Venn-Diagramme verstehen: Mengenbeziehungen visualisieren

Mathematiker nutzen Venn-Diagramme, um die logischen Beziehungen von Mengen (Sammlungen von Objekten) zueinander darzustellen. Vielleicht haben Sie Venn-Diagramme bereits in Algebra oder anderen Mathematikstudien gesehen. Falls ja, erinnern Sie sich möglicherweise an sich überlappende Kreise und die Vereinigung und Schnittmenge von Mengen.

Wir werden die sich überlappenden Kreise des Venn-Diagramms wiederholen. Wir verwenden die Begriffe ODER und UND statt Vereinigung und Schnittmenge, da dies die in der Digitaltechnik verwendete Terminologie ist.

Das Venn-Diagramm bildet die Brücke von der Booleschen Algebra aus dem vorherigen Kapitel zum Karnaugh-Diagramm. Wir werden verbinden, was Sie bereits über Boolesche Algebra wissen, mit Venn-Diagrammen und dann zu Karnaugh-Diagrammen übergehen.

Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten aus einem Universum, wie unten gezeigt. Die Elemente der Menge sind die darin enthaltenen Objekte. Die Elemente haben meist etwas gemeinsam, obwohl dies keine Voraussetzung ist.

Aus dem Universum der reellen Zahlen ist beispielsweise die Menge aller positiven ganzen Zahlen {1,2,3…} eine Menge. Die Menge {3,4,5} ist ein Beispiel für eine kleinere Menge, oder Teilmenge der Menge aller positiven ganzen Zahlen. Ein weiteres Beispiel ist die Menge aller männlichen Studenten aus dem Universum der College-Studenten. Können Sie weitere Beispiele für Mengen nennen?

Oben links sehen wir ein Venn-Diagramm, das die Menge A im Kreis innerhalb des Universums U, dem rechteckigen Bereich, zeigt. Wenn alles innerhalb des Kreises A ist, dann ist alles außerhalb des Kreises nicht A. Daher beschriften wir oben mittig den rechteckigen Bereich außerhalb des Kreises A als A-nicht statt U. Wir zeigen B und B-nicht auf ähnliche Weise.

Was passiert, wenn sowohl A als auch B im selben Universum enthalten sind? Wir zeigen vier Möglichkeiten.

Lassen Sie uns jede der vier oben gezeigten Möglichkeiten genauer betrachten.

Das erste Beispiel zeigt, dass Menge A und Menge B laut Venn-Diagramm nichts gemeinsam haben. Es gibt keine Überlappung zwischen den schraffierten Kreisbereichen von A und B. Angenommen, die Mengen A und B enthalten folgende Elemente:

 Menge A = {1,2,3,4} 
Menge B = {5,6,7,8}

Keines der Elemente von Menge A ist in Menge B enthalten, noch sind Elemente von B in A enthalten. Daher gibt es keine Überlappung der Kreise.

Im zweiten Beispiel in dem obigen Venn-Diagramm ist Menge A vollständig in Menge B enthalten. Wie lässt sich diese Situation erklären? Angenommen, die Mengen A und B enthalten folgende Elemente:

 Menge A = {1,2} 
Menge B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Alle Elemente von Menge A sind auch Elemente von Menge B. Daher ist Menge A eine Teilmenge von Menge B. Da alle Elemente von Menge A Elemente von Menge B sind, wird Menge A vollständig innerhalb der Grenze von Menge B gezeichnet.

Es gibt einen fünften Fall, der nicht mit den vier Beispielen gezeigt wird. Hinweis: Er ähnelt dem letzten (vierten) Beispiel. Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm für diesen fünften Fall.

Das dritte Beispiel oben zeigt perfekte Überlappung zwischen Menge A und Menge B. Es sieht so aus, als enthielten beide Mengen dieselben identischen Elemente. Angenommen, die Mengen A und B enthalten Folgendes:

 Menge A = {1,2,3,4} 
Menge B = {1,2,3,4}

Daher gilt:

 Menge A = Menge B

Mengen A und B sind identisch gleich, da sie dieselben identischen Elemente haben. Die A- und B-Bereiche im entsprechenden Venn-Diagramm oben überlappen sich vollständig. Falls Zweifel bestehen, was die obigen Muster darstellen, schauen Sie auf eine beliebige Abbildung oben oder unten, um sicherzugehen, wie die kreisförmigen Bereiche aussahen, bevor sie überlappt wurden.

Das vierte Beispiel oben zeigt, dass es etwas Gemeinsames zwischen Menge A und Menge B im überlappenden Bereich gibt. Zur Illustration wählen wir willkürlich folgende Mengen:

 Menge A = {1,2,3,4} 
Menge B = {3,4,5,6}

Menge A und Menge B haben beide die Elemente 3 und 4 gemeinsam. Diese Elemente sind der Grund für die Überlappung im gemeinsamen Zentrum von A und B. Wir müssen diese Situation genauer betrachten.