Kirchhoff'sche Gesetze: Strom- & Spannungsregel (KCL & KVL) – Schritt-für-Schritt-Beispiel

KCL & KVL – Kirchhoffs erste und zweite Gesetze mit gelöstem Beispiel

Der deutsche Physiker Robert Kirchhoff führte 1847 zwei fundamentale elektrische Gesetze ein, mit denen sich der Ersatzwiderstand komplexer Netze und Ströme in verschiedenen Leitern leicht bestimmen lassen. Sowohl Wechsel- als auch Gleichstromkreise lassen sich mit diesen einfachen Gesetzen – Kirchhoffscher Stromsatz (KCL) und Kirchhoffscher Spannungssatz (KVL) – lösen und vereinfachen.

Hinweis: KCL leitet sich aus der Ladungserhaltungsgleichung der Elektrodynamik ab, KVL aus der Maxwell-Faraday-Gleichung für statische Magnetfelder (Ableitung von B nach Zeit = 0).

Kirchhoffscher Stromsatz (KCL):

Nach KCL gilt in jedem elektrischen Netz:

Die algebraische Summe der einem Knoten zufließenden und abfließenden Ströme ist null. Anders ausgedrückt: Die Summe der eintretenden Ströme gleich der Summe der austretenden Ströme.

Erklärung des KCL:

Treffen mehrere Leiter in einem Knoten „A“ zusammen (Abb. 1a), fließen in manchen Ströme zu, in anderen vom Knoten weg.

Eintretende Ströme als positiv (+), austretende als negativ (–) gezählt:

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

oder

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

Kurz: ΣI_ein = ΣI_aus

Beispiel: 8 A fließen zu, 5 A und 3 A fließen ab → 8 A = 5 A + 3 A = 8 A.

Kirchhoffscher Spannungssatz (KVL):

Der zweite Kirchhoffsche Satz besagt:

In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die algebraische Summe der angelegten EMKs gleich der algebraischen Summe der Spannungsfälle an den Bauelementen. Auch als Maschenregel bekannt.

ΣIR = ΣE

Erklärung des KVL:

Ein geschlossener Kreis mit zwei Spannungsquellen E₁ und E₂. Die GesamTEMK beträgt E₁ – E₂ (entgegengesetzte Polarität). Die Stromrichtung wird angenommen (Pfeil).

E₁ treibt den Strom in positiver Richtung, E₂ entgegen (negativ). Spannungsfälle hängen vom Produkt Strom × Widerstand ab.

Spannungsfälle in Stromrichtung = positiv, entgegen = negativ. Im Bild: I₁R₁ und I₂R₂ positiv, I₃R₃ und I₄R₄ negativ.

Geht man den geschlossenen Kreis ab, summiert sich das Produkt IR aller Leiter zur Summe der EMKs.

Gesamtgleichung für den Beispielkreis:

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

Produkt IR ist positiv, wenn man in Stromrichtung geht, sonst negativ.

Wichtig: Stromrichtung bestimmen

Die Stromrichtung (Uhrzeigersinn oder gegen) kann frei angenommen werden, muss aber für den gesamten Kreis beibehalten werden. Ergibt die Rechnung positive Werte, war die Annahme richtig; negative Werte bedeuten entgegengesetzte tatsächliche Richtung.

Netzwerkanalyse mit Kirchhoffschen Gesetzen

Gelöstes Beispiel zu KCL und KVL

Aufgabe: Widerstände R₁ = 10 Ω, R₂ = 4 Ω, R₃ = 8 Ω an zwei Batterien (vernachlässigbarer Innenwiderstand) wie abgebildet. Ströme durch jeden Widerstand gesucht.

Lösung:

Ströme wie durch Pfeile angenommen.

KCL an Knoten C und A:

• Strom in Masche ABC = i₁
• Strom in Masche CA = i₂
• Strom in Masche CDA = i₁ – i₂

KVL auf Masche ABC (20 V im Uhrzeigersinn):

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

Masche ACD (12 V im Uhrzeigersinn):

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

Gleichung (1) × 3:

30i₁ + 12i₂ = 60

Addition mit (2):

38i₁ = 72 → i₁ = 1,895 A (durch 10 Ω)

Einsetzen in (1):

10 × 1,895 + 4i₂ = 20 → 4i₂ = 1,05 → i₂ = 0,263 A (durch 4 Ω)

Strom durch 8 Ω: i₁ – i₂ = 1,895 – 0,263 = 1,632 A

Anwendungen der Kirchhoffschen Gesetze

• Bestimmung unbekannter Ströme/Spannungen und deren Richtung
• Anwendbar auf beliebige Schaltungen (siehe Limitations), besonders nützlich bei komplexen Netzen
• Grundlage für Knoten- und Maschenanalyse
• Strom in jeder unabhängigen Masche per KVL, Strom in jedem Bauelement durch Summation aller Maschenströme (Maschenstromverfahren)
• Zweigströme per KCL an jedem Knoten + KVL in jeder Masche (Zweigstromverfahren)
• Verständnis der Energieübertragung in elektrischen Schaltungen

Merksätze für die Vorzeichenkonvention

• Spannungsfall in Masche durch Uhrzeigersinn-Strom = positiv
• Spannungsfall durch Gegen-Uhrzeigersinn-Strom = negativ
• Batteriestrom im Uhrzeigersinn = positiv
• Batteriestrom gegen Uhrzeigersinn = negativ

Grenzen der Kirchhoffschen Gesetze

• KCL: Setzt voraus, Strom fließt nur in Leitern. Bei Hochfrequenzschaltungen kann parasitäre Kapazität nicht vernachlässigt werden – Leiter wirken als Übertragungsleitungen, Strom kann in „offenen“ Kreisen fließen.
• KVL: Setzt voraus, kein wechselndes Magnetfeld durchflutet die Masche. Bei HF-Kurzwellen ändert sich das Magnetfeld – das elektrische Feld ist nicht mehr konservativ, die Linienintegrale sind nicht null, KVL versagt.
• Bei Energieübertragung Magnetfeld → Elektrisches Feld muss KVL korrigiert („gefudged“) werden, damit die Summe der Potentialdifferenzen null ergibt.

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