Wellenverzahnungen & Kerbverzahnungen: Optimale Dimensionierung & Hauptanwendungen

Was sind Verzahnungen und Kerbverzahnungen?

Wellenverzahnungen und Kerbverzahnungen sind rippen- oder zahnförmige Keile, die integraler Bestandteil der Welle sind und in Nuten einer passenden Nabe eingreifen, um Drehmoment und Drehbewegung zu übertragen. Beispielsweise kann ein Kegelrad auf einer Welle mittels einer äußeren Wellenverzahnung befestigt werden, die zur inneren Verzahnung des Rads passt (Abbildung 1).

Obwohl eine verzahnte Welle aussieht wie eine Reihe von Keilnuten mit eingesetzten Keilen, sind Verzahnungen wesentlich stärker als Keilverbindungen, da Keilnuten die Welle schwächen und ihre Drehmomenttragfähigkeit reduzieren.

Anwendung von Verzahnungen und Kerbverzahnungen

Obwohl sie wie Zahnräder aussehen, dienen Verzahnungen ausschließlich der Drehmoment- und Drehbewegungsübertragung auf derselben Achse. Hauptanwendungsgründe:

1. Mechanische Übertragungselemente (Zahnräder, Riemenscheiben) müssen vom Wellen abnehmbar sein – z. B. für Design for Manufacturing and Assembly (DFMA), bei Montage oder zur Fertigungshilfe.
2. Relative Axialbewegung des Übertragungselements ist funktionsbedingt erforderlich – z. B. bei Getrieben und Kupplungen.
3. Hohe Drehmomentübertragung ist nötig.

Eine gute Verzahnungsverbindung bietet sehr sichere Drehmomentübertragung, minimales Spiel, geringes Rückschlag, gute Zentrierung der gekuppelten Komponenten, geringe Geräuschentwicklung, geringen Verschleiß und kleine oder keine Axialkräfte.

Oberflächenverschleiß, Fretting-Korrosion, Zahnbruch und Ermüdungsbruch sind die häufigsten Versagensarten bei Verzahnungsverbindungen.

Typen von Verzahnungen und Kerbverzahnungen

Der Begriff „Verzahnung“ ist ein Sammelbegriff für alle Profilformen. Basierend auf ihrer Flankenform lassen sie sich in drei Gruppen einteilen:

• Parallelseitige oder geradflankige Verzahnung
• Evolventenverzahnung (Involute Spline)
• Kerbverzahnung (Serration)

Zusätzlich lassen sie sich als fest oder flexibel klassifizieren, je nach relativer Axialbewegung. Feste Verzahnungen bewegen sich nicht axial (z. B. Zahnräder, Riemenscheiben, Turbinenräder). Flexible Verzahnungen gleiten axial, hauptsächlich bei Wellenkupplungen, und übertragen weniger Drehmoment als feste Verzahnungen.

Parallelseitige oder geradflankige Verzahnung

Diese haben gerade, parallele Zahnflanken (siehe Abbildung). Laut verschiedenen Normen variiert die Zahnzahl von 4 bis 12. Sie können höheres Drehmoment übertragen als Evolventenverzahnungen und Kerbverzahnungen wegen ihrer großen Zahndicke vom Innen- zum Außendurchmesser. Sie können jedoch durch Ermüdung versagen aufgrund von Spannungskonzentration im Zahnfuß.

Naturgemäß fehlt die Selbstzentrierfähigkeit wegen der geraden Flanken; sie verlässt sich auf Passungen an Innen- und Außendurchmesser für die Zentrierung. Wegen der geradflankigen Ausführung entsteht zunächst Linienkontakt; Flächenkontakt entsteht erst nach Einlauf.

Evolventenverzahnung (Involute Spline)

Evolventenverzahnungen sind sehr verbreitet und ähneln inneren und äußeren Evolventenzahnrädern. Sie sind vergleichbar stärker als parallelseitige Verzahnungen wegen geringerem Spannungskonzentrationsfaktor und besserer Oberflächenqualität. Sie können mit Zahnradfertigungsverfahren hergestellt werden und besitzen die Fähigkeit, sich unter Last selbst zu zentrieren.

Evolventenverzahnungen werden mit Druckwinkeln 30°, 37,5° und 45° gefertigt und können 60 bis 100 Zähne umfassen (nach US-Norm). Sie können als Flankenpassung oder Durchmesserpaarung ausgeführt sein.

Kerbverzahnungen (Serrations)

Kerbverzahnungen haben ebenfalls gerade Flanken, diese sind jedoch angewinkelt (siehe Abbildung). Der größte Vorteil: die angewinkelten Flanken zentrieren Welle und Nabe, was selbstzentrierende Verzahnungen ergibt. Flankenwinkel liegen meist zwischen 50° und 90°.

Hauptnachteile: Aufgrund vergleichsweise kleiner Zähne nur für niedrige Drehmomente geeignet. Ausschließlich für nicht axialbewegte Anwendungen. Wie bei parallelseitigen Verzahnungen entsteht Linienkontakt und Verschleiß.

Verzahnungsfestigkeitsberechnung

Beim Design von Wellenverzahnungen und Kerbverzahnungen müssen folgende Spannungen betrachtet werden, um die Eignung der Verbindungsfestigkeit zu bewerten:

1. Wellenverzahnung Schubspannung
2. Verzahnungszahn Schubspannung
3. Verzahnungszahn Druckspannung

In der Regel wird der Wellendurchmesser durch das Gesamtdesign vorgegeben (Lageranordnung, Dichtungen, Elemente etc.). Die Festigkeitsberechnung kann dann auf zwei Arten genutzt werden:

1. Spannungsberechnung zur Ermittlung des Sicherheitsfaktors durch Vergleich der berechneten Spannungen mit zulässigen Spannungen gemäß Versagensarten.
2. Festlegung der Verzahnungsverbindung (Verzahnungslänge, -typ, Zahnzahl etc.) unter Verwendung eines Sicherheitsfaktors.

Wellenverzahnung Schubspannung

Vollwelle Spannungen	Hohlwelle Spannungen
\( S_s = \frac{16T}{\pi{D_{re}}^{3}} \)	\( S_s = \frac{16T{D_{re}}}{\pi ({D_{re}}^4-D_h^4)} \)
Wo
\(S_s\)	Schubspannung
\({D_{re}}\)	Verzahnungsdurchmesser
\(T\)	Drehmoment
\({D_{h}}\)	Bohrungsdurchmesser Hohlwelle

Die mit den obigen Gleichungen berechnete Spannung darf die zulässige Spannung (\(S^a\)) des Verzahnungsmaterials nicht überschreiten:

\(S^a_s \geq S_s \frac{{K_{a}}}{{L_{f}}}\)

Der Sicherheitsfaktor wird üblicherweise mit den zulässigen Spannungen verschiedener Materialien berechnet:

Zulässige Wellenspannung
\(S^a_s = {N_{sf}}S_s \frac{{K_{a}}}{{L_{f}}}\)	\(S^a_s \geq S_s \frac{{K_{a}}}{{L_{f}}}\)
Wo
\(S_s\)	Schubspannung
\(S^a_{s}\)	Zulässige Schubspannung
\(T\)	Drehmoment
\({L_{f}}\)	Lebensdauerfaktor
\({N_{sf}}\)	Sicherheitsfaktor
\({K_{a}}\)	Anwendungsfaktor

Verzahnungszahn Schubspannung

Schubspannung in Verzahnungszähnen
\(S_s = \frac{4T{K_{m}}}{DN{F_{e}}{t_{e}}}\)
\(S_s\)	Induzierte Schubspannung in Verzahnungen
\(D\)	Teilkreisdurchmesser
\(T\)	Drehmoment
\({K_{m}}\)	Lastverteilungsfaktor
\({F_{e}}\)	Effektive Flankenbreite
\({t_{e}}\)	Sehnenstärke am Teilkreis (≈ D/2N)
\(N\)	Anzahl Verzahnungszähne

Verzahnungszahn Druckspannung

Druckspannung auf Verzahnungszähnen
\( S_c = \frac{2T{K_{m}}}{DN{F_{e}h}} \)
\(S_c\)	Druckspannung
\({K_{m}}\)	Lastverteilungsfaktor
\(T\)	Drehmoment
\({F_{e}}\)	Effektive Flankenbreite
\(h\)	Radiale Zahnhöhe im Eingriff

Ähnlich wie bei Schubspannungen müssen berechnete Druckspannungen mit zulässigen Druckspannungen verglichen werden und diese nicht überschreiten, um Versagen zu vermeiden.

\(S^a_s \geq S_s \frac{{K_{a}}}{{L_{f}}}\) – Flexible Verzahnungen

\(S^a_s \geq S_s \frac{{K_{a}}}{{L_{f}}}\) – Feste Verzahnungen

Zulässige Wellenspannung
Flexible Verzahnungen	Feste Verzahnungen
\(S^a_c = {N_{sf}}S_c \frac{{K_{a}}}{{L_{w}}}\)	\(S^a_c = {N_{sf}}S_c \frac{{K_{a}}}{{9L_{f}}}\)
Wo
\(S_s\)	Schubspannung
\({S^a_{s}}\)	Zulässige Schubspannung
\(T\)	Drehmoment
\({L_{f}}\)	Lebensdauerfaktor
\({N_{sf}}\)	Sicherheitsfaktor
\({K_{a}}\)	Anwendungsfaktor

Verzahnungs-Spannungsfaktoren

Zulässige Spannung

Beziehung zwischen zulässiger Spannung und spezifizierter Mindeststreckgrenze gemäß AISC-Code.

Zulässige Spannungen vs. Streckgrenze
Zulässige Zugspannung	\({0.45}S_{y}\leq S^a_{t}\leq {0.6}S_{y}\)
Zulässige Schubspannung (\(S^a_{s}\))	\(S^a_{s}= 0.4S_{y}\)
Zulässige Druck-/Lagerspannung (\(S^a_{c}\))	\(0.45S_{y}\leq S^a_{c} \leq 0.6S_{y}\)
Zulässige Biegespannung (\(S^a{b}\))	\(0.6S_{y} \leq S^a_{b} \leq 0.75S_{y}\)
Wo
\({S_{y}}\)	Materialstreckgrenze

Lastverteilungsfaktor für Verzahnungen Km

Die Last ist gleichmäßig verteilt, wenn die übertragene Last rein radiale Torsion ist und der torsionale Radiallast in der Mitte der Verzahnungslänge liegt. Wird z. B. ein Kegelrad verwendet, entstehen unerwünschte Axiallasten in der Verzahnung.

Fehlausrichtung von Verzahnungskupplungen wird als schädlich erkannt, da sie erhebliche Lastkonzentration auf Verzahnungszähne verursacht und Verschleiß und Fretting-Ermüdung beschleunigt.

	Lastverteilungsfaktor für Verzahnungen Km
	Effektive Flankenbreite (Fe)
Fehlausrichtung	½ in. (12,7 mm)	1 in. (25,4 mm)	2 in. (50,8 mm)	4 in. (101,6 mm)
0,001 in./in. (mm/mm)	1	1	1	1 ½
0,002 in./in. (mm/mm)	1	1	1 ½	2
0,004 in./in. (mm/mm)	1	1 ½	2	2 ½
0,008 in./in. (mm/mm)	1 ½	2	2 ½	3

Zwei Papers diskutieren den Lastverteilungsfaktor und dessen Einfluss auf die Lebensdauer der Verzahnungsverbindung:

• Spline Joints
• Spline Couplings

Ermüdungslebensdauerfaktor für Verzahnungen L_f

Anzahl Drehmomentschwingungen	Ermüdungslebensdauerfaktor, Lf
	Einrichtig	Vollständig umgekehrt
1.000	1,8	1,8
10.000	1,0	1,0
100.000	0,5	0,4
1.000.000	0,4	0,3
10.000.000	0,3	0,2

Verzahnungs-Anwendungsfaktor K_a

Falls axiale oder radiale Stoßlasten auf das verbundene Element wirken, sollten externe axiale und radiale Stoßlasten abgefangen werden, um die Lebensdauer der Verbindung zu erhöhen. Dies muss auch in der Berechnung über den Anwendungsfaktor berücksichtigt werden.

Der Anwendungsfaktor kompensiert Unsicherheiten in Lasten und Stößen; bei ruhigem, gleichmäßigem Lauf ist Ka = 1.

Eingangsquelle (Antriebsmaschine)	Lastart
	Gleichmäßig	Leichter Stoß	Periodischer Stoß	Schwerer Stoß
	Generatoren, Lüfter	Oszillierende Pumpen	Aktuatoren	Pressen, Scheren
Gleichmäßig (Turbine, Motor)	1	1,2	1,5	1,8
Leichter Stoß (Hydraulikmotor)	1,2	1,3	1,8	2,1
Mittlerer Stoß (Verbrennungsmotor)	2	2,2	2,4	2,8

Tabelle 1: Verzahnungs-Anwendungsfaktor (Ka)

Verschleißlebensdauerfaktor für Verzahnungen L_w

Lebensdauerfaktoren für Verzahnungen unter Verschleißbedingungen basieren auf der Anzahl der Umdrehungen der Verzahnungsverbindung, nicht auf reversiblen Zyklen. Der Verschleißfaktor gilt nur für flexible oder gleitende Verzahnungen bei Druckspannungsberechnung, da jeder Hin- und Herbewegung die Zähne verschleißt.

Anzahl Umdrehungen der Verzahnung	Verschleißlebensdauerfaktor (Lw)
10.000	4
100.000	2,8
1.000.000	2
10.000.000	1,4
100.000.000	1
1.000.000.000	0,7
10.000.000.000	0,5

#Produktdesigntipp Feste Verzahnungen können das 9-fache der Druckspannungen flexibler Verzahnungen aufnehmen.

Normen

• SAE J 499-2014 – Parallelseitige Verzahnungen
• ANSI B92.1 – Amerikanische Norm für Evolventen- und geradflankige Verzahnungsprofile
• IS 2610 – Kraftübertragung: geradflankige Verzahnungen für Werkzeugmaschinen, Maße
• IS 3665 – Maße für evolventenflankige Verzahnungen
• IS 2327 – Geradflankige Verzahnungen für zylindrische Wellen
• BS 2059 – Geradflankige Verzahnungen und Kerbverzahnungen
• DIN 5463 – Verzahnungswellenverbindungen mit geraden Flanken; mittlere Reihe
• DIN 5480 – Evolventenverzahnungen auf Bezugsdurchmessern basierend
• Weitere Normen – DIN 5480, DIN 5481, DIN 5482, ISO 4156, E22-141, E22-145, ANSI und SAE Standards

Referenzen und weiterführende Literatur

• Dudley, D. W. (o. J.). When splines need stress control.
• Oberg, E., Jones, F. D., Horton, H. L., & Ryffel, H. H. (2016). Machinery's Handbook.
• Lingaiah, K. (2007). Machine Design Databook. Norwich, NY: Knovel.
• Bhandari, V. B. (2017). Design of Machine Elements. New Delhi: McGraw-Hill Education (India).
• British Standards Institution. 2059 (1953). Straight-sided Splines and Serrations. London: B.S.I.