Analyse optischer Kräfte eines eng fokussierten zirkularpolarisierten anomalen Vortexstrahls auf gefangene Nanopartikel

Zusammenfassung

Die Eigenschaften eines zirkularpolarisierten anomalen Vortexstrahls (CPAVB), fokussiert durch ein Objektiv mit hoher numerischer Apertur (NA), werden analytisch und theoretisch untersucht. Es zeigt sich, dass die topologische Ladung das Strahlprofil signifikant beeinflusst und ein Flat-Top-Profil (FT) durch Modulation von NA und topologischer Ladung erzielt werden kann. Interessanterweise kann nach engem Fokussieren eine Spin-zu-Bahn-Drehimpuls-Konversion in der longitudinalen Komponente auftreten. Darüber hinaus werden die optischen Kräfte des eng fokussierten CPAVB auf Nanopartikel detailliert analysiert. Erwartungsgemäß können zwei Arten von Nanopartikeln nahe dem Fokus mit einem solchen Strahl gefangen werden.

Einleitung

Vortexstrahlen mit einem Spiralphasenfaktor exp(imθ) haben in den letzten zwei Jahrzehnten große Aufmerksamkeit erregt, wobei m die topologische Ladung (jeder ganzzahlige Wert) und θ der Azimutwinkel in einer zur optischen Achse transversalen Ebene ist [1,2]. Vortexstrahlen finden aufgrund ihres "Donut"-Intensitätsprofils und Bahndrehimpulses (OAM) breite Anwendung, z. B. in optischen Pinzetten [3-7], freiraumoptischer Kommunikation [8] und Quanteninformation [9]. Kürzlich rückte die Untersuchung zirkularpolarisierter Vortexstrahlen wegen ihrer einzigartigen Eigenschaften in den Fokus [10-15], da sie gleichzeitig Spindrehimpuls (SAM) und OAM tragen. Diese Eigenschaften erweitern und verbessern die Anwendungen von Vortexstrahlen erheblich.

Die engen Fokussiereigenschaften verschiedener Strahlen unter einem Linsensystem mit hoher NA sind ein weiteres heißes Thema [16-20] für ihre wichtigen Anwendungen in Partikelfangen [21], Mikroskopie [22], optischer Datenspeicherung [23] etc. Bisher wurden verschiedene Strahlen untersucht, von skalaren Vortexstrahlen bis zu Vektor-Vortexstrahlen [10,24-31]. Beispielsweise untersuchten Hao et al. [26] und Pu et al. [27] die Eigenschaften spiralpolarisierter Vortexstrahlen unter einer High-NA-Linse. Es zeigte sich, dass ein Flat-Top-Profil erreicht werden kann und der OAM durch Wahl eines geeigneten Polarisationzustands in der Fokalebene einstellbar ist. Zhan et al. untersuchten eng fokussierte zirkularpolarisierte Vortexstrahlen [10] und zeigten, dass eine starke longitudinale Komponente erzeugt werden kann.

Der anomale Vortexstrahl (AVB), ein neuartiger Strahl, der sich im Fernfeld in einen eleganten Laguerre-Gauß-Strahl entwickeln kann, wurde kürzlich vorgeschlagen [32]. Solche Strahlen zogen aufgrund ihrer außergewöhnlichen Ausbreitungseigenschaften viel Aufmerksamkeit auf sich und wurden breit untersucht [33-38]. Soweit uns bekannt, gibt es keine Berichte über CPAVBs, fokussiert durch eine High-NA-Linse. In dieser Arbeit werden die mathematischen Ausdrücke des CPAVB nach engem Fokussieren hergeleitet. Anschließend analysieren wir den Einfluss von Strahlordnung, topologischer Ladung und NA-Wert auf Strahlprofil und Phasenverteilung. Im letzten Teil werden die optischen Kräfte eng fokussierter CPAVBs untersucht.

Methoden

Ein zirkularpolarisierter Strahl kann wie folgt geschrieben werden, was die Linearkombination radial und azimutal polarisierter Strahlen anzeigt [10]:

$$ {\mathrm{E}}_{LHC(RHC)}=P(r){e}^{\pm i\varphi}\left({\mathrm{e}}_{\rho}\pm j{\mathrm{e}}_{\varphi}\right)/\sqrt{2} $$ (1)

wobei P(r) die Amplitudenverteilung ist. Das Vorzeichen "+" und "−" stehen für Links- und Rechtszirkularpolarisation. e_ρ und e_φ sind die radialen und azimutalen Vektoren in Zylinderkoordinaten. Ausdrücke für radial und azimutal polarisierte Strahlen finden sich in [39-41].

Das Fokussiersystem entspricht Ref. [42]. Die Pupillenapodisationsfunktion des AVB unter Sinusbedingung (r = f sin θ) lautet [32,38]:

$$ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n},\mathrm{m}}\left(\theta, \varphi \right)={E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{{w_0}^2}\right)\exp \left(- im\varphi \right) $$ (2)

wobei f die Brennweite, θ von 0 bis α variiert, α der maximale NA-Winkel ist, und E₀ und w₀ Konstanten sind. n, φ und m sind Strahlordnung, azimutale Koordinate und topologische Ladung.

Nach der Vektor-Debye-Theorie lassen sich die Ausdrücke des elektrischen Feldes des eng fokussierten CPAVB in Zylinderkoordinaten als Gl. (3) ableiten:

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \rho}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^m\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3a)

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3b)

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, z}\left(\rho, \varphi, z\right)=- ikf{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times {\sin}^2\theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times {J}_{m\pm 1}\left( k\rho \sin \theta \right) d\theta \end{array}} $$ (3c)

wobei J_n(α) die n-te Besselfunktion erster Art ist und k = 2π/λ. Wir definieren E_+ und E_− als Ausdrücke des elektrischen Feldes von rechts- und linkszirkularem CPAVB.

In den obigen Gleichungen werden folgende Formeln verwendet [43]:

$$ \left\{\begin{array}{l}{\int}_0^{2\pi}\cos \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\cos \left( n\phi \right)\\ {}{\int}_0^{2\pi}\sin \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\sin \left( n\phi \right)\end{array}\right. $$ (4)

Dann kann die Gesamtintensität des eng fokussierten CPAVB berechnet werden als:

$$ I={\left|{E}_{\rho}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_{\varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_z\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2 $$ (5)

wobei E_ρ, E_φ und E_z die Amplituden der entsprechenden Komponenten sind.

Ergebnisse und Diskussion

Eng-Fokussier-Eigenschaften des CPAVB

In diesem Abschnitt untersuchen wir mithilfe der obigen Gleichungen die Eigenschaften des eng fokussierten CPAVB. In der Simulation setzen wir NA = 0,85, λ = 632,8 nm, w₀ = 2 mm und f = 2 mm. In Abb. 1 sind das Gesamtintensitätsprofil und die entsprechenden longitudinalen und radialen Komponenten der linkshändigen CPAVBs mit n = 1 für verschiedene topologische Ladungen in der Fokalebene dargestellt. Man findet, dass die Gesamtintensität im Zentrum ungleich null ist für m ≤ 2, während für m > 2 ein dunkler Fleck im Zentrum existiert. Zudem ist die radiale Komponente der fokussierten Felder auf der Achse nicht null für m = 0, 2 und identisch mit der longitudinalen Komponente für m = 1. Diese Ergebnisse lassen sich aus Gl. (3) und (5) erklären, da J_m im Ursprung immer null ist außer für m = 0. Die Besselfunktion erster Art in allen drei Komponenten ist im Zentrum null für m > 2, sodass die Gesamtintensität null ist. Andernfalls existiert mindestens eine Komponente mit J_0, was bedeutet, dass die zentrale Intensität ungleich null und maximal sein kann. Zudem nehmen für Gesamt- und radiale Komponenten die Fokusfleckgrößen mit steigender topologischer Ladung zu. Daher schließen wir, dass Gesamtintensität und Fokusfleckgröße im Fokalfeld von der topologischen Ladung beeinflusst werden.

In Abb. 2 sind das Gesamtintensitätsprofil und die entsprechenden longitudinalen und radialen Komponenten der linkshändigen CPAVBs mit m = 1 für verschiedene Strahlordnungen in der Fokalebene dargestellt. Mit zunehmendem n werden die äußeren Ringe jeder Komponente und der Gesamtintensität allmählich heller, während das Intensitätsmuster unverändert bleibt. Somit beeinflusst die Strahlordnung n die Form der Intensitätsmuster nicht stark.

Anschließend untersuchen wir, wie der NA-Wert die Fokussiereigenschaften von CPAVBs mit n = 2 für m = 1 und m = 4 beeinflusst. Wie in Abb. 3 gezeigt, bleibt die zentrale Intensität für m = 1 ungleich null, während sie für m = 4 in der Fokalebene dunkel ist. Der Vergleich von Abb. 3 d-1 mit d-2 zeigt, dass die Intensität mit zunehmendem NA zunimmt und sich zum Zentrum hin konzentriert. Besonders für m = 1 kann ein FT-Strahl erzielt werden, wenn NA auf 0,8 steigt.

Basierend auf Gl. (3c) berechneten wir die Phasenverteilungen der longitudinalen Komponente von CPAVBs in der Nähe des Fokus, wie in Abb. 4 dargestellt. Die erste und zweite Reihe von Abb. 4 zeigen linkshändige und rechtshändige CPAVBs. Die Positionen für Abb. 4 a-c sind z = −0,005 z_r, 0, 0,005 z_r, wobei z_r = k w₀²/2 die Rayleigh-Länge ist. Weitere Parameter: n = 1 und NA = 0,85. Wie in Abb. 4 zu sehen, ändert sich der Kontur der Phasenmuster von im Uhrzeigersinn zu gegen den Uhrzeigersinn nach Passage der Fokalebene. Der Vergleich von Abb. 4 a-1 bis c-1 mit Abb. 4 a-2 bis c-2 zeigt interessanterweise, dass die topologische Ladung nahe dem Fokus von 3 auf 5 wechselt, wenn der linkshändige CPAVB durch einen rechtshändigen ersetzt wird. Dies lässt sich erklären: Ein linkshändiger CPAVB mit m = 4 trägt SAM l_s = −ħ und OAM m = 4ħ. Durch Kompensation des entgegengesetzten, aus SAM konvertierten OAM verringern sich die topologischen Ladungen nach engem Fokussieren auf drei. Analog verhält es sich beim rechtshändigen CPAVB mit m = 4, der SAM l_s = +ħ und OAM m = 4ħ trägt. Durch OAM-Konversion aus SAM erhöhen sich die topologischen Ladungen auf fünf. Daher schließen wir, dass in der longitudinalen Komponente nach engem Fokussieren eine Konversion von SAM in OAM stattfindet.

Fangen von Nanopartikeln mit dem eng fokussierten CPAVB

Basierend auf der Rayleigh-Streuungstheorie [44] müssen Streukraft und Gradientkraft bei der optischen Falle berücksichtigt werden. Die Streukraft, geschrieben als F_scat = e_z n_m α I_out/c, tendiert zur Destabilisierung der optischen Falle, wobei c Lichtgeschwindigkeit, e_z Einheitsvektor in z-Richtung, I_out Intensität des fokussierten Strahls, α = (8/3)π(ka)⁴a²[(η²−1)²/(η²+2)²], a der Nanopartikelradius, η = n_p/n_m, und n_m und n_p Brechungsindizes von Umgebungsmedium und Nanopartikel sind. Die Gradientkraft (F_grad) zieht den Nanopartikel zurück zum Fokus und kann als F_grad = 2π n_m β ∇ I_out/c ausgedrückt werden, wobei β = a³(η²−1)/(η²+2).

Im Simulations-Experiment setzen wir n_p = 1,59 und n_p = 1 für Glas und Luftblase, n_m = 1,332, NA = 0,85 und a = 50 nm. Abbildung 5 zeigt die radialen, longitudinalen Gradientkräfte und Streukräfte eines linkshändigen CPAVB auf einen Nanopartikel mit n_p = 1 für verschiedene m und n. Frühere Arbeiten zeigen, dass die Gesamtintensität im Zentrum dunkel ist für m ≥ 3. Daher ziehen, wie erwartet, für niedrigbrechende Nanopartikel die radialen und longitudinalen Gradientkräfte den Teilchen stets zurück zum Fokus (Abb. 5 a-d). Im Vergleich zur Gradientkraft ist die Streukraft sehr klein. Daher kann der niedrigbrechende Nanopartikel stabil gefangen werden.

Abbildung 6 zeigt die radialen, longitudinalen Gradientkräfte und Streukräfte eines linkshändigen CPAVB auf einen Nanopartikel mit n_p = 1,59 für verschiedene topologische Ladungen m und Strahlordnungen n. Aus Abb. 6 erkennt man mehrere Gleichgewichtspunkte nahe dem Fokus, und die Streukraft ist im Vergleich zur Gradientkraft vernachlässigbar. Daher kann der hochbrechende Nanopartikel nahe dem Fokus eingefangen werden.

Schlussfolgerungen

In dieser Arbeit wurden die Eigenschaften eng fokussierter CPAVBs und ihre optischen Kräfte auf Nanopartikel diskutiert. Wir finden, dass SAM des CPAVB in OAM konvertiert werden kann, wenn ein solcher Strahl eng fokussiert wird. Darüber hinaus kann eng fokussierter CPAVB verwendet werden, um zwei verschiedene Arten von Nanopartikeln mit niedrigem und hohem Brechungsindex nahe der Fokalebene zu fangen. Unsere Forschung wird hilfreich sein für die Suche nach potenziellen Anwendungen von CPAVB.

Verfügbarkeit von Daten und Materialien

Die während der aktuellen Studie generierten und/oder analysierten Datensätze sind auf vernünftige Anfrage beim korrespondierenden Autor erhältlich.

Abkürzungen

AVB:

Anomaler Vortexstrahl

CPAVB:

Zirkularpolarisierter anomaler Vortexstrahl

FT:

Flat-Top

NA:

Numerische Apertur

OAM:

Bahndrehimpuls

SAM:

Spindrehimpuls