Magische mathematische Beziehungen für Nanocluster—Errata und Nachtrag

Zusammenfassung

Wir korrigieren magische Formeln für kubisch-körperzentrierte (bcc) Strukturen. Die logische Begründung dafür wird durch Berechnungen der radialen Verteilungsfunktion (RDF) für mehrere Kristallstrukturen weiter bestätigt. Wir fügen Ergebnisse für abgeschnittene Würfel hinzu, die in der Natur vorkommen können.

Einführung

Wir haben kürzlich magische Formeln für mehrere Kristall-Nanocluster vorgestellt [1]. Kristallographen wissen jedoch, dass bcc-Strukturen eine Volumenkoordination von acht aufweisen. Die RDF bestimmt die nächsten Nachbarpeaks von einem zentralen Punkt aus, und die integrierte Peakintensität spiegelt die entsprechende Koordination für diese Nachbarn wider. Wir verwenden eine etablierte Methode [2], um den RDF für mehrere Kristalle zu berechnen. Da ideale bcc-Würfel die Koordination cn . haben =1, wir liefern Ergebnisse für abgeschnittene bcc- und flächenzentrierte kubische (fcc) Cluster.

Haupttext

Bei der Durchsicht der vielen Zauberformeln in [1] fiel uns auf, dass Gleichung (1), die die Adjazenzmatrix definiert, von der Kristallstruktur abhängt.

$$ \mathbf{A}(i,j)=\left\{\begin{array}{ll} 1&\text{if}\r_{ij} Hier, r _ij ist der euklidische Abstand zwischen Atom i und Atom j . Es stimmt zwar, dass r _c =1,32·r _min ist für die unterschiedlichen Bindungslängen in der dodekaedrischen Struktur notwendig, für die bcc-Struktur ist dies nicht der Fall. Wir haben [2] die RDF für ausgewählte Strukturen berechnet, und einige der nächsten Nachbarn sind unten tabellarisch aufgeführt (Tabelle 1). Das RDF hat Peak-Positionen an benachbarten Standorten, und die integrierte Intensität des entsprechenden Peaks gibt die Koordination an. Wir normalisieren die Peaks in R (r ) durch Division durch den ersten Peak, wodurch die Peakorte dimensionslos werden. Wie die Tabelle zeigt, haben bcc-Strukturen $r_{c} =2/\sqrt {3} \cdot r_{\text {min}} \approx 1,15 \cdot r_{\text {min}}$, was bedeutet die Adjazenzmatrix muss geändert werden und damit die Zauberformeln. Beachten Sie, dass benachbarte Peaks nicht mit Schalen identisch sind, die zu den „magischen Zahlen“ führen. Das Dodekaeder ist ein komplizierter Fall, bei dem die dritten Nachbarn bei r . erscheinen ₂ =1,31·r _min . Dieser Fall ist eine Herausforderung und erfordert weitere Analysen, die im Gange sind. Die korrigierten bcc-Ergebnisse sind unten aufgeführt (Tabellen 2, 3, 4, 5 und 6). Diese Ergebnisse stimmen mit denen von van Hardeveld und Hartog [3] überein, wenn man den Index um eins verschiebt, d. h. wir verwenden die Folge 0, 1, 2... und sie verwenden 1, 2, 3... als Folge. Während perfekte Würfel mathematisch interessant sein können, werden sie in der Natur aufgrund der Einfachbindungen an den Ecken wahrscheinlich nicht vorkommen. Wir haben daher abgeschnittene bcc- und fcc-Würfel generiert, bei denen die Ecken entfernt wurden und deren Ergebnisse in (Tabellen 7 und 8) enthalten sind. Die magischen Formeln der Indizes für ausgewählte Cluster sind in Tabelle 9 zusammengefasst.

Schlussfolgerungen

Wir haben magische Formeln für bcc-Strukturen korrigiert und Ergebnisse aus dem RDF sowie für abgeschnittene bcc- und fcc-Würfel hinzugefügt.

Verfügbarkeit von Daten und Materialien

Die Datensätze, die die Schlussfolgerungen dieses Artikels unterstützen, können beim entsprechenden Autor angefordert werden.

Abkürzungen

bcc:: Körperzentriert kubisch
fcc:: Flächenzentriert kubisch
RDF:: Radiale Verteilungsfunktion

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