Die Spannung am Widerstand bleibt in Phase mit seinem Strom (0° Verschiebung), während die Spannung an der Spule ihrem Strom um +90° vorauseilt.

In diesem gemischten Kreis hinkt der Gesamtstrom der Speisespannung nur um 37,016° hinterher, weit weniger als die 90° Verzögerung in einem rein induktiven Kreis.

Strom hinkt Spannung in einem Reihenschaltung L-R-Kreis hinterher.

Mathematisch spiegelt die Spannung an jedem Bauteil seine individuelle Phasenbeziehung zum Strom wider:

Die Spannung am Widerstand hat dieselbe Phase wie der Strom, was bestätigt, dass sie in Phase sind. Umgekehrt ist die Spannung an der Spule 90° aus der Phase mit ihrem Strom:

Kirchhoffsches Spannungsgesetz neu betrachtet

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) gilt auch für komplexe Größen:

Verifikation mit SPICE

Wir haben die analytischen Ergebnisse mit SPICE validiert:

Spice-Schaltung: R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+00

SPICE meldet den Strom mit einem 180°-Versatz relativ zur Quelle, eine Konvention, die die physikalische Interpretation der Ergebnisse nicht beeinflusst. Die Phasenwinkel für Widerstands- und Spulenspannungen stimmen mit unseren analytischen Vorhersagen überein (-37,02° und 52,98°).

Um den Berechnungsprozess zu straffen, verwenden wir eine Tabellenmethode. Die Tabelle listet die Impedanz jedes Bauteils sowohl in kartesischer als auch in Polarform auf und summiert sie, um die Gesamtimpedanz zu finden. Mit dem Ohmschen Gesetz (I = E/Z) berechnen wir den gemeinsamen Reihestrom und bestimmen anschließend jeden Spannungsabfall.

Unten ist eine schematische Darstellung des Tabellenansatzes (vereinfacht für Kürze):

Da der Kreis in Reihe geschaltet ist, fließt derselbe Strom durch jedes Element. Sobald wir den Gesamtstrom haben, multiplizieren wir ihn mit der Impedanz jedes Bauteils, um den entsprechenden Spannungsabfall zu erhalten. Diese Methode spiegelt den DC-Ansatz wider, erfordert jedoch komplexe Arithmetik.

Alle Größen in der AC-Analyse müssen als komplexe Zahlen dargestellt werden; die Vernachlässigung der Phase führt zu falschen Ergebnissen. Sobald die Phase ordnungsgemäß berücksichtigt ist, sind die Analysetechniken im Wesentlichen identisch mit der DC-Kreisanalyse.

Instrumentenablesungen, wie Voltmeter- oder Amperemeterwerte, entsprechen dem Betrag des komplexen Phasors (Polarnotation). Ein Voltmeter über dem Widerstand würde beispielsweise 7,9847 V anzeigen, nicht die kartesischen Komponenten 6,3756 V + j4,8071 V.

Zusammenfassend:

• Impedanz (Z) ist die komplexe Summe aus Widerstand (R) und Blindwiderstand (X).
• Reihenimpedanzen addieren sich algebraisch: Z_gesamt = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Ein rein resistiver Impedanz hat eine Phase von 0°, eine rein induktive Impedanz eine Phase von +90°.
• Ohmsches Gesetz für AC: E = IZ, I = E/Z, Z = E/I.
• In einem gemischten R-L-Kreis liegt der Impedanzphasenwinkel zwischen 0° und +90°, und der Stromphasenwinkel zwischen 0° und –90°.
• Reihen-AC-Kreise folgen denselben Regeln wie DC: gleichmäßiger Strom, additive Spannungsabfälle, additive Impedanzen.

Beispiel: Ein 40-Ω-Widerstand in Reihe mit einer 79,58-mH-Spule bei 60 Hz.

• X_L = 2πfL = 30 Ω.
• Z = R + jX_L = 40 + j30 Ω.
• |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω.
• ∠Z = arctan(30/40) = 36,87°.
• Z = 50 Ω ∠ 36,87°.

Zusammenfassung

• Impedanz quantifiziert den Gesamtwiderstand gegen Strom als komplexe Zahl.
• Reihenimpedanzen addieren sich direkt; Berechnungen müssen in komplexer Form durchgeführt werden.
• Rein resistive oder induktive Komponenten haben feste Phasenwinkel.
• Ohmsches Gesetz verallgemeinert sich auf AC-Kreise über komplexe Impedanz.
• Gemischte Kreise zeigen intermediäre Phasenwinkel.
• Reihen-AC-Kreise spiegeln DC-Grundlagen wider.

Verwandte Arbeitsblätter

• Spulen Arbeitsblatt
• Widerstand, Blindwiderstand und Impedanz Arbeitsblatt
• Induktiver Blindwiderstand Arbeitsblatt