Reihen-RC-Kreisanalyse: Impedanz, Phasenbeziehungen und SPICE-Validierung

Im vorherigen Abschnitt haben wir einfache rein resistive und rein kapazitive AC-Kreise untersucht. Dieser Artikel zeigt, wie die Kombination dieser Elemente in Reihe das Verhalten transformiert.

Reihen-Kondensator-Kreis: Spannung hinkt Strom um 0° bis 90° hinterher.

Impedanzberechnung

Der Widerstand liefert einen konstanten Widerstand von 5 Ω gegen AC-Strom bei jeder Frequenz, während der Kondensator bei 60 Hz einen Blindwiderstand von 26,5258 Ω bietet.

Da die Impedanz des Widerstands die reelle Zahl 5 Ω ∠ 0° (oder 5 + j0 Ω) ist und die Impedanz des Kondensators die imaginäre Zahl 26,5258 Ω ∠ –90° (oder 0 – j26,5258 Ω), ist der kombinierte Widerstand gegen Strom die komplexe Summe dieser beiden Werte.

Dieser komplexe Widerstand wird Impedanz genannt, mit Z bezeichnet und in Ohm gemessen, genau wie Widerstand und Blindwiderstand. Für den gezeigten Kreis beträgt die Gesamtimpedanz:

Impedanz verknüpft Spannung und Strom auf dieselbe Weise wie Widerstand in DC, aber sie erfasst sowohl Betrag als auch Phase:

Diese Form des Ohmschen Gesetzes (E = IZ) ist weit umfassender als die DC-Version (E = IR). Jeder Widerstand oder Blindwiderstand – ob separat oder in Reihe oder parallel kombiniert – kann und sollte als einzelne Impedanz dargestellt werden.

Stromberechnung

Um den Strom zu bestimmen, setzen wir zuerst den Phasenwinkel der Quellspannung auf null, den Standardreferenzpunkt. Resistive und kapazitive Impedanzen haben immer Phasenwinkel von 0° und –90°, unabhängig von der Quelle.

Der Strom führt die Quellspannung um 79,325° voran, weniger als die 90° Vorlaufzeit in einem rein kapazitiven Kreis.

Spannung hinkt Strom hinterher (Strom führt Spannung) in einem Reihen-R-C-Kreis.

Tabellenmethode

Wie bei der DC-Analyse strafft die Organisation der Werte in einer Tabelle die AC-Berechnungen. Für diesen Reihenschaltkreis listen wir die bekannten Größen auf und propagieren sie durch die Analyse:

Da der Strom allen Reihenelementen gemeinsam ist, kann die Gesamtstromspalte auf jedes Bauteil verteilt werden. Die vertikale Anwendung des Ohmschen Gesetzes ergibt die Spannung über Widerstand und Kondensator:

Die Spannung am Widerstand hat dieselbe Phase wie der Strom, was bestätigt, dass E und I für dieses Element in Phase sind. Die Kondensatorspannung bei –10,675° liegt genau 90° hinter dem Kreisstrom, wie für eine kapazitive Last erwartet.

Berechnungen mit SPICE

Zur Verifikation der analytischen Ergebnisse simulieren wir den Kreis in SPICE:

SPICE-Schaltung: R-C.

ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end
freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 1.852E+00 9.827E+00 3.705E-01
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 7.933E+01 -1.067E+01 -1.007E+02

SPICE meldet den Stromphasenwinkel als –100,7°, was nach Entfernen des 180°-Versatzes +79,3° entspricht und dem analytischen Ergebnis von 79,325° matcht. Beachten Sie, dass gemessene Spannungen und Ströme dem Betrag (Polarform) der berechneten Phasoren entsprechen, nicht den kartesischen Komponenten.

Ein Voltmeter über dem Widerstand würde beispielsweise 1,852 V anzeigen, nicht die 343,11 mV (reell) oder 1,8203 V (imaginär) kartesischen Werte. Während die kartesische Notation die Arithmetik erleichtert, stellt die Polarform direkt reale Messungen dar.

Die Impedanz eines Reihen-R-C-Kreises kann aus Widerstand (R) und kapazitivem Blindwiderstand (X_C) berechnet werden. Mit E = IR, E = IX_C und E = IZ parallelisiert das Spannungsphasordiagramm das Impedanzdiagramm.

Reihen-R-C-Kreis Impedanz-Phasordiagramm.

Beispiel: Ein 40-Ω-Widerstand in Reihe mit einem 88,42-µF-Kondensator bei 60 Hz. Finden Sie die Impedanz.

XC = 1/(2πfC)
XC = 1/(2π·60·88,42×10⁻⁶)
XC = 30 Ω
Z = R - jXC
Z = 40 - j30
|Z| = sqrt(40² + (-30)²) = 50 Ω
∠Z = arctan(-30/40) = -36,87°
Z = 40 - j30 = 50∠-36,87°

Zusammenfassung:

• Impedanz (Z) ist der Gesamtwiderstand gegen AC-Strom und entspricht der komplexen Summe aus Widerstand und Blindwiderstand.
• In Reihenschaltungen addieren sich Impedanzen genau wie Widerstände: Z_gesamt = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Impedanzen werden in komplexer Form addiert, unabhängig vom Bauteiltyp.
• Eine rein resistive Impedanz hat einen Phasenwinkel von 0° (Z_R = R ∠ 0°).
• Eine rein kapazitive Impedanz hat einen Phasenwinkel von –90° (Z_C = X_C ∠ –90°).
• AC-Ohmsches Gesetz: E = IZ; I = E/Z; Z = E/I.
• Wenn Widerstände und Kondensatoren koexistieren, liegt der Gesamtimpedanzphasenwinkel zwischen 0° und –90°.

Verwandte Arbeitsblätter:

• Reihen- und Parallel-AC-Kreise Arbeitsblatt