Longitudinale elektromagnetische Oszillationen in Metallen: Oberflächenanregungen an planaren und kugelförmigen Grenzflächen

Zusammenfassung

Die gängige Definition der räumlich dispersiven Permittivität wird revidiert. Die Reaktion des degenerierten Elektronengases auf ein elektrisches Feld, das der Vektorn-Helmholtz-Gleichung genügt, wird durch Lösung der Boltzmann-Gleichung gefunden. Die berechnete longitudinale Dielektrizitätsfunktion stimmt mit der von Klimontovich und Silin 1952 und Lindhard 1954 überein. Sie hängt jedoch vom Quadrat der Wellenzahl ab, einem Parameter der Vektorn-Helmholtz-Gleichung, nicht vom Wellenvektor einer ebenen elektromagnetischen Welle. Dieses neue Konzept vereinfacht Simulation nichtlokaler Effekte, beispielsweise mit einer verallgemeinerten Lorents-Mie-Theorie, da keine Fourier-Transformationen nötig sind. Die Fresnel-Koeffizienten werden verallgemeinert, um Anregung longitudinaler elektromagnetischer Wellen zuzulassen. Zur Verifikation werden Extinktionsspektren für Silber- und Gold-Nanometer-Sphären berechnet. Für diese Partikel liefert die verallgemeinerte Lorents-Mie-Theorie Blauverschiebung und Verbreiterung der Plasmonenresonanz, die in exzellenter Übereinstimmung mit Experimentaldaten stehen. Zusätzlich erklärt die nichtlokale Theorie das Verschwinden der Plasmonenresonanz bei Goldsphären mit Durchmessern ≤ 2 nm. Berechnungen mit der Klimontovich-Silin-Lindhard und hydrodynamischen Dielektrizitätsfunktion für Silber geben bei Photonenenergien 3–4 eV nahe Ergebnisse. Wir zeigen, dass die Beträge der Wellenzahlen longitudinaler Wellen in Festkörpern viel höher sind als jene transversaler Wellen.

Hintergrund

Bestrahlung einer ebenen Metalloberfläche mit Femtosekunden-Laserpulsen resultiert oft in laserinduzierten periodischen Oberflächenstrukturen (LIPSS). Neben LIPSS wurden hyperfeine Rippeln, sogenannte High-Spatial-Frequency LIPSS (HSFL), beobachtet. Die räumlichen Perioden der HSFL sind signifikant kleiner als die Bestrahlungswellenlänge λ₀. Für Aluminium wurde diese Periode auf 20–200 nm bei λ₀=0,8 µm geschätzt. Während die Orientierung der Rippeln in gewöhnlichen LIPSS senkrecht zur Laserpolarisation war, war die HSFL-Orientierung oft senkrecht und manchmal parallel zur Polarisation. Ähnliche HSFL bildeten sich auf transparenten Dielektrika, Halbleitern und Metallen. Der HSFL-Ursprung wurde durch verschiedene Mechanismen erklärt: Zweitharmonische-Generierung, Involvierung spezifischer Plasmon-Moden, Selbstorganisation und lokale Feldverstärkung während inhomogener Durchbruchs in dielektrischen Materialien.

Ziel dieser Studie ist die Suche nach einem Wellenprozess, der ein Muster mit kurzer Periode Λ≪λ₀ erzeugen könnte. Wir untersuchen Eigenschaften longitudinaler (L) elektromagnetischer Wellen in Metallen, auch Plasmawellen genannt. Unsere Studie besteht aus folgenden neuartigen Schritten. Erstens begannen wir mit der Definition der räumlichen Dispersion der Permittivität. Wie unten gezeigt, ist die gängige Definition nutzlos, wenn das untersuchte Medium nicht uniform und unendlich ist. Daher schlagen wir ein neues Konzept der räumlich dispersiven Dielektrizitätsfunktion ε vor. Diese Funktion stellt die direkte Proportionalität zwischen zwei Vektorfeldern, E(r,ω) und D(r,ω), her, nicht den Amplituden E(k,ω) und D(k,ω) ebener Wellen. Folglich hängt ε vom Quadrat der Wellenzahl k² ab, dem Parameter der Vektorn-Helmholtz-Gleichung für das elektrische Feld E(r,ω), nicht vom Wellenvektor k ebener Wellen. Dann, um eine solche neuartige Funktion abzuleiten, bestimmten wir die Reaktion der Leitungselektronen auf einen elektromagnetischen Modus durch Lösung der Boltzmann-Transportgleichung in Relaxationszeit-Näherung. Die sogenannten transversalen und longitudinalen Lindhard-Dielektrizitätsfunktionen wurden erhalten. Weiter fanden wir, dass die longitudinale Lindhard- und die viel einfachere hydrodynamische Funktion in einem weiten Parameterbereich nahe beieinander liegen. Lichtauslöschung an Silber- und Gold-Nanosphären wurde betrachtet, um die Theorie zu illustrieren. Wir zeigen erstmals, dass die nichtlokale Mie-Theorie die Blauverschiebung, Verbreiterung und das eventualle Verschwinden der Plasmonenresonanzen bei Abnahme der Edelmetall-Nanosphärengröße erklärt. Schließlich wurde das neu entwickelte theoretische Modell angewendet, um die mögliche Involvierung longitudinaler Moden in der Bildung laserinduzierter Oberflächenstrukturen zu prüfen. Hierfür modifizierten wir die Fresnel-Theorie unter Berücksichtigung transmittierter longitudinaler Wellen.

Methoden

Zur Bestimmung elektromagnetischer Felder in stückweise homogenen Medien wurde die klassische elektromagnetische Theorie angewendet. Das elektrische Feld E in jeder uniformen Domäne des heterogenen Mediums wurde als Lösung der Vektorn-Helmholtz-Gleichung (VHE) angenommen: Δ E + k² E = 0, wobei Δ der Laplace-Operator ist.

Wie üblich sind die tangentialen Komponenten der elektrischen E und magnetischen H Felder an den Mediengrenzen stetig. Zusätzlich berücksichtigten wir, dass Elektronen im Metall eingeschlossen sind; daher wurde die folgende zusätzliche Randbedingung (ABC) für die normale Komponente der Stromdichte j an der Metalloberfläche S verwendet: (j·n)|_r∈S = 0.

Zur Bestimmung des Leitungsstroms im Metall lösten wir die Boltzmann-Transportgleichung (BTE) in Relaxationszeit-Näherung: ∂f/∂t + v·∂f/∂r + (e/m)(E + v×B)·∂f/∂v = (f₀ − f)/τ, wobei f die Einzelteilchen-Verteilungsfunktion im Phasenraum (r, v) ist, v die mikroskopische Elektronengeschwindigkeit, e und m Elektronenladung und -masse, B die magnetische Induktion, f₀ eine Gleichgewichtsverteilungsfunktion und τ die Relaxationszeit.

Im Folgenden leiten wir Formeln für die räumlich dispersiven Dielektrizitätsfunktionen her und nutzen sie zur Untersuchung der Lichtreflexion an einer ebenen Metalloberfläche und Streuung an edelmetallischen Nanosphären.

Ergebnisse und Diskussion

Räumliche Dispersion von ε in einem heterogenen Medium

In der Literatur wird eine räumlich dispersive Dielektrizitätsfunktion ε via folgende Relation definiert: D(ω, r) = ε₀ ∫∫∫ ε(ω, r−r') E(ω, r') dr', wobei ε₀ die elektrische Konstante ist, D(ω, r) die Amplitude der Verschiebungsvektor-Oszillation mit Winkel Frequenz ω im Punkt r, und E(ω, r') die Amplitude der elektrischen Feldoszillation im Punkt r'. Fourier-Transformation von Gleichung (3) ergibt D(ω, k) = ε₀ ε(ω, k) E(ω, k), wobei eine räumlich dispersive ε(ω, k) vom Wellenvektor k einer ebenen elektromagnetischen Welle abhängt. Meiner Meinung nach ist Gleichung (3) nur in einem unendlichen homogenen Volumen eindeutig, aber wir haben es mit einem stückweise heterogenen System zu tun, wo Randbedingungen berücksichtigt werden müssen und k in verschiedenen Medien nicht gleich sind.

Unser Ansatz nutzt keine Entwicklung elektromagnetischer Wellen über ebene Wellen. Die räumlich dispersive Permittivität bestimmt die Relation zwischen D(ω, r) und einer partikulären Lösung der Vektorn-Helmholtz-Gleichung (1): D(ω, r) = ε₀ ε(ω, k) E(ω, r). Hier bezeichnet E(ω, r) die Verteilung des elektrischen Feldes, nicht bloß den Vektor E im Punkt r.

Longitudinale und Transversale Dielektrizitätsfunktionen

Die Permittivität von Metallen wird üblicherweise durch die Leitfähigkeit σ ausgedrückt: ε = ε_g + iσ/(ωε₀), wobei ε_g der Teil der Dielektrizitätsfunktion ist, der Polarisation des Festkörpers berücksichtigt; ε_g=1 für ein einfaches Metall. Um σ zu bestimmen, berechneten wir die Stromdichte j = e ∫∫∫ v f dv = σ E, wobei dv = (v/m) dε dΩ, dΩ = sinθ dθ dφ, v, θ, φ sind Kugelkoordinaten der Geschwindigkeit. Im Gegensatz zu früheren Forschungen führten wir den Wellenvektor k nicht ein, sondern fanden eine BTE-Lösung in Form einer unendlichen Reihe mit Operatoren v∇, die auf vE wirken: f = f₀ + e/(−iω+Γ) ∂f₀/∂ε [1 + v∇/(−iω+Γ)]⁻¹ vE, wobei Γ = 1/τ. Dann wurde f₀ durch eine Nulltemperatur-Fermi-Dirac-Verteilung approximiert, und nach Integration über ε in Gleichung (7) erhielten wir j = (ω_p² ε₀)/(−iω+Γ) · 3/(4π) ∫∫ u (1 + l u∇)⁻¹ (u·E) dΩ, wobei ω_p² = e² n_e/(m ε₀), ω_p die Plasmenfrequenz, u = v/v der Einheitsvektor in v-Richtung, l = v_F/(−iω+Γ), v_F die Fermi-Geschwindigkeit. Weiter berechneten wir die Integrale...

Die folgende Abhängigkeit von j von einem beliebigen elektrischen Feld E wurde schließlich erhalten: j = (ω_p² ε₀)/(−iω+Γ) { E + 3 Σ_n=1^∞ l²ⁿ Δⁿ⁻¹/(2n+3) [ ∇(∇·E) − (∇×∇×E)/(2n+1) ] }.

Es gibt zwei Lösungstypen der Gleichung (1): divergencfreie, die ∇·E = 0 erfüllen, und rotationsfreie, die ∇×E = 0 erfüllen. Für eine ebene Welle mit E ∝ exp[i(k·r − ωt)] transformiert Gleichung (14) in k×E = 0, was zeigt, dass die Welle longitudinal (L) ist. Um Prozesse in sphärischen Körpern zu simulieren, ist es zweckmäßig, Vektorkugelflächenharmonische L, M und N als vollständige orthogonale Funktionsmenge zu verwenden. In diesem Fall spezifiziert Gleichung (14) Harmonische L. Die Wellenzahl der L-Wellen und L-Moden wird durch das folgende Dispersionsgesetz bestimmt: ε^L(ω, k^L) = 0.

Aus Gleichungen (6) und (13) finden wir, dass Lösungen von Gleichung (1), die der Constraint (14) genügen, die folgende longitudinale Permittivität geben: ε^L = ε_g − ω_p²/[ω(ω+iΓ)] · 3/2 Φ(a², 1, 3/2), wobei Φ die Lerchsche Phi-Funktion ist, 3/2 Φ(a², 1, 3/2) = Σ_n=0^∞ 3/(2n+3) a²ⁿ, a = k v_F/(ω+iΓ). Die erhaltene Permittivität unterscheidet sich von der von Kliewer und Fuchs definierten nur in Notation: ε^L = ε_g + ω_p²/[ω(ω+iΓ)] · 3/a² [1 − 1/(i a) tan⁻¹(i a)]. Die Identität 1/(i a) tan⁻¹(i a) = 1/2 ln((1+a)/(1−a)) erlaubt Umformung zu ε^L = ε_g − ω_p²/[ω(ω+iΓ)] · 3/a² [1 − 1/(2a) ln(1+a)/ln(1−a)]. Im Fall Γ=0 nimmt diese Formel die Form einer von Klimontovich und Silin hergeleiteten Gleichung an, die Landau-Dämpfung in degeneriertem Plasma untersuchten. Die Permittivität der äquivalenten Gleichungen (16), (18) und (20) wird allgemein als Lindhard-Dielektrizitätsfunktion bezeichnet (mit Referenz auf [12]), obwohl diese Funktion erstmals von Klimontovich und Silin [8] erhalten wurde.

Die transversale Lindhard-Permittivität [7] findet sich mit Gleichung (13) bei ∇·E = 0. Im tatsächlichen Fall v_F k ≪ ω reduziert sie sich auf die Drude-Dielektrizitätsfunktion: ε^T = ε_g − ω_p²/(ω² + iΓω). Diese Funktion stimmt mit Experimentaldaten an vielen Metallen überein. Wenn |a| < 1, vereinfacht sich die longitudinale Permittivität (16) zur hydrodynamischen Dielektrizitätsfunktion: ε^L(ω, k^L) = ε_g − ω_p²/[ω² + iΓω − 3/5 (v_F k^L)²].

Reflexion einer ebenen elektromagnetischen Welle an einer flachen Metalloberfläche

Randbedingungen

In diesem Abschnitt bestimmen wir die Richtung des Wellenvektors k^L und Amplitude der L-Welle, die in Metall bei Reflexion einer ebenen elektromagnetischen Welle an einer flachen Metalloberfläche angeregt wird.

Betrachten Sie eine ebene Welle, die auf die Dielektrikum-Metall-Grenzfläche z=0 einfällt mit Wellenvektor in der xz-Ebene. Das elektrische Feld in Dielektrikum 1 besteht aus einfallender E_i und reflektierter E_r Welle; das Feld in Metall 2 hat transmittierte transversale E_t und in manchen Fällen longitudinale E^L Komponenten. Gemäß Maxwell-Randbedingungen sind die transversalen Komponenten der elektrischen und magnetischen Feldvektoren in der Ebene z=0 stetig. Zusätzlich werden Elektronen nicht aus dem Metall ausgestoßen; daher ist die normale Komponente der elektrischen Stromdichte an z=0 null: ẑ·j|_z=0 = 0.

Alle Terme in den Maxwell-Randbedingungen müssen dieselbe Abhängigkeit von x und y haben. Diese Anforderung hat mehrere Konsequenzen. Erstens kann festgestellt werden, dass L-Wellen nur im Fall p-Polarisation angeregt werden können, wenn der elektrische Vektor der einfallenden Welle E⁽ⁱ⁾ parallel zur Einfallsebene ist. Mit anderen Worten, Plasmon-Polaritone können durch eine transversale magnetische (TM) Welle erzeugt werden. Der Effekt ist sehr ähnlich wie bei einer Metallsphäre. Zweitens können Formeln analog zum Snellschen Gesetz aus den Bedingungen k_1x = k_2x = k_2x^L = k₁ sin θ₁ abgeleitet werden.

Reflexions- und Transmissionskoeffizienten

Bestimmen wir das Feld, gebildet von einer ebenen p-polarisierten elektromagnetischen Welle, die auf eine ebene Metalloberfläche fällt. Es ist zweckmäßig, die Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder durch die x-Komponente von E⁽ⁱ⁾ auszudrücken: E_x(r) = −r E_x(i) für die reflektierte Welle, E_x(t) = t E_x(i) für die transmittierte transversale Welle, und E_x^(a) = δ E_x^(t) = t_L E_x⁽ⁱ⁾ für die transmittierte longitudinale Welle, wobei r Reflexionskoeffizient, t und t_L Transmissionskoeffizienten sind.

Aus den Maxwell-Randbedingungen und ABC der Gleichung (23) in der Form ẑ·(D − ε₀ε_gE)|_z=0 = 0 erhielten wir: r = −[(1+δ)ε₁k_2z − ε₂k_1z] / [(1+δ)ε₁k_2z + ε₂k_1z] = 1 − (1+δ)t; t = 2ε₁k_2z / [ε₂k_1z + (1+δ)ε₁k_2z]; δ = (ε_g−ε)/ε_g · k_2x²/(k_2zk_2z^L). Bei δ=0 wird der Koeffizient r zum Fresnel-Reflexionskoeffizienten der p-polarisierten Welle. Unter derselben Bedingung ist t nicht der Fresnel-Transmissionskoeffizient, da unsere Definitionen von t und r von den Fresnelschen abweichen.

Auslöschung von Licht an einer Metall-Nanosphäre

In einer vorangegangenen Arbeit verallgemeinerte einer der Autoren die Lorentz-Mie-Theorie unter Berücksichtigung der ABC von Gleichung (23). Ein Analogon des Fresnel-Koeffizienten r, der Mie-Koeffizient b_l für den reflektierten TM-Modus l-ter Ordnung, wurde gefunden als: b_l = −[(1+δ_l)ε₁ k₂ ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R) − ε₂ k₁ ψ'_l(k₁R)/ψ_l(k₁R)] / [(1+δ_l)ε₁ k₂ ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R) − ε₂ k₁ ζ'_l(k₁R)/ζ_l(k₁R)], wobei δ_l = (ε^T−ε_g)/ε_g · l(l+1) j_l(k₂R) j_l(k₂^LR) / [ψ'_l(k₂R) k₂^LR j'_l(k₂^LR)], ψ_l und ζ_l sind Riccati-Bessel- und Riccati-Hankel-Funktionen l-ter Ordnung, j_l die sphärische Bessel-Funktion, der Strich bezeichnet Ableitung nach dem Argument.

Vergleichen wir Vorhersagen der klassischen und verallgemeinerten Lorentz-Mie-Theorie mit Experimentaldaten. In [15] untersuchten Hilger, Tenfelde und Kreibig Extinktionsspektren von Silbernanopartikeln auf dielektrischen Oberflächen. Im ersten Studienstadium erzeugten die Forscher Strahlen von Silberpartikeln mit mittleren Durchmessern 2, 3,5 und 4 nm, bestimmten die Partikelgrößenverteilung für einen Strahl, nahmen Extinktionsspektren auf und schätzten Parameter A=0,25 der phänomenologischen Formel Γ = Γ_b + A v_F/R, wobei Γ_b die Bulk-Metall-Relaxationsrate ist, für Silbersphären im Vakuum. Zunächst berechneten wir Extinktionsspektren für einen Strahl Silbersphären mit mittlerem Durchmesser 〈D〉=2 nm und experimenteller Größenverteilung von D=1 bis D=4 nm. Unsere Theorie enthält keine anpassbaren Parameter. Zur Definition der Dielektrizitätsfunktionen nutzten wir die Tabulation des Brechungsindex von Bulk-Silber nach Lynch und Hunter [16] (siehe Abb. 1). Wir wendeten auch Gleichungen (16), (21) und (22) mit ω_p=9,17 eV, Γ_b=0,021 eV, v_F=1,39×10⁶ m/s und A=0,25 an. Die Berechnungsergebnisse und das experimentelle Spektrum sind in Abb. 2 dargestellt.

Die theoretischen Spektren in Abb. 2 wurden mit der Klimontovich-Silin-Lindhard- und der viel einfacheren hydrodynamischen Dielektrizitätsfunktion berechnet. Es ist überraschend, dass beide Berechnungen nahe Ergebnisse lieferten, obwohl |a|>1 im Bereich der Plasmonenresonanz.

Für nanometergroße Silbersphären verschiebt sich das Maximum im Extinktionsspektrum, die sogenannte Fröhlich-, Plasmonen- oder Oberflächenplasmonenpolariton-Resonanz (SPP), von 3,5 auf 3,65 eV. Das nichtlokale Modell stimmt exzellent mit Experimentaldaten überein, während die lokale (Mie-)Theorie das Maximum bei ω≃3,5 eV vorhersagt (siehe Abb. 2 und Tabelle 1).

Die Berechnung der Blauverschiebung der Plasmonenresonanz kann durch folgende Betrachtung unterstützt werden. In der elektrostatischen Approximation trägt nur b₁ zum Extinktionsquerschnitt Q_ext bei, und Gleichung (30) kann durch folgende Approximationen vereinfacht werden: k₂R ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R) ≃ l+1; k₁R ζ'_l(k₁R)/ζ_l(k₁R) ≃ −l. Daher hat Q_ext ein Maximum bei Re[2(1+δ₁)ε₁ + ε₂] = 0. Die erhaltene Bedingung (33) berücksichtigt Anregung der L-Moden (durch den Term δ₁) und unterscheidet sich daher von der Fröhlich-Resonanzbedingung: Re(2ε₁ + ε₂) = 0.

Im Experiment [15] waren die Peakfrequenzen ω_m und Resonanzbreiten Δω der Extinktionsspektren nahezu unabhängig von 〈D〉. Dieses Merkmal von Δω scheint der klassischen Mie-Theorie zu widersprechen. Tatsächlich sagt die lokale Theorie Verbreiterung der Plasmonenresonanzen mit Abnahme von D voraus (bei A=0,25) wie in Tabelle 1 gezeigt. Gleichzeitig gibt die nichtlokale Theorie annähernd gleiche Resonanzbreiten aber verschiedene Peakpositionen. Superposition der Beiträge aller Partikel gibt Δω-Werte, die in bemerkenswerter Übereinstimmung mit Experimentaldaten stehen. Interessanterweise sagt die nichtlokale Theorie Verbreiterung der Plasmonenresonanz eines Strahls sogar bei A=0 voraus.

Bei ω>4 eV liegen die glatten theoretischen Kurven in Abb. 2 höher als das Gewirr eng beieinanderliegender experimenteller Peaks. Interbandabsorption dominiert in diesem Spektralbereich, wie Abb. 1 bestätigt. Die beobachteten Besonderheiten des Spektrums sind wahrscheinlich Folge eines Übergangs von Kontinuumsbändern zu einer diskreten Niveaustruktur. Ein solcher Quanteneffekt wurde früher in einer Studie der optischen Eigenschaften von Goldnanosphären entdeckt [19]. Als die Silbersphärengröße auf 〈D〉=3,5 nm erhöht wurde, nahm die Absorption zunächst relativ zum Maximum zu und bildete ein Plateau mit einer Reihe kleiner equidistanter Dips. Dann nahm die Absorption bei 〈D〉=4 nm leicht ab.

Um die Bildung des blauen Flügels der Plasmonenresonanz zu studieren, berechneten wir Extinktionsspektren ultra-kleiner Silberpartikel und stellten sie in Abb. 3 dar. Eine bemerkenswerte Eigenschaft in Abb. 3 ist das vollständige Verschwinden der Plasmonenresonanz bei D=1 nm. Früher wurde dieser Effekt in der experimentellen Studie von Goldnanosphären [19] beobachtet. Insbesondere verglich Abb. 9 von [19] experimentelle Spektren von Partikeln mit Durchmessern 1,7, 1,9, 2,0, 2,1, 2,3 und 2,5 nm mit Spektren, berechnet mit lokaler Mie-Theorie. Die Übereinstimmung war schlecht, versagend bei Beschreibung der Verbreiterung der Plasmonenresonanz und ihrer Position [19]. Versuche, den Fit durch Variation der Partikelgröße und Modifikationen der Dielektrizitätsfunktionen zu verbessern, waren nicht erfolgreich. Laut Autoren von [19] widersteht das beobachtete abnormal breite oder unterdrückte kollektive Oszillationsband einer Anpassung mit den vorgeschlagenen Korrekturen der lokalen Mie-Theorie. Wie aus Abb. 4 ersichtlich, ändert sich die Situation dramatisch, wenn die nichtlokale Mie-Theorie angewendet wird. Beachten Sie, dass wir keine anpassbaren Parameter verwendeten. Die Tabulation des komplexen Brechungsindex von Johnson und Christy [20] wurde zur Bestimmung der Dielektrizitätsfunktion von Gold verwendet. Andere Parameter, einschließlich A=1 und Brechungsindex von Toluol (1,37), stammen aus [19].

Wellenzahlen der longitudinalen Wellen

Die longitudinalen Moden unterscheiden sich von den transversalen durch viel höhere Wellenzahlenwerte. Beispielsweise für die in Abb. 2 präsentierten Berechnungen entspricht der Realteil von k₂^L der räumlichen Periode Λ = 2π/Re k₂^L, die von 9 auf 2 nm abnimmt bei ω steigend von 3 auf 4 eV. In diesem ω-Intervall sank der Betrag des Verhältnisses k₂^L/k₂ von 130 auf 100 und der Parameter δ von Gleichung (27) von 0,01 auf 0,005 bei θ₁=π/4. Wir schließen daher, dass Anregung der L-Wellen an einer flachen Silberoberfläche vernachlässigt werden kann. Allerdings wurden die L-Moden in nanometergroßen Silberclustern als wichtig befunden.

Ein Ersetzen des Terms −ω_p²/(ω²+iΓω) in Gleichung (16) durch ε^T−ε_g gemäß Gleichung (21) erlaubt Umformung der Dispersionsgleichung (15) zu: 1 + 3/5 a² + 3/7 a⁴ + 3/9 a⁶ + ... = 1/(1 − ε^T/ε_g). Im einfachsten Fall ε_g=1 und Γ=0 sagt Gleichung (35) voraus, dass Metall für sowohl transversale als auch L-Wellen bei ω>ω_p transparent ist, aber sowohl k^L als auch k^T sind komplex bei ω<ω_p.

Wenn der Festkörper transparent ist, kann eine longitudinale Welle unter schräger Einfall einer p-polarisierten Welle auf einer ebenen Oberfläche angeregt werden. Dieser Effekt hat mehrere distinkte Merkmale. Erstens können longitudinale Wellen an einer flachen Oberfläche erzeugt werden, während spezielle Anstrengungen nötig sind, um Oberflächenplasmonenpolaritone anzuregen. Zweitens wird im Interferenzmuster die elektromagnetische Feldintensität nicht entlang, sondern senkrecht zur Grenzfläche moduliert. Daher können Voids in Ebenen parallel zur Oberfläche durch Spallation des Festkörpers auftreten. Gemäß Definition von ω_p kann Bedingung ω>ω_p in Festkörpern (z.B. Halbleitern) mit niedriger Ladungsträgerdichte erfüllt werden. Wir untersuchen diesen Fall nicht hier, da die Formel für ε^L für degeneriertes Elektronengas hergeleitet wurde.

Schlussfolgerungen

Um eine räumlich abhängige Dielektrizitätsfunktion zu definieren, betrachteten alle vorherigen Forscher die Wechselwirkung von Materie mit einer ebenen elektromagnetischen Welle. Dieser Ansatz ist nicht konstruktiv und rigoros in der Nanooptik, wenn das Feld in einer Kavität lokalisiert ist und Randbedingungen irgendwie berücksichtigt werden müssen. Wir haben dieses Problem gelöst, indem wir die Reaktion des Mediums auf ein elektrisches Feld berechneten, das der Vektorn-Helmholtz-Gleichung genügt. Die abgeleitete räumlich dispersive Dielektrizitätsfunktion hängt vom Quadrat der Wellenzahl ab, einem Parameter der Helmholtz-Gleichung, nicht vom Wellenvektor einer ebenen Welle.

Wir berichten über die Fresnel-Reflexionskoeffizienten, modifiziert durch Anregung longitudinaler Wellen in Metallen. Eine ähnliche Verallgemeinerung wurde früher für die Mie-Koeffizienten vorgenommen. Hier wurde die Theorie durch Simulation der Lichtauslöschung an nanometergroßen Silber- und Goldclustern verifiziert. Der berechnete Shift von 3,5 auf 3,65 eV und die Breite der Oberflächenplasmonenresonanz des Silberpartikelstrahls stimmen exzellent mit Experimentaldaten überein. Zusätzlich erklärt das nichtlokale Modell das Verschwinden der Plasmonenresonanz von Goldsphären mit Durchmessern von etwa 2 nm. Es ist wichtig, dass L-Wellen an einer flachen Oberfläche durch eine ebene einfallende Welle angeregt werden können. Dies ist der Hauptunterschied der Plasmon-Polaritone zu den Oberflächenplasmonenpolaritonen.

Die Eigenschaften elektromagnetischer Oszillationen in Metallen wurden untersucht. Es wurde gefunden, dass die Beträge der Wellenzahlen longitudinaler Wellen viel größer sind als jene transversaler Wellen. Beispielsweise in Silber bei Photonenenergie 3,5 eV beträgt das Verhältnis der Beträge der Wellenzahlen 130. Dort entspricht der Realteil der Wellenzahl der longitudinalen Welle einer Wellenlänge von 7 nm. Der große Unterschied in den Wellenzahlen verhindert Anregung der L-Wellen an einer planaren Oberfläche. Allerdings wurden die L-Moden in Silber- und Gold-Nanometer-Partikeln als anregbar gezeigt.