Stern-Dreieck-Umwandlung (Y-Δ) meistern: Elektrische Netzwerke vereinfachen

Stern-zu-Dreieck und Dreieck-zu-Stern Transformation – Y-Δ Umwandlung

In einem elektrischen Netzwerk können Impedanzen in verschiedenen Konfigurationen verbunden sein. Die häufigsten dieser Konfigurationen sind entweder stern- oder dreieckförmig verbundene Netzwerke. Um komplexe elektrische Netzwerke zu lösen oder zu vereinfachen, verwenden wir die Stern-Dreieck-Umwandlungstechnik. Sie ersetzt jedes sternverbundene Netzwerk durch sein äquivalentes dreieckverbundenes Netzwerk und umgekehrt. Wir werden eine kurze Formelerklärung für die Lastumwandlung zwischen stern- und dreieckverbundener Last bereitstellen.

Stern-Dreieck-Umwandlung

Wir kennen die Grundlagen von Reihen-, Parallel- oder Kombinationsschaltungen aus Reihen- und Parallelschaltung, aber Y-Δ ist eine etwas komplexere Konfiguration von Komponenten. 3-Phasen-Netzwerke haben drei Leiter und meistens sind die Netzwerke in Stern- & Dreieck-Konfiguration verbunden. Die 3-Phasen-Versorgung oder die Last, die in einer der beiden Formationen verbunden ist, kann in ihr äquivalentes Gegenstück umgewandelt werden. Wir verwenden solche Umwandlungen, um die mathematischen Berechnungen zu vereinfachen, die für die Schaltungsanalyse eines komplexen elektrischen Netzwerks erforderlich sind.

Dreieckverbundenes Netzwerk

Das dreieckverbundene Netzwerk entsteht, wenn drei Netzwerkzweige oder Impedanzen so zu einer Schleife verbunden werden, dass ihre Anfänge mit den Enden des benachbarten Zweigs verbunden sind. Das resultierende Netzwerk bildet eine Dreiecksform, die dem griechischen Buchstaben Delta „Δ“ ähnelt, weshalb es danach benannt ist. Es wird auch als π (Pi)-Netzwerk bezeichnet, weil es nach Umordnung der Zweige dem Buchstaben ähnelt. Mehr über Dreieckschaltung im vorherigen Beitrag.

Sternverbundenes Netzwerk

Das sternverbundene Netzwerk entsteht, wenn drei Zweige oder Impedanzen an einem gemeinsamen Punkt zusammengeführt werden. Die anderen Enden der Zweignetzwerke sind frei. Die resultierende Form ähnelt dem Buchstaben „Y“, weshalb es auch als „Y“ oder „Wye“ verbundenes Netzwerk bezeichnet wird. Es wird auch als „T“ verbundenes Netzwerk bezeichnet aufgrund seiner Form nach Umordnung der Netzwerkzweige. Mehr über Sternschaltung im vorherigen Beitrag.

Die oben gezeigten Schaltungen können mit der folgenden Transformation umgewandelt werden. Während der Transformation müssen die Anschlüsse A, B, C an derselben Position bleiben, nur die Impedanzen und ihre Anordnung ändern sich. Die folgende Abbildung veranschaulicht die obige Aussage.

Dreieck-zu-Stern-Umwandlung

Das dreieckverbundene Netzwerk kann mithilfe einer Reihe elektrischer Formeln in Sternkonfiguration transformiert werden. Leiten wir die Gleichung für jede Impedanz her.

Die gegebene Abbildung zeigt ein Dreiecksnetzwerk mit den Anschlüssen A, B, C und den Impedanzen R₁, R₂, R₃. Das äquivalente sternverbundene Netzwerk mit R_A, R_B & R_C, wobei sie an ihre entsprechenden Anschlüsse angeschlossen sind, wie in der Abbildung gezeigt.

Wie bereits erwähnt, bleiben die Anschlüsse A, B, C gleich, ebenso wie die Impedanz zwischen ihnen.

Die Gesamtimpedanz zwischen A-B im Dreiecksnetzwerk:

Ebenso die Impedanz zwischen den Anschlüssen B-C

Ebenso die Impedanz zwischen A-C

Gemäß Sternnetzwerk:

R_AB = R­_A + R_B

R_BC = R_B + R_C

R_AC = R­_A + R_C

Jetzt addieren wir Gleichung (i), (ii) & (iii) zusammen

Jetzt subtrahieren wir Gleichung (i), (ii) & (iii) einzeln von Gleichung (iv)

Zuerst subtrahieren wir (ii) von (iv)

Ebenso ergibt das Subtrahieren von (i) & (iii) von (iv)

Aus den hergeleiteten Gleichungen für die stern-äquivalenten Impedanzen R_A, R_B & R_C können wir den Zusammenhang zwischen Dreieck-zu-Stern-Umwandlung ableiten: Die äquivalente Sternimpedanz ist gleich dem Produkt der angrenzenden Dreiecksimpedanzen mit einem Anschluss geteilt durch die Summe aller drei Dreiecksimpedanzen.

Falls alle drei Impedanzen gleich in einem Dreiecksnetzwerk sind, wird die äquivalente Sternimpedanz:

Da alle Impedanzen im gesamten Dreiecksnetzwerk gleich sind, wäre jeder der drei äquivalenten Sternwiderstände 1/3 mal die Dreiecksimpedanz.

Stern-zu-Dreieck-Umwandlung

Nun werden wir die sternverbundene Impedanz in eine dreieckverbundene Impedanz umwandeln. Leiten wir die Gleichungen für eine Stern-zu-Dreieck-Umwandlung her.

Die gegebene Abbildung zeigt sternverbundene Impedanzen R_A, R_B & R_C. Während die erforderliche dreieck-äquivalente Impedanz R₁, R₂ & R₃ ist, wie in der Abbildung gezeigt.

Um die äquivalente Dreiecksimpedanz zu finden, multiplizieren wir die vorherigen Gleichungen (v) & (vi), sowie (vi) & (vii) & (v) & (vii) zusammen.

Multiplikation von (v) & (vi)

Ebenso Multiplikation von (vi) mit (vii) & (v) mit (vii)

Jetzt addieren wir Gleichung (viii), (ix) & (x) zusammen

Um die individuellen äquivalenten Dreiecksimpedanzen zu erhalten, dividieren wir Gleichung (xi) durch (v), (vi) & (vii) getrennt, wie folgt:

Division von (xi) durch (v)

Ebenso ergibt die Division von Gleichung (xi) durch (vi) & (vii) getrennt

Der Zusammenhang zwischen Stern-zu-Dreieck-äquivalenter Impedanz ist aus der gegebenen Gleichung ersichtlich. Die Summe der zwei Produkte aller Sternimpedanzen geteilt durch die Sternimpedanz des entsprechenden Anschlusses ist gleich der Dreiecksimpedanz, die mit dem gegenüberliegenden Anschluss verbunden ist.

Vereinfachung der Gleichungen führt zu

Falls alle Sternimpedanzen gleich sind, wäre die äquivalente Dreiecksimpedanz:

Mit der vorherigen Gleichung,

Diese Gleichung besagt, dass jede äquivalente Dreiecksimpedanz dem 3-fachen der Sternimpedanz entspricht.