Größere Karnaugh-Karten mit 4 Variablen

Wenn wir wissen, wie man Gray-Code generiert, sollten wir größere Karten erstellen können. Eigentlich müssen wir uns nur die Abfolge von links nach rechts oben in der 3-Variablen-Karte ansehen und sie auf die linke Seite der 4-Variablen-Karte kopieren. Siehe unten.

Reduzierung von 4 variablen K-Maps

Die folgenden vier variablen Karnaugh-Karten veranschaulichen die Reduktion von Booleschen Ausdrücken, die für die Boolesche Algebra zu mühsam sind. Reduktionen können mit Boolescher Algebra durchgeführt werden.

Die Karnaugh-Karte ist jedoch schneller und einfacher, insbesondere wenn viele logische Reduktionen vorgenommen werden müssen.

Der obige boolesche Ausdruck hat sieben Produktterme. Sie werden von oben nach unten und von links nach rechts auf der K-Karte oben abgebildet. Zum Beispiel der erste P-Term A’B’CD ist die erste Zeile, dritte Zelle, die der Kartenposition entspricht A=0, B=0, C=1, D=1 .

Die anderen Produktbedingungen werden in ähnlicher Weise platziert. Um die größtmöglichen Gruppen herum werden oben zwei Vierergruppen angezeigt.

Die gestrichelte horizontale Gruppe entspricht dem vereinfachten Produktbegriff AB . Die vertikale Gruppe entspricht der booleschen CD. Da es zwei Gruppen gibt, gibt es zwei Produktterme im Sum-Of-Products-Ergebnis von Out=AB+CD .

Falten Sie die Ecken der Karte unten wie eine Serviette, um die vier Zellen physisch benachbart zu machen.

Die vier Zellen oben sind eine Vierergruppe, da sie alle die booleschen Variablen B’ . haben und D’ gemeinsam. Mit anderen Worten, B=0 für die vier Zellen und D=0 für die vier Zellen.

Die anderen Variablen (A, C) sind 0 in einigen Fällen 1 in anderen Fällen in Bezug auf die vier Eckzellen.

Somit sind diese Variablen (A, C) gehören nicht zu dieser Vierergruppe. Diese einzelne Gruppe erscheint als ein Produktbegriff für das vereinfachte Ergebnis:Out=B’D’

Rollen Sie für die unten stehende K-Map die oberen und unteren Kanten zu einem Zylinder, der acht benachbarte Zellen bildet.

Die obige Achtergruppe hat eine Boolesche Variable gemeinsam:B=0 . Daher wird die eine Gruppe von acht durch einen p-Term abgedeckt:B’ . Der ursprüngliche boolesche Ausdruck mit acht Begriffen vereinfacht sich zu Out=B’

P-Terme in 4 variablen K-Maps

Der boolesche Ausdruck unten hat neun p-Terme, von denen drei drei statt vier boolesche Ausdrücke haben. Der Unterschied besteht darin, dass, während vier boolesche variable Produktterme eine Zelle abdecken, die drei booleschen p-Terme jeweils ein Zellenpaar abdecken.

Die sechs Produktterme von vier booleschen Variablen werden in der oben üblichen Weise als einzelne Zellen abgebildet. Die drei Booleschen Variablenterme (jeweils drei) werden als Zellenpaare abgebildet, wie oben gezeigt.

Beachten Sie, dass wir p-Terme in die K-Map abbilden und sie an dieser Stelle nicht herausziehen.

Zur Vereinfachung bilden wir zwei Achtergruppen. Zellen in den Ecken werden mit beiden Gruppen geteilt. Das ist in Ordnung. Tatsächlich führt dies zu einer besseren Lösung, als eine Gruppe von acht und eine Gruppe von vier zu bilden, ohne irgendwelche Zellen zu teilen. Endgültige Lösung ist Out=B’+D’

Unten ordnen wir den nicht vereinfachten Booleschen Ausdruck der Karnaugh-Karte zu.

Oben bilden drei der Zellen Gruppen von zwei Zellen. Eine vierte Zelle kann mit nichts kombiniert werden, was bei Problemen der „realen Welt“ oft vorkommt. In diesem Fall ist der boolesche p-Term ABCD bleibt im Vereinfachungsprozess unverändert. Ergebnis:Out=B’C’D’+A’B’D’+ABCD

Oftmals gibt es mehr als eine Lösung mit minimalen Kosten für ein Vereinfachungsproblem. Dies ist der unten dargestellte Fall.

Beide obigen Ergebnisse haben vier Produktterme von jeweils drei booleschen Variablen. Beide sind gleichermaßen gültig minimale Kosten Lösungen. Der Unterschied in der endgültigen Lösung ist darauf zurückzuführen, wie die Zellen wie oben gezeigt gruppiert sind.

Eine Lösung mit minimalen Kosten ist ein gültiges Logikdesign mit der minimalen Anzahl von Gattern mit der minimalen Anzahl von Eingängen.

Nachfolgend bilden wir wie üblich die nicht vereinfachte Boolesche Gleichung ab und bilden als ersten Vereinfachungsschritt eine Vierergruppe. Es ist möglicherweise nicht offensichtlich, wie man die verbleibenden Zellen aufnimmt.

Nehmen Sie drei weitere Zellen in einer Vierergruppe in der Mitte oben auf. Es sind noch zwei Zellen übrig. Die Methode mit minimalen Kosten, diese zu erfassen, besteht darin, sie mit benachbarten Zellen in Vierergruppen wie oben rechts zu gruppieren.

Achtung:Versuchen Sie nicht, Dreiergruppen zu bilden. Gruppierungen müssen Zweierpotenzen sein, d. h. 1, 2, 4, 8 ...

Unten haben wir ein weiteres Beispiel für zwei mögliche Lösungen mit minimalen Kosten. Beginnen Sie damit, ein paar Vierergruppen zu bilden, nachdem Sie die Zellen zugeordnet haben.

Die beiden Lösungen hängen davon ab, ob die einzelne verbleibende Zelle mit der ersten oder der zweiten Vierergruppe als Gruppe von zwei Zellen gruppiert wird. Diese Zelle wird entweder als ABC' . ausgegeben oder ABD , deine Wahl.

In jedem Fall wird diese Zelle von einem der booleschen Produktterme abgedeckt. Die endgültigen Ergebnisse sind oben aufgeführt.

Unten haben wir ein Beispiel für eine Vereinfachung unter Verwendung der Karnaugh-Karte links oder der Booleschen Algebra rechts. Plot C’ auf der Karte als Fläche aller Zellen, die von der Adresse C=0 covered abgedeckt werden , die 8-Zellen auf der linken Seite der Karte. Zeichnen Sie dann die einzelne ABCD Zelle.

Diese einzelne Zelle bildet wie gezeigt eine Gruppe von 2-Zellen, was sich in P-Term ABD . vereinfacht , für ein Endergebnis von Out =C’ + ABD .

Dies (oben) ist ein seltenes Beispiel für ein Vier-Variablen-Problem, das ohne viel Arbeit mit Boolescher Algebra reduziert werden kann, vorausgesetzt, Sie erinnern sich an die Theoreme.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Karnaugh-Mapping-Arbeitsblatt