Größere Karnaugh-Karten mit 5 und 6 Variablen

Größere Karnaugh-Maps reduzieren größere Logikdesigns. Wie groß ist groß genug? Das hängt von der Anzahl der Eingänge ab, Fan-Ins , zu der betrachteten Logikschaltung. Eines der großen Unternehmen für programmierbare Logik hat eine Antwort.

Alteras eigene Daten, die aus der Bibliothek mit Kundendesigns extrahiert wurden, stützen den Wert der Heterogenität. Durch die Untersuchung von Logikkegeln, das Mapping auf LUT-basierte Knoten und das Sortieren nach der Anzahl der Eingänge, die an jedem Knoten am besten wären, stellte Altera fest, dass die Verteilung der Fan-Ins zwischen zwei und sechs Eingängen nahezu flach war, mit einem schönen Peak um fünf.

Die Antwort ist nicht mehr als sechs Eingänge für die meisten Designs und fünf Eingänge für das durchschnittliche Logikdesign. Es folgt die Karnaugh-Karte mit fünf Variablen.

K-Map mit fünf Variablen

Die ältere Version der Fünf-Variablen-K-Map, eine Gray-Code-Map oder Reflection-Map, ist oben gezeigt. Die Oberseite (und die Seite bei einer Karte mit 6 Variablen) der Karte ist in vollem Gray-Code nummeriert. Der Gray-Code spiegelt ungefähr die Mitte des Codes wider. Diese Stilkarte findet sich in älteren Texten. Der neuere bevorzugte Stil ist unten.

Overlay-Version der K-Map

Die oben gezeigte Overlay-Version der Karnaugh-Map besteht lediglich aus zwei (vier für eine 6-Variablen-Map) identischen Maps, mit Ausnahme des höchstwertigen Bits der 3-Bit-Adresse ganz oben.

Wenn wir uns den oberen Rand der Karte ansehen, sehen wir, dass sich die Nummerierung von der vorherigen Gray-Code-Karte unterscheidet. Wenn wir die höchstwertige Ziffer der dreistelligen Zahlen ignorieren, ist die Folge 00, 01, 11, 10 steht an der Überschrift beider Unterkarten der Überlagerungskarte. Die Folge von acht 3-stelligen Zahlen ist kein Gray-Code. Obwohl die Folge von vier der zwei niederwertigsten Bits ist.

Lassen Sie uns unsere 5-Variablen Karnaugh Map verwenden. Entwerfen Sie eine Schaltung mit einem 5-Bit-Binäreingang (A, B, C, D, E), wobei A das MSB (Most Significant Bit) ist. Es muss für jede in den Eingangsdaten erkannte Primzahl ein logisches High am Ausgang erzeugen.

Wir zeigen die Lösung oben auf der älteren Gray-Code-(Reflexions-)Karte als Referenz. Die Primzahlen sind (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31). Zeichne eine 1 in jeder entsprechenden Zelle. Fahren Sie dann mit der Gruppierung der Zellen fort. Schreiben Sie zum Abschluss das vereinfachte Ergebnis.

Beachten Sie, dass die 4-Zellen-Gruppe A’B’E aus zwei Zellenpaaren auf beiden Seiten der Spiegellinie besteht. Das gleiche gilt für die 2-Zellen-Gruppe AB’DE. Es ist eine Gruppe von 2 Zellen, indem es an der Spiegellinie reflektiert wird. Wenn Sie diese Version der K-Karte verwenden, suchen Sie nach Spiegelbildern in der anderen Hälfte der Karte.

Aus =A’B’E + B’C’E + A’C’DE + A’CD’E + ABCE + AB’DE + A’B’C’D

Unten zeigen wir die gebräuchlichere Version der 5-Variablen-Karte, die Overlay-Karte.

Wenn wir die Muster in den beiden Karten vergleichen, werden einige der Zellen in der rechten Hälfte der Karte verschoben, da die Adressierung am oberen Rand der Karte unterschiedlich ist. Wir müssen auch einen anderen Ansatz verfolgen, um Gemeinsamkeiten zwischen den beiden Hälften der Karte zu erkennen.

Legen Sie eine Hälfte der Karte über die andere. Jede Überlappung von der oberen Karte zur unteren Karte ist eine potenzielle Gruppe. Die Abbildung unten zeigt, dass die Gruppe AB’DE aus zwei gestapelten Zellen besteht. Gruppe A’B’E besteht aus zwei gestapelten Zellenpaaren.

Für das A’B’E Gruppe von 4 Zellen ABCDE =00xx1 für die Gruppe. Das heißt, A,B,E sind gleich 001 jeweils für die Gruppe. Und, CD=xx das heißt es variiert, keine Gemeinsamkeit in CD=xx für die Gruppe der 4 Zellen. Da ABCDE =00xx1 , die Gruppe der 4 Zellen wird abgedeckt durch A’B’XXE =A’B’E .

Die obige 5-Variablen-Overlay-Karte wird gestapelt angezeigt.

Ein Beispiel für eine Karnaugh-Map mit sechs Variablen folgt. Wir haben die vier Unterkarten gedanklich gestapelt, um die Gruppe von 4 Zellen zu sehen, die Out =C’F’ . entspricht

Ein Größenkomparator (der zur Veranschaulichung einer 6-Variablen-K-Map verwendet wird) vergleicht zwei Binärzahlen und zeigt an, ob sie an drei jeweiligen Ausgängen gleich, größer oder kleiner alseinander sind. Ein Drei-Bit-Größenkomparator hat zwei Eingänge A₂ A₁ A₀ und B₂ B₁ B₀ Ein Größenkomparator mit integrierter Schaltung (7485) hätte tatsächlich vier Eingänge, aber die Karnaugh-Karte unten muss auf einer vernünftigen Größe gehalten werden. Wir lösen nur nach dem A>B Ausgang.

6 Variable K-Map

Unten hilft eine Karnaugh-Karte mit 6 Variablen, die Logik für einen 3-Bit-Größenkomparator zu vereinfachen. Dies ist ein Overlay-Kartentyp. Der binäre Adresscode oben und unten auf der linken Seite der Karte ist kein vollständiger 3-Bit-Gray-Code.

Obwohl die 2-Bit-Adresscodes der vier Unterabbildungen Gray-Code sind. Finden Sie redundante Ausdrücke, indem Sie die vier Submaps übereinander stapeln (siehe oben). Alle vier Maps könnten Zellen gemeinsam haben, jedoch nicht im folgenden Beispiel. Es hat Zellen, die Paaren von Submaps gemeinsam sind.

Die A>B-Ausgabe oben ist ABC>XYZ auf der Karte unten.

Wo auch immer ABC ist größer als XYZ , eine 1 ist geplottet. In der ersten Zeile ABC=000 darf nicht größer sein als einer der Werte von XYZ . Nein 1 s in dieser Zeile. In der zweiten Zeile ABC=001 , nur die erste Zelle ABCXYZ=001000 ist ABC größer als XYZ . Eine einzelne 1 wird in die erste Zelle der zweiten Zeile eingetragen. Die vierte Zeile, ABC=010 , hat ein Paar 1 S. Die dritte Zeile, ABC=011 hat drei 1 S. Somit ist die Karte mit 1 . gefüllt s in allen Zellen, in denen ABC ist größer als XXZ .

Bilden Sie in Gruppierungszellen nach Möglichkeit Gruppen mit angrenzenden Submaps. Alle bis auf eine Gruppe von 16 Zellen umfassen Zellen aus Paaren der Unterabbildungen. Suchen Sie nach den folgenden Gruppen:

• 1 Gruppe von 16 Zellen
• 2 Gruppen mit 8 Zellen
• 4 Gruppen von 4 Zellen

Die Gruppe der 16 Zellen, AX’ belegt die gesamte untere rechte Unterkarte; Wir kreisen es jedoch in der obigen Abbildung nicht ein.

Eine Gruppe von 8-Zellen besteht aus einer Gruppe von 4 Zellen in der oberen Unterkarte, die eine ähnliche Gruppe in der unteren linken Karte überlagert. Die zweite Gruppe von 8-Zellen besteht aus einer ähnlichen Gruppe von 4 Zellen in der rechten Unterkarte, die dieselbe Gruppe von 4 Zellen in der unteren linken Karte überlagert.

Die vier Gruppen von 4 Zellen werden oben auf der Karnaugh-Karte mit den zugehörigen Produktbegriffen angezeigt. Zusammen mit den Produkttermen für die beiden Gruppen von 8-Zellen und die Gruppe von 16-Zellen wird die endgültige Summe der Produkte-Reduktion gezeigt, alle sieben Terme.

Die 1 zählen s in der Karte gibt es insgesamt 16+6+6=28 Einsen. Vor der K-Map-Logikreduktion hätte unser SOP-Ausgang 28 Produktterme mit jeweils 6 Eingängen enthalten. Die Karnaugh-Karte ergab sieben Produktterme von vier oder weniger Eingaben. Darum geht es bei Karnaugh-Karten!

Der Schaltplan wird nicht angezeigt. Hier ist jedoch die Teileliste für den 3-Bit-Magnitudenkomparator für ABC>XYZ mit 4 Teilen der TTL-Logikfamilie:

• 1 Stück 7410 Dreifach-NAND-Gatter mit 3 Eingängen AX’, ABY’, BX’Y’
• 2 x 7420 Dual-4-Input-NAND-Gatter ABCZ’, ACY’Z’, BCX’Z’, CX’Y’Z’
• 1 Stück 7430 NAND-Gatter mit 8 Eingängen zur Ausgabe von 7-P-Termen

RÜCKBLICK:

• Boolesche Algebra, Karnaugh-Karten und CAD (Computer Aided Design) sind Methoden zur Vereinfachung der Logik. Das Ziel der logischen Vereinfachung ist eine Lösung mit minimalen Kosten.
• Eine Lösung mit minimalen Kosten ist eine gültige logische Reduktion mit der minimalen Anzahl von Gattern mit der minimalen Anzahl von Eingängen.
• Venn-Diagramme ermöglichen es uns, Boolesche Ausdrücke zu visualisieren und den Übergang zu Karnaugh-Maps zu erleichtern.
• Karnaugh-Kartenzellen sind in Gray-Code-Reihenfolge organisiert, damit wir Redundanz in booleschen Ausdrücken visualisieren können, was zu einer Vereinfachung führt.
• Die üblicheren Sum-Of-Products (Sum of Minters)-Ausdrücke werden als UND-Gatter (Produkte) implementiert, die ein einzelnes ODER-Gatter (Summe) speisen.
• Sum-Of-Products-Ausdrücke (UND-ODER-Logik) entsprechen einer NAND-NAND-Implementierung. Alle UND-Gatter und ODER-Gatter werden durch NAND-Gatter ersetzt.
• Weniger häufig verwendet, werden Product-of-Sums-Ausdrücke als ODER-Gatter (Summen) implementiert, die in ein einzelnes UND-Gatter (Produkt) einspeisen. Product-of-Sums-Ausdrücke basieren auf der 0 s, maxterms, in einer Karnaugh-Karte.