Theoretische Analyse biaxial zugbeanspruchter Germanium-Nanodrähte auf GaSb

wobei \(h\) die Höhe des Ge-NW-Querschnitts ist, \(\sigma_i\) (\(i = A, B, C\)) die mittlere Oberflächenenergie der freiliegenden Facetten pro Flächeneinheit und \(\theta_i\) der entsprechende Winkel zwischen NW-Facetten und Grenzfläche (schematisch in Abb. 1c). Die Dehnung in der Oberflächenenergie wird wegen ihres geringen Einflusses vernachlässigt, wie in Ref. [25] behandelt. Tabelle 1 zeigt Literaturwerte der Oberflächenenergie. Der letzte Term, die Kantenenergieänderung, steht für den Energieaufwand zur Bildung scharfer Kanten und ist gegeben durch

wobei \(3\Gamma\) die gesamte Kantenenergie einschließlich der oberen und beiden basalen Facettenschnittlinien ist. Der geschätzte Wert von \(3\Gamma\) beträgt 3,7 eV/nm durch experimentelle Anpassung [26]; der Einfluss der Kantenenergie kann wegen seines kaum variierenden Werts vernachlässigt werden [25]. Daher ist es gültig, den Energiezuwachs von \(\Delta E_{\text{total}} - 3\Gamma\) zu berechnen.

Kennt man die Spannungsverteilung, so kann der spannungsabhängige Leitungsbandabfall im Γ- und L-Tal unter Vernachlässigung des Quanteneffekts berechnet werden. Das Leitungsband im Γ-Tal wird nur durch hydrostatische Dehnung abgesenkt:

wobei \(a_c\) das hydrostatische Deformationspotenzial mit dem Wert −8,24 eV am Γ-Punkt [27] bezeichnet, \(\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}\) die Dehnungen in x-, y- und z-Richtung im Materialkoordinatensystem sind. Die Verschiebung des Leitungsbands am L-Punkt unterliegt jedoch sowohl hydrostatischer als auch Scherdehnung [19]:

wobei \(\Xi_d\) und \(\Xi_u\) das Dilatations-Deformationspotenzial (−6,97 eV) bzw. das uniaxiale Deformationspotenzial (16,3 eV) am L-Tal sind. Damit Ge zu einem direkten Halbleiter wird, muss das Γ-Tal unter das L-Tal sinken, d.h. \(\Delta E_c^{\Gamma, L} = \Delta E_c^\Gamma - \Delta E_c^L < -0,136\) eV. Wir definieren \(\Delta E_{\text{DT}} = \Delta E_c^{\Gamma, L} + 0,136\), um die Differenz zwischen Γ- und L-Punkt darzustellen. Sobald der Γ-Punkt unter den L-Punkt fällt, wird \(\Delta E_{\text{DT}}\) negativ. Eine Reihe von zugbeanspruchten Ge-NWs mit variierten Größen wird simuliert, um den direkten Bandübergang zu zeigen.

Zusätzlich wird aufgrund der hohen Zugspannung im Ge-NW das Γ-Tal unter das L-Tal abgesenkt, während das Leichtlochbandmaximum zum Valenzbandmaximum wird [28]. Die Bandlücke in einem solchen hoch zugbeanspruchten Ge-NW ist die Differenz zwischen Γ-Tal und Leichtlochbandmaximum am Γ-Punkt. Daher werden die räumlich verteilte Bandlücke sowie die Bandkantenenergien am Γ-Punkt (\(\mathbf{k}=0\)) – Leitungsband, Schwere-Lochband und Leichtlochband – mittels Acht-Band-\(\mathbf{k}\cdot\mathbf{p}\)-Theorie [29] berechnet. Der Quanteneffekt wird vernachlässigt, da er in unserem Ge-NW-Modell mit 40 nm Basalbreite sehr schwach ist. Die Ergebnisse können zur Untersuchung der Elektron-Loch-Rekombination im zugbeanspruchten Ge-NW sowie des Mechanismus der Mobilitätssteigerung herangezogen werden. Allgemein lässt sich die Elektronen- oder Lochbeweglichkeit durch \(\mu = e\tau/m^*\) angeben, wobei \(m^*\) die effektive Trägerträgermasse und \(\tau\) die Elektron-Phonon-Streuzzeit ist. Im Modell einer parabolischen Approximation für Γ- und L-Täler mit isotropem Streuen ist die Streuzzeit proportional zu \(m_{\text{DOS}}^{*-3/2}\), was zu einem Mobilitätsverhältnis \(\mu_\Gamma/\mu_L = 182\) führt, wenn das Γ-Tal unter das L-Tal sinkt und sowohl Streuzzeit als auch effektive Elektronenmasse spannungsunabhängig sind [30]. Angesichts der Komplexität der Berechnung anisotroper Streuung und spannungsabhängiger effektiver Massen in unserem NW-Modell analysieren wir nur qualitativ die Verbesserung sowohl der Elektronen- als auch der Lochbeweglichkeit in einem hoch zugbeanspruchten Ge-NW durch die Abnahme beider effektiven Massen am Γ-Punkt.

Ergebnisse und Diskussion

Wir betrachten das System als initial vollständig zugbeansprucht aufgrund der großen Gitterfehlanpassung von 7,7 % zwischen Ge und GaSb. Abbildung 2 zeigt die 2D-residuelle Dehnungsverteilung – In-Plane-Dehnung \(\varepsilon_{xx}\), Scherdehnung \(\varepsilon_{xy}\) und vertikale Dehnung \(\varepsilon_{zz}\) – von Situation A mit Basalbreite \(w = 40\) nm im stationären Zustand nach Relaxation. Die Dehnungsdefinition lautet \((a_{\text{Ges}} - a_{\text{Ge}})/a_{\text{Ge}}\), wobei \(a_{\text{Ges}}\) und \(a_{\text{Ge}}\) die Gitterkonstanten von strapaziertem bzw. entspanntem Ge sind. Wie in Abb. 2a zu sehen, erreicht \(\varepsilon_{xx}\) an den beiden basalen Kanten einen Maximalwert von ca. 15,4 %, weit über der Initialspannung, fällt aber scharf vom Rand zum Zentrum auf einen Minimalwert von ca. 3,3 %. In z-Richtung vom Boden zur Spitze des Ge-NWs nimmt \(\varepsilon_{xx}\) ebenfalls ab aufgrund der Relaxation. Die Verteilung von \(\varepsilon_{zz}\) weist ähnliche Charakteristika auf wie \(\varepsilon_{xx}\) (Abb. 2b). Im Gegensatz zur biaxialen Dehnung in Ge-Dünnschichten zeigt Abb. 2c, dass die asymmetrisch verteilte Scherdehnungskomponente im Ge-NW eine bedeutende Rolle beim direkten Bandübergang spielt. Die Dehnungsverteilung ist in den drei Situationen sehr ähnlich. Dennoch unterscheiden sich die Werte der Dehnungskomponenten aufgrund der unterschiedlichen Breite-Höhe-Verhältnisse (\(W/H\)), die durch die Form induziert werden. Situation B mit {105}-Facetten hat das größte \(W/H = 10\) und zeigt hohe Dehnung ähnlich wie in Ge-Dünnschichten. Situation C mit {111}-Facetten weist ebenfalls hohe Dehnung auf, da die NW-Wachstumsrichtung entlang [110] einen unveränderlichen Dehnungswert beibehält, was \(\varepsilon_{xx}\) und \(\varepsilon_{yy}\) gleichzeitig erhöht. Daher kann die In-Plane-Dehnung kaum relaxiert werden.

Entsprechend der Dehnungsverteilung lässt sich der Dehnungsenergiezuwachs ermitteln. Wie zuvor diskutiert, weist Situation B den höchsten Dehnungsenergiezuwachs auf, Situation A den niedrigsten. Bei der Oberflächenenergieänderung liefert Situation B abnehmende negative Werte mit wachsender Querschnittsfläche, während die anderen beiden Situationen unter gleicher Fläche sehr ähnliche positive Werte zeigen. Der Gesamtenergiezuwachs ohne Kantenenergieänderung ist in Abb. 3a dargestellt. Das Ergebnis zeigt, dass Ge-NWs nur in Situation C unwahrscheinlich sind, da der Energiezuwachs nie der niedrigste ist. Mit zunehmender Fläche gibt es zwei unterschiedliche Verläufe des Energiezuwachses; die vertikale Strichlinie markiert den kritischen Flächenwert \(A_c = 136,2\ \text{nm}^2\), der die Ge-Menge entspricht. Liegt die Fläche unter 136,2 nm², neigen Ge-NWs zur Form von Situation B, oberhalb zu Situation A. Die Berechnung prognostiziert, dass zugbeanspruchte Ge-NWs auf GaSb bei geringer Ge-Menge eine hohe \(W/H\)-Dreiecksform im Querschnitt bevorzugen, nach Überschreiten des kritischen Wertes jedoch eine niedrige \(W/H\)-Form. Abb. 3b–e zeigen die Verteilungen von hydrostatischer Dehnung und der Summe der Beträge der Scherdehnungskomponenten in Situation A und B am kritischen Flächenwert. Im Vergleich zwischen Situation A und B weist Situation A größere Maximalwerte sowohl der hydrostatischen Dehnung als auch von \(|\varepsilon_{xy}| + |\varepsilon_{yz}| + |\varepsilon_{xz}|\) auf, Situation B jedoch größere mittlere hydrostatische Dehnung und kleinere mittlere Scherdehnungssumme. Gleichzeitig zeigt Situation B eine geringere räumliche Variation sowohl der hydrostatischen Dehnung als auch der Scherdehnungssumme. Diese Eigenschaften ähneln stark denen von Ge-Dünnschichten und werden dem hohen \(W/H\)-Wert zugeschrieben. Folglich ergibt sich gemäß Gleichungen (5) und (6) für Situation B ein kleinerer Wert von \(\Delta E_{\text{DT}}\) als für Situation A, was eine hohe Wahrscheinlichkeit für die Umwandlung von Ge in einen direkten Halbleiter bedeutet.

Wegen der hohen Zugspannung im Ge-NW kann fast der gesamte Bereich in einen direkten Bandabstand überführt werden. Abb. 4a zeigt die Verteilung von \(\Delta E_{\text{DT}}\) mit wachsender Ge-NW-Größe. Der Wert von \(\Delta E_{\text{DT}}\) fällt von der Spitze zum Boden der Ge-NWs. Interessanterweise liegt das Minimum von \(\Delta E_{\text{DT}}\) in Situation B an der unteren Kante des Querschnitts, in Situation A im unteren Zentrum. Der Grund für diese unterschiedliche Verteilung ist, dass die signifikante Scherdehnung an der unteren Kante in Situation A stärker zu \(\Delta E_c^L\) beiträgt als in Situation B. Für Ge-NWs in Situation B unterhalb der kritischen Fläche ist der mittlere \(\Delta E_{\text{DT}}\) weit niedriger als in Situation A oberhalb der kritischen Fläche (Abb. 4b). Am kritischen Punkt springt der Mittelwert von \(\Delta E_{\text{DT}}\) plötzlich von −0,308 auf −0,137 eV. Für die gleiche Form sind Verteilung und Mittelwert von \(\Delta E_{\text{DT}}\) im Wesentlichen ähnlich, ohne offensichtliche Größenabhängigkeit. Um den inhärenten Zusammenhang zur Dehnung im Ge-NW zu ermitteln, tragen wir in Abb. 5 die hydrostatische Dehnungskomponente an der Ge-NW-Basis in Abhängigkeit von der Basalbreite auf. Die Kurven der hydrostatischen Dehnungskomponente für verschiedene Größen versus der relativen Position an der Basis überlagern sich fast vollständig, abgesehen von Unterschieden im Randbereich. Konsistente Ergebnisse finden sich für \(\varepsilon_{xx}\) und die Summe der absoluten Scherkomponenten. Daher besitzt der spannungsinduzierte Wert von \(\Delta E_{\text{DT}}\) in Ge-NWs gleicher Form eine identische Verteilung.

Weiterhin simulieren wir die spannungsinduzierte Bandlückenkartierung im Querschnitt des 40 nm breiten Ge-NW (Abb. 6a). Die räumliche Verteilung der Bandlücke ergibt sich aus den variablen Werten der spannungsabhängigen Bandkanten am Γ-Punkt. Abb. 6b zeigt die Bandkantenenergien am Γ-Punkt entlang der z-Richtung des Ge-NWs. Wir finden, dass sowohl das Leitungsband als auch die Valenzbandkanten – Leichtloch- und Schwere-Lochband – in den ersten 15 nm signifikant variieren und sich danach nur leicht ändern. Die Maxima von Leicht- und Schwere-Lochband trennen sich und verschieben sich mit zunehmender Zugspannung in entgegengesetzte Richtungen. Aus Abb. 6a, b nimmt die Bandlücke in den ersten 15 nm stark zu auf ca. 0,30 eV, ändert sich dann leicht um einen Wert von 0,24 eV, der die Bandlücke im größten Teil des Ge-NWs darstellt. Da das Leichtlochbandmaximum am Γ-Punkt im Ge-NW höher liegt als das des Schwere-Lochbands, bevorzugen Löcher im Valenzband das Leichtlochbandmaximum. Daher erfolgt die Elektron-Loch-Rekombination zwischen Leitungsbandminimum und Leichtlochbandmaximum am Γ-Punkt, wenn wir den Überlap der ortsabhängigen Elektronen- und Lochwellenfunktionen vernachlässigen. Interessanterweise bewegt sich das Leichtlochbandmaximum im Bereich des NW-Bodens (als schwarze Kurve in Abb. 6a markiert) sogar über das Leitungsbandminimum hinaus, bei hydrostatischer Dehnung über ∼5,0 %. Die von uns berechnete negative Bandlücke unter hoher Zugspannung kann komplexe Folgen haben wie halbmetallische [31] oder invertierte [32] Bandstrukturen.

Schließlich wird die Mobilität von Elektronen und Löchern unter solch hoher Zugspannung im Ge-NW erhöht. Für entspanntes Ge wird der Elektronentransport hauptsächlich von Elektronen im L-Tal getragen. Wenn Ge unter Zugspannung steht, sodass das Γ-Tal unter das L-Tal sinkt (wie in Abb. 3a gezeigt), stammt der primäre Beitrag zum Elektronentransport vom Γ-Tal. Andererseits stammt die dominante Beteiligung der Löcher am Transport unter hoher Zugspannung vom Leichtlochband am Γ-Punkt, während im entspannten Fall das Schwere-Lochband das Valenzbandmaximum einnimmt. Aufgrund der viel kleineren effektiven Elektronenmasse am Γ-Punkt im Vergleich zum L-Punkt sowie der verringerten effektiven Masse vom Schwere-Loch- zum Leichtlochbandmaximum kann die Mobilität sowohl von Elektronen als auch von Löchern gesteigert werden. Zugspannung kann theoretisch die effektive Masse von Elektronen und Löchern am Γ-Punkt in einem Quantenpunkt-Modell verringern, wie von Califano und Harrison [29] vorhergesagt. Obwohl die quantitative Berechnungsmethode für unser NW-Modell ungeeignet ist, nehmen wir qualitativ an, dass Zugspannung die effektive Masse bei \(\mathbf{k}=0\) durch Erhöhung der Krümmung der Dispersionsrelation für kleine \(\mathbf{k}\) in der Nähe des Γ-Punkts modifizieren kann. Daher kann die Mobilität sowohl von Elektronen als auch von Löchern in zugbeanspruchten Ge-NWs erhöht werden. Die Aufspaltung der Valenzbänder induziert zudem starke Elektron-Phonon-Kopplung und Intraband-Streuung [33], was die Lochbeweglichkeit unter die Elektronenbeweglichkeit drückt.

Schlussfolgerungen

Zusammenfassend haben wir zugbeanspruchte Ge-NWs auf GaSb vorgeschlagen und drei verschiedene Situationen über den Gesamtenergiezuwachs vor und nach der Ge-Abscheidung verglichen. Das Ergebnis zeigt, dass der Ge-NW vor der kritischen Menge geneigt ist, {105}-Facetten entlang der 〈100〉-Wachstumsrichtung zu bilden, nach der kritischen Menge jedoch {110}-Facetten freilegt. Die Residualspannungsfeld- und Bandlückenanalyse hat gezeigt, dass dieselbe Form eine ähnliche Verteilung sowohl in der Dehnung als auch in \(\Delta E_{\text{DT}}\) aufweist, unabhängig von der Größe. Ferner nehmen die In-Plane-Dehnung und die hydrostatische Dehnung in allen Situationen sowohl von den Rändern zum Zentrum als auch vom Boden zur Spitze ab. Aufgrund der hohen Zugspannung kann fast der gesamte Ge-NW auf GaSb in den beiden möglichen Situationen in ein direktes Bandlückenmaterial umgewandelt werden. Auch nehmen die Leichtlöcher hauptsächlich an der Elektron-Loch-Rekombination und am elektrischen Transport am Γ-Punkt teil, da das Leichtlochbandmaximum in hoher Zugspannung zum Valenzbandmaximum wird. Die Mobilität nicht nur von Elektronen, sondern auch von Löchern kann durch die Abnahme der effektiven Trägerträgermasse am Γ-Punkt, bestimmt durch die Zugspannung, gesteigert werden. Die theoretisch vorhergesagte attraktive Leistung impliziert, dass zugbeanspruchte Ge-NWs vielversprechend für Anwendungen in der Optoelektronik als Lichtquellen und in der Mikroelektronik für Hochgeschwindigkeitsbauelemente in Si-Photonik und -Elektronik sind.