Kompensationssatz – Beweis, Erklärung und gelöste Beispiele

Beweis, Erklärung, Experiment und gelöste Beispiele des Kompensationssatzes für die Schaltungsanalyse

Kompensationstheorem

Manchmal ist es in der Netzwerktheorie wichtig, die Auswirkungen von Impedanzänderungen in einem ihrer Zweige zu kennen oder zu untersuchen. Es beeinflusst die entsprechenden Spannungen und Ströme des Netzwerks oder Stromkreises. Das Kompensationstheorem gibt Auskunft über die Veränderung im Netzwerk.

Der Kompensationssatz basiert auf dem Grundkonzept des Ohmschen Gesetzes. Wenn ein Strom durch den Widerstand fließt, tritt gemäß dem Ohmschen Gesetz ein gewisser Spannungsabfall über dem Widerstand auf. Dieser Spannungsabfall wirkt der Quellenspannung entgegen.

Daher schließen wir eine zusätzliche Spannungsquelle mit entgegengesetzter Polarität im Vergleich zur Quellenspannung an und die Größe entspricht dem Spannungsabfall. Das Kompensationstheorem arbeitet nach diesem Konzept.

Das Kompensationstheorem besagt,

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Erklärung des Kompensationssatzes

Um das Kompensationstheorem zu verstehen, betrachten Sie die folgende Abbildung.

In dieser Abbildung ist die Spannungsquelle V eine unabhängige Spannung und Quelle und zwei Impedanzen Z₁ und Z₂ sind lineare oder bilaterale Elemente. Daher können wir den Kompensationssatz auf dieses Netzwerk anwenden. Der Strom, der durch die Schleife fließt, ist I.

Nehmen Sie nun an, dass die Impedanz Z₂ um ∆Z erhöht. Aufgrund dieser Änderung ändert sich der Strom, der durch die Schleife fließt, und es ist I’. Der neue Schaltplan ist in der Abbildung unten dargestellt.

Aufgrund der Impedanzänderung ist die Stromänderung gegeben durch ∆I.

ΔIch =ich – ich

Nach dem Kompensationssatz können wir die Änderung des Stroms ∆I direkt berechnen. Dafür müssen wir die Schaltung modifizieren.

Die erste Modifikation besteht darin, eine Spannungsquelle mit dem Wert I∆Z an den Zweig anzuschließen, dessen Impedanz geändert wird. Und die Polarität dieser Spannungsquelle ist der Hauptquelle entgegengesetzt. Die neu hinzugefügte Spannungsquelle V_C ist als Kompensationsquelle bekannt.

V_C =ich ΔZ

Die zweite Modifikation ist, dass wir die alte Spannungsquelle durch ihre interne Impedanz entfernen müssen. Wenn wir eine ideale Spannungsquelle betrachten, können wir in diesem Zustand diese Spannungsquelle entfernen, indem wir ihren Anschluss kurzschließen. Nach diesen Modifikationen sieht die verbleibende Schaltung wie in der Abbildung unten aus.

Indem wir die obige Schaltung lösen, können wir leicht die Änderung des Stroms nach der Änderung der Impedanz finden.

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Beweis des Kompensationssatzes

Betrachten Sie die Schaltung in Abbildung-1. Berechnen Sie den Strom (I), der durch die Schleife fließt.

Wende KVL auf die Zahl-1 an;

Nun haben wir angenommen, dass die Impedanz Z₂ wird um ∆Z verändert. Und die modifizierte Schaltung ist wie in Abbildung 2 gezeigt. Wir müssen berechnen (I’), wie der Strom durch die Schleife in Abbildung 2 fließt.

Wende KVL auf die Zahl-2 an;

Aufgrund der Impedanzänderung wird die Schleifenstromänderung als ∆I bezeichnet. Und ∆I ist gleich der Differenz zwischen altem Strom I und neuem Strom I’.

ΔIch =ich – ich

Betrachten Sie nun die folgende Abbildung.

Diese Abbildung stellt die Schaltung nach der Implementierung des Kompensationssatzes dar. Hier wird die ursprüngliche Spannungsquelle durch Kurzschließen entfernt (ideale Spannungsquelle vorausgesetzt).

Wir werden feststellen, dass der Strom durch diese Schleife fließt, das heißt ich“. Und vergleichen Sie diesen Strom mit dem oben berechneten Strom.

Um den Strom zu berechnen, der durch die Schleife fließt, wenden Sie KVL auf die obige Abbildung an.

V_C =Z ₁ Ich” +(Z ₂ +ΔZ ) Ich”

V_C =Ich” (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Ich” =V_C / (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Ich” =ΔI

Daher ist bewiesen, dass die Stromänderung (∆I) nach der Modifikation die gleiche ist wie die Stromstärke, die durch das Kompensationstheorem berechnet wurde.

Und wir haben den Kompensationssatz bewiesen.

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Ein Experiment des Kompensationstheorems

Ziel: Beweisen Sie den Kompensationssatz und ermitteln Sie die Stromänderung.

Gerät: Voltmeter, Amperemeter, Widerstände, Verbindungsdrähte, Steckbrett,

Schaltplan:

Vorgehensweise:

Schritt-1 Verbinden Sie die Komponenten wie in Abbildung 5 gezeigt mit einem Verbindungsdraht auf einem Steckbrett.

Schritt-2 Messen Sie den Strom I.

Schritt-3 Verbinden Sie die Komponenten wie in Abbildung 6 gezeigt. Hier haben wir einen zusätzlichen Widerstand angeschlossen.

Schritt-4 Messen Sie den Strom I1.

Schritt-5 Berechnen Sie die Stromänderung (∆I) aus dem Wert von I und I1.

Schritt-6 Verbinden Sie die Komponenten wie in Abbildung 7 gezeigt. Diese Schaltung ist eine Kompensationsschaltung.

Schritt-7 Messen Sie den Strom I”.

Schritt-8 Vergleichen Sie die Änderung des Stroms (∆I) mit I”.

Experimentiertabelle:

Sr. Nein.	Ich	Ich 1	∆Ich	Ich”
1

Ergebnis:

Indem wir den Wert des Stroms I’’ mit ∆I vergleichen, können wir das Kompensationstheorem beweisen.

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Beispiel eines Kompensationssatzes

Beispiel-1

• 1) Finde den Strom, der durch den Zweig AB fließt, wenn der Widerstand 3Ω beträgt.
• 2) Ermitteln Sie den Strom, der durch den Zweig AB fließt, indem Sie den Kompensationssatz verwenden, wenn der 3Ω-Widerstand auf 9Ω geändert wird.
• 3) Beweise den Kompensationssatz.

Antwort-1

Wie in der Abbildung gezeigt, sind die 6Ω- und 3Ω-Widerstände parallel geschaltet. Und diese Parallelkombination ist mit einem 3Ω-Widerstand in Reihe geschaltet. Daher beträgt der äquivalente Widerstand:

R _Gl. =6 | | 3+3

R _Gl. =2 + 3

R _Gl. =5 Ω

Nach dem Ohmschen Gesetz;

10 =Ich (5)

Ich =10 ÷ 5

Ich =2A

Nun müssen wir die aktuellen Durchgänge durch den Zweig AB finden. Also, gemäß der aktuellen Teilerregel;

Ich =1,333 A (oder 3/4 A)

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Antwort-2

Wir müssen den 3Ω-Widerstand durch einen 9Ω-Widerstand ersetzen. Gemäß dem Kompensationssatz müssen wir eine neue Spannungsquelle in Reihe mit dem 9Ω-Widerstand hinzufügen. Und der Wert dieser Spannungsquelle ist;

V_C =ich ΔZ

Wo,

ΔZ =9 – 3 =6 Ω und I’ =4/3 A (oder 1,333 A)

V_C =(4/3A) x 6 Ω

V_C =8 V

Ein modifizierter Schaltplan oder ein kompensierter Schaltplan ist wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Nun finden wir den äquivalenten Widerstand. Hier sind 3Ω und 6Ω Widerstände parallel geschaltet. Und diese Parallelkombination ist mit einem 9Ω-Widerstand in Reihe geschaltet.

R_Eq =3 | | 6 + 9

R_Eq =2 + 9

R_Eq =11 Ω

Nun, nach dem Ohmschen Gesetz;

V =ΔI R

8 =ΔI (11 Ω)

ΔIch =8 ÷ 11

ΔIch =0,7272 A

Nach dem Kompensationssatz; die Stromänderung beträgt 0,7272A.

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Antwort-3

Wir wollen den Kompensationssatz beweisen. Also berechnen wir den Strom im gegebenen Beispiel mit einem 9Ω Widerstand.

Der modifizierte Schaltplan ist in der Abbildung unten dargestellt.

Hier werden 9Ω- und 6Ω-Widerstände parallel geschaltet und diese Parallelkombination mit dem 3Ω-Widerstand in Reihe geschaltet.

Der äquivalente Widerstand ist gleich;

R_Eq =9 | | 6 + 3

R_Eq =99 ÷ 15

R_Eq =6,66 Ω

Aus obiger Abbildung;

10 =Ich (6.66)

Ich =10 ÷ 6,66

Ich =1,5151 A

Gemäß der aktuellen Teilerregel;

Ich” =0,6060 A

ΔIch =ich – Ich”

ΔIch =(4/3A) – 0,6060

ΔIch =1,333 A – 0,6060

ΔIch =0,7273 A

Daher ist bewiesen, dass die aus dem Kompensationstheorem berechnete Stromänderung dieselbe ist wie die aus der ursprünglichen Schaltung berechnete Stromänderung.

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Beispiel-2

Finden Sie in der folgenden Schaltung die Stromänderung, wenn der 3Ω-Widerstand durch einen 7Ω-Widerstand ersetzt wird, indem Sie das Kompensationstheorem verwenden. Und beweise den Kompensationssatz.

Das obige Netzwerk besteht nur aus Widerständen und unabhängigen Stromquellen. Wir können also das Kompensationstheorem auf dieses Netzwerk anwenden.

In dieser Abbildung wird das Netzwerk von einer Stromquelle versorgt. Jetzt müssen wir den Strom finden, der durch den 3Ω-Widerstandszweig fließt. Dieser Strom kann mit KCL oder KVL gefunden werden. Aber hier kann dieser Strom leicht durch die Stromteilerregel gefunden werden.

Daher nach der aktuellen Teilerregel;

Ich =70 ÷ 10 A

Ich =7 A

Im ursprünglichen Netzwerk mit 3Ω-Widerstand beträgt der Strom, der durch diesen Zweig fließt, 3A. Jetzt müssen wir diesen Widerstand von 3Ω auf 7Ω ändern. Aufgrund dieser Änderung werden die Stromdurchgänge durch diesen Zweig geändert. Und wir finden diese Stromänderung durch den Kompensationssatz.

Dazu müssen wir ein Kompensationsnetzwerk erstellen. Um ein Kompensationsnetzwerk zu erstellen, müssen wir alle im Netzwerk verfügbaren unabhängigen Quellen entfernen, indem wir die Spannungsquelle kurzschließen und die Stromquelle öffnen.

In diesem Netzwerk ist nur eine Stromquelle verfügbar. Wir nehmen an, dass die Stromquelle eine ideale Stromquelle ist. Daher müssen wir den Innenwiderstand nicht hinzufügen.

Die zweite Änderung, die wir in der Kompensationsschaltung vornehmen müssen, ist das Hinzufügen einer zusätzlichen Spannungsquelle. Und der Wert dieser Spannung ist;

V_C =ich ΔZ

V_C =7 × (7 – 3)

V_C =7 × 4

V_C =28 V

Das Vergütungsnetzwerk ist wie in der Abbildung unten dargestellt.

Diese Figur hat nur eine Schleife. Und der Strom, der durch den Zweig von 7Ω fließt, gibt uns die Stromänderung (∆I).

ΔIch =V_C ÷ (7+7)

ΔIch =28 ÷ 14

ΔIch =2A

Um das Kompensationstheorem zu beweisen, finden wir den Strom in der Schaltung mit einem angeschlossenen 7Ω-Widerstand. Der modifizierte Schaltplan ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Ich” =(10 (7)) ÷ (7 + 7)

Ich” =70 ÷ 14

Ich” =5A

Durch Anwendung der aktuellen Trennregel;

Um die Änderung des Stroms zu finden, müssen wir diesen Strom von dem Strom subtrahieren, der durch das ursprüngliche Netzwerk fließt.

ΔIch =ich – Ich”

ΔIch =7 – 5

ΔIch =2A

Damit haben wir den Kompensationssatz bewiesen.

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