4-Variablen-Karnaugh-Diagramme meistern: Design, Reduktion und praktische Beispiele

Sobald Sie die Gray-Code-Sequenzierung verstehen, ist die Erweiterung eines 3-Variablen-Karnaugh-Diagramms auf 4 Variablen geradlinig: Kopieren Sie die Spaltenfolge des 3-Variablen-Diagramms auf die linke Seite des 4-Variablen-Gitters. Siehe die Abbildung unten.

 

Reduktionen von 4-Variablen-K-Diagrammen

Die folgenden Beispiele demonstrieren, wie Karnaugh-Diagramme Boolesche Ausdrücke vereinfachen, die mit Algebra allein mühsam zu handhaben wären. Während algebraische Manipulation möglich ist, bieten K-Diagramme einen schnelleren, visuellen Ansatz – besonders wenn viele Reduktionen erforderlich sind.

 

 

Der untenstehende Boolesche Ausdruck enthält sieben Produkterme. Sie werden sequenziell auf dem K-Diagramm eingetragen: der erste Term, A'B'CD, belegt die obere Reihe, dritte Zelle (A=0, B=0, C=1, D=1). Jeder nachfolgende Term folgt der gleichen Links-nach-Rechts, Oben-nach-Unten-Abbildung. Durch Einkreisen der größtmöglichen Gruppen identifizieren wir zwei Gruppen von vier. Die horizontale Gruppe ergibt den vereinfachten Term AB, und die vertikale Gruppe gibt CD. Der resultierende Summenprodukt-Ausdruck ist Out = AB + CD.

Falten Sie die Kartenecken wie bei einer Serviette; dies bringt die vier Eckenzellen in physische Nachbarschaft.

 

 

Diese vier Zellen teilen die Variablen B' und D' (beide gleich 0), während A und C variieren. Folglich reduziert sich die Gruppe auf den einzelnen Produktterm Out = B'D'.

Für das nächste Beispiel stellen Sie sich vor, die oberen und unteren Ränder werden zu einem Zylinder gerollt, wodurch acht benachbarte Zellen entstehen.

 

 

Hier teilt die Gruppe von acht die gemeinsame Variable B=0, was den vereinfachten Term Out = B' aus dem ursprünglichen Acht-Terme-Ausdruck liefert.

P-Terme in 4-Variablen-K-Diagrammen

Betrachten Sie einen Ausdruck mit neun Produkttermen, von denen drei nur drei Boolesche Variablen involvieren. In einem K-Diagramm belegen Vier-Variablen-Terme einzelne Zellen, während Drei-Variablen-Terme Zellenpaare abdecken. Die Abbildung ist unten dargestellt.

 

 

Durch Bilden zweier sich überlappender Gruppen von acht – wobei Eckenzellen geteilt werden – erreichen wir die effizienteste Vereinfachung: Out = B' + D.

Unten illustrieren wir den unvereinfachten Ausdruck auf dem K-Diagramm.

 

 

Drei Zellen bilden Paare, wodurch eine isolierte Zelle übrig bleibt, die nicht zusammengeführt werden kann. Der isolierte Term ABCD bleibt unverändert, was zu Out = B'C'D' + A'B'D' + ABCD führt.

Oft existieren mehrere minimal-kostige Lösungen. Das folgende Beispiel illustriert zwei äquivalente Lösungen, jeweils mit vier Produkttermen von drei Variablen.

 

 

Beide Lösungen erfüllen die Minimal-Kosten-Kriterien – Verwendung der wenigsten Gatter und Eingänge – trotz unterschiedlicher Gruppenanordnungen.

Beim Vereinfachen beginnen Sie mit der Identifizierung einer Gruppe von vier. Nachfolgende Gruppen werden so gewählt, dass sie verbleibende Zellen abdecken, wobei jede Gruppengröße eine Zweierpotenz ist (1, 2, 4, 8, …). Vermeiden Sie Gruppen von drei.

Ein weiteres Beispiel zeigt zwei gültige minimal-kostige Lösungen. Nach Bilden zweier initialer Gruppen von vier kann die verbleibende einzelne Zelle mit einer der beiden Gruppen gepaart werden, was entweder ABC' oder ABD als finalen Term ergibt.

 

 

In beiden Fällen sind die finalen Ausdrücke in der Komplexität äquivalent.

Schließlich vergleichen wir einen Karnaugh-Diagramm-Ansatz mit Boolescher Algebra. Das Eintragen von C' deckt die linke Hälfte der Karte ab (acht Zellen). Die verbleibende einzelne ABCD-Zelle bildet ein Paar mit ihrem Nachbarn, was sich auf ABD vereinfacht. Das Gesamtergebnis ist Out = C' + ABD, was einen seltenen Fall veranschaulicht, in dem algebraische Vereinfachung geradlinig ist.

 

 

Diese Beispiele unterstreichen die Macht von Karnaugh-Diagrammen für schnelle, zuverlässige Logikminimierung.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Karnaugh-Abbildung Arbeitsblatt