Parallel-Tankkreis-Resonanz: Theorie, Berechnungen und SPICE-Verifikation

Resonanz in einem parallelen Tankkreis

In einem parallelen LC (Tank-) Kreis wird Resonanz erreicht, wenn der induktive Blindwiderstand (X_L = 2πfL) genau dem kapazitiven Blindwiderstand (X_C = 1/(2πfC)) entspricht. Da der induktive Blindwiderstand mit der Frequenz steigt, während der kapazitive Blindwiderstand fällt, erfüllt nur eine Frequenz dieses Gleichgewicht.

Beispiel:

Einfacher paralleler Resonanzkreis (Tankkreis).

Für den gezeigten Kreis haben wir einen 10-µF-Kondensator und eine 100-mH-Spule. Durch Gleichsetzen der beiden Blindwiderstandsformeln und Lösen nach der Frequenz erhalten wir die Resonanzfrequenz:

Dies ergibt eine Resonanzfrequenz von 159,155 Hz bei L = 100 mH und C = 10 µF.

Berechnung individueller Impedanzen

Bei Resonanz heben sich die gleich großen und entgegengesetzten Blindwiderstände auf, wodurch die Gesamtimpedanz des parallelen LC-Paars gegen unendlich strebt. In praktischen Begriffen verhält sich der Tankkreis wie ein offener Kreis und zieht vernachlässigbaren Strom von der AC-Quelle.

Um dies zu veranschaulichen, können wir die individuellen Impedanzen des 10-µF-Kondensators und der 100-mH-Spule berechnen und die Parallel-Impedanzformel anwenden:

Diese Bauteilwerte wurden gewählt, um resonante Impedanzen zu erzeugen, die leicht zu handhaben sind (100 Ω).

Parallel-Impedanzformel

Mit dem Standardausdruck für parallele Impedanz bestätigen wir, dass die Gesamtimpedanz divergiert, wenn die Blindwiderstände konvergieren:

SPICE-Simulationsübersicht

Obwohl eine mathematische Division durch null undefiniert ist, demonstriert das SPICE-Modell, dass die Gesamtimpedanz gegen unendlich strebt, wenn die Frequenz der Resonanz nahe kommt. Wir simulieren den Kreis über einen weiten Frequenzbereich, um dieses Verhalten zu beobachten.

Resonanzkreis für SPICE-Simulation

Da SPICE einen Kreis, der eine rein induktive Quelle enthält, nicht analysieren kann, wird ein 1-pΩ-Widerstand eingefügt, um einen minimalen, nicht-intrusiven Strompfad bereitzustellen. Der resultierende Stromplot zeigt einen scharfen Einbruch nahe der vorhergesagten Resonanz von 159,155 Hz.

Nutmeg Post-Prozessor-Plot

Während der rohe .plot-Befehl eine Textausgabe erzeugt, liefert der grafische Nutmeg-Postprozessor ein klareres Bild der Stromgröße versus Frequenz:

spice -b -r resonant.raw resonant.cir
nutmeg resonant.raw

Vom Nutmeg-Prompt:

>setplot ac1
>display
>plot mag(v1#branch)

Bode-Plots

Diese SPICE-Ausgaben sind eine Form von Bode-Plots, die grafisch Amplitude (oder Phase) versus Frequenz darstellen. Die Steilheit der Kurve zeigt, wie scharf der Kreis auf Frequenzänderungen reagiert.

Kernaussagen

• Resonanz tritt auf, wenn X_L gleich X_C ist.
• Für einen idealen, widerstandslosen Tankkreis ist die Resonanzfrequenz f₀ = 1/(2π√LC).
• Bei Resonanz nähert sich die Gesamtimpedanz des parallelen LC-Paars unendlich an, fungiert effektiv als offener Kreis.
• Ein Bode-Plot visualisiert die Frequenzantwort des Kreises, zeigt Amplitude oder Phase versus Frequenz.

Verwandte Arbeitsblätter

• Grundlagen der Funkkommunikation Arbeitsblatt
• Resonanz Arbeitsblatt