Boolesche Beziehungen in Venn-Diagrammen

Das vierte Beispiel hat A teilweise überlappend B . Allerdings betrachten wir unten zunächst den gesamten schraffierten Bereich, später dann nur noch den Überlappungsbereich. Weisen wir den obigen Regionen einige boolesche Ausdrücke zu, wie unten gezeigt.

Unten links befindet sich ein roter horizontaler schraffierter Bereich für A . Es gibt einen blauen, vertikal schraffierten Bereich für B .

Betrachten wir die Gesamtfläche von beiden, unabhängig vom Schraffurstil, die Summe aller schraffierten Flächen, erhalten wir die Abbildung oben rechts, die dem inklusiven ODER entspricht Funktion von A, B. Der boolesche Ausdruck ist A+B .

Dies wird durch die 45 ^o . angezeigt schraffierten Bereich. Alles außerhalb des schraffierten Bereichs entspricht (A+B)-nicht wie oben gezeigt. Kommen wir zum nächsten Teil des vierten Beispiels.

Die andere Möglichkeit, ein Venn-Diagramm mit überlappenden Kreisen zu betrachten, besteht darin, nur den Teil zu betrachten, der beiden A common gemeinsam ist und B , der doppelt schraffierte Bereich unten links. Der boolesche Ausdruck für diesen gemeinsamen Bereich, der dem UND . entspricht Funktion ist AB wie unten rechts gezeigt. Beachten Sie, dass alles außerhalb des doppelt schraffierten AB ist AB-nicht .

Beachten Sie, dass einige der Mitglieder von A , oben, sind Mitglieder von (AB)’ . Einige Mitglieder von B sind Mitglieder von (AB)’ . Aber keines der Mitglieder von (AB)’ befinden sich im doppelt schraffierten Bereich AB .

Wir haben das zweite Beispiel oben links wiederholt. Ihr fünftes Beispiel, das Sie zuvor skizziert haben, finden Sie oben rechts zum Vergleich. Später werden wir ein gelegentliches Element oder eine Gruppe von Elementen finden, die vollständig in einer anderen Gruppe in einer Karnaugh-Map enthalten ist.

Als Nächstes zeigen wir unten die Entwicklung eines Booleschen Ausdrucks, der eine komplementierte Variable beinhaltet.

Beispiel: (oben)

Zeigen Sie ein Venn-Diagramm für A’B . an (A-nicht UND B).

Lösung: Oben links beginnend haben wir ein rotes horizontales A’ (A-nicht), dann oben rechts B . Als nächstes bilden wir unten links die UND-Funktion A’B durch Überlappung der beiden vorherigen Regionen. Die meisten Leute würden dies als Antwort auf das gestellte Beispiel verwenden.

Allerdings nur das doppelt schraffierte A’B ist der Übersichtlichkeit halber ganz rechts dargestellt. Der Ausdruck A’B ist die Region, in der sowohl A’ und B Überlappung. Die klare Region außerhalb von A’B ist (A’B)’ , was nicht Teil des gestellten Beispiels war.

Versuchen wir etwas Ähnliches mit dem booleschen ODER Funktion.

Beispiel: Finden Sie B'+A

Lösung: Oben rechts beginnen wir mit B die ergänzt wird zu B’ . Schließlich überlagern wir A oben auf B' . Da wir daran interessiert sind, das ODER zu bilden Funktion suchen wir nach allen schraffierten Bereichen, unabhängig vom Schraffurstil. Also A+B’ ist der gesamte Bereich oben rechts schraffiert. Es ist unten links der Übersichtlichkeit halber als einzelner Schraffurbereich dargestellt.

Beispiel: Suche (A+B’)’

Lösung:

Die grünen 45 ^o A+B’ Der schraffierte Bereich war das Ergebnis des vorherigen Beispiels. Weiter zu a bis,(A+B’)’ ,im vorliegenden Beispiel oben links finden wir das Komplement von A+B’ , das ist der weiße klare Bereich oben links, der (A+B’)’ . entspricht .

Beachten Sie, dass wir rechts das AB’ . wiederholt haben doppelt schraffiertes Ergebnis aus einem vorherigen Beispiel zum Vergleich mit unserem Ergebnis. Die Regionen entsprechend (A+B’)’ und AB’ oben links und rechts sind jeweils identisch. Dies kann mit dem Satz von DeMorgan und der doppelten Negation bewiesen werden.

Dies führt zu einem Punkt. Venn-Diagramme beweisen eigentlich nichts. Für formale Beweise wird Boolesche Algebra benötigt. Venn-Diagramme können jedoch zur Überprüfung und Visualisierung verwendet werden. Wir haben den Satz von DeMorgan mit einem Venn-Diagramm verifiziert und visualisiert.

Beispiel:

Was bedeutet der boolesche Ausdruck A’+B’ wie auf einem Venn-Diagramm aussehen?

Lösung: Abbildung oben

Beginnen Sie mit einem roten horizontal schraffierten A’ und blau vertikal schraffiert B' Oben. Überlagern Sie die Diagramme wie gezeigt. Wir können immer noch das A’ sehen rote horizontale Schraffur, die der anderen Schraffur überlagert ist. Es füllt auch das aus, was früher Teil des B war (B-wahr) Kreis, aber nur der Teil des B offener Kreis nicht üblich für die A offener Kreis.

Wenn wir uns nur das B’ ansehen blaue vertikale Schraffur, sie füllt diesen Teil des offenen A . aus Kreis nicht gemeinsam mit B . Jede Region mit einer beliebigen Schraffur, unabhängig vom Typ, entspricht A’+B’ . Das heißt, alles außer dem offenen weißen Raum in der Mitte.

Beispiel:

Was bedeutet der boolesche Ausdruck (A’+B’)’ wie auf einem Venn-Diagramm aussehen?

Lösung: Abbildung oben, links unten

Wenn man sich die weiße offene Fläche in der Mitte ansieht, ist alles NICHT in der vorherigen Lösung von A’+B’ , das ist (A’+B’)’ .

Beispiel: Zeigen Sie, dass (A’+B’)’ =AB

Lösung: untere Abbildung, unten links

Wir haben zuvor im obigen rechten Diagramm gezeigt, dass der weiße offene Bereich (A’+B’)’ . ist . In einem früheren Beispiel haben wir einen doppelt schraffierten Bereich am Schnittpunkt (Überlagerung) von AB . gezeigt . Dies sind die hier wiederholten linken und mittleren Zahlen.

Beim Vergleich der beiden Venn-Diagramme sehen wir, dass dieser offene Bereich , (A’+B’)’ , entspricht dem doppelt schraffierten Bereich AB (A UND B). Wir können auch beweisen, dass (A’+B’)’=AB durch DeMorgans Theorem und doppelte Negation wie oben gezeigt.

Wir zeigen oben ein Venn-Diagramm mit drei Variablen mit den Regionen A (rot horizontal), B (blaue Vertikale) und C (grün 45 ^o ). Beachten Sie in der Mitte, dass sich alle drei Regionen überlappen und den booleschen Ausdruck ABC . darstellen .

Es gibt auch eine größere blütenblattförmige Region, in der A und B Überlappung entsprechend dem booleschen Ausdruck AB . Auf ähnliche Weise A und C überlappender Boolescher Ausdruck AC . Und B und C überlappender Boolescher Ausdruck BC .

Wenn wir uns die Größe von Regionen ansehen, die oben durch UND-Ausdrücke beschrieben werden, sehen wir, dass die Regionsgröße mit der Anzahl der Variablen im zugeordneten UND-Ausdruck variiert.

• A , 1-Variable ist ein großer kreisförmiger Bereich.
• AB , 2-variabel ist eine kleinere blütenblattförmige Region.
• ABC , 3-variabel ist die kleinste Region.
• Je mehr Variablen im AND-Ausdruck enthalten sind, desto kleiner ist die Region.