Präzise und effiziente Simulation nanoskaliger optischer Pinzetten mittels FETI-DP und Maxwell-Spannungstensor

Zusammenfassung

Numerische Simulation spielt eine wichtige Rolle für die Vorhersage optischer Pinzetten basierend auf plasmonischen nano-optischen Tweezern. Komplizierte Strukturen und drastische lokale Feldverstärkung plasmonischer Effekte stellen jedoch große Herausforderungen für traditionelle numerische Methoden dar. In diesem Artikel wird eine präzise und effiziente numerische Simulationsmethode basierend auf einem dual-primal Finite-Element-Tearing-and-Interconnecting (FETI-DP) und Maxwell-Spannungstensor vorgeschlagen, um optische Kraft und Potenzial für das Fangen von Nanopartikeln zu berechnen. Ein Low-Rank-Sparsifizierungsansatz wird eingeführt, um die FETI-DP-Simulationsleistung weiter zu verbessern. Die vorgeschlagene Methode kann ein großskaliges und komplexes Problem in kleinräumige und einfache Probleme zerlegen durch nicht-überlappende Domänenzerrlegung und flexible Mesh-Diskretisierung, was hohe Effizienz und Parallelisierbarkeit aufweist. Numerische Ergebnisse zeigen die Effektivität der vorgeschlagenen Methode für Vorhersage und Analyse optischer Pinzetten im Nanomaßstab.

Einleitung

Plasmonische optische Pinzetten basierend auf Oberflächenplasmonen (SPs) ziehen viel Aufmerksamkeit auf sich und wurden weit angewendet, um Nanopartikel einzufangen. SP ist ein Resonanzphänomen, verursacht durch Kopplung einfallenden Lichts mit spezifischer Wellenlänge und freien Elektronen an der Grenzfläche von Metallen und Dielektrika. SPs ermöglichen es optischen Pinzetten, das Beugungslimit zu durchbrechen. Zudem kann die drastische lokale Feldverstärkung der SPs die Anforderung an die Intensität des einfallenden Lichts reduzieren. Allerdings hängen SPs eng von Material und Abmessungen der Objekte sowie der Wellenlänge des einfallenden Lichts ab, was in der Praxis eine große Anzahl von Experimenten erfordert, um optimale Parameter von SP-optischen Pinzetten zu bestimmen. Basierend darauf spielt die Simulationsmethode eine zunehmend wichtige Rolle als Hilfsmittel für Design und Optimierung von SP-optischen Pinzetten. In diesen Simulationen ist die Berechnung der optischen Kraft erforderlich, um stabiles Fangen vorherzusagen. Für regelmäßige Objekte wie Kugeln kann die optische Kraft analytisch aus der verallgemeinerten Lorenz-Mie-Theorie hergeleitet werden. Für Objekte mit komplizierten Konfigurationen sind jedoch numerische Methoden, die die Maxwell-Gleichungen rigoros lösen, notwendig für die Modellierung elektromagnetischer Felder und die daraus resultierende optische Kraft und Potenzial.

Diese numerischen Methoden lassen sich hauptsächlich in Differentialgleichungsmethoden (DEMs) und Integralgleichungsmethoden (IEMs) kategorisieren. Im Vergleich zu IEMs zeigen DEMs überlegene Fähigkeiten im Umgang mit komplizierten Geometrien und Komponenten. DEMs haben auch den Vorteil einer direkten Berechnung der Nahfeldverteilung, die eine wichtige Rolle in der Analyse von SPs spielt. Als repräsentative DEM wird die Finite-Differenzen-Zeitbereichs-(FDTD)-Methode im Zeitbereich implementiert, was breitebandige Information und transiente Antworten leicht erhält. Allerdings erfordert FDTD ein genaues Dispersionsmodell, um die frequenzabhängigen Materialeigenschaften in SPs zu beschreiben, während die FDTD-Lösungsgenauigkeit stark von der Approximationsgenauigkeit dieses Dispersionsmodells abhängt. Außerdem basiert FDTD auf strukturierten Meshes, was oft zu Treppchenfehlern für gekrümmte Oberflächen führt. Als weitere repräsentative DEM wird die Finite-Elemente-Methode (FEM) weit angewendet, da sie dispersive Materialien im Frequenzbereich leicht handhaben und den Treppchenfehler durch unstrukturierte Meshes eliminieren kann. Im Vergleich zu FDTD kann FEM direkt gemessene Materialparameter ohne approximatives Dispersionsmodell übernehmen. Allerdings erfordern drastische lokale Feldverstärkungen in SPs feine Meshes in der FEM-Diskretisierung. Zudem werden Objekte mit großen Abmessungen und mehrere Objekte die Anzahl der Unbekannten dramatisch erhöhen. Diese Faktoren verursachen schlecht konditionierte Matrixsysteme und enorme Rechenaufwände, was große Herausforderungen für traditionelle FEM bei der Analyse SP-verstärkter optischer Pinzetten darstellt.

In diesem Artikel wird eine effiziente dual-primal Finite-Element-Tearing-and-Interconnecting (FETI-DP) Methode eingeführt, um optische Pinzetten im Nanomaßstab zu simulieren. FETI-DP nutzt ein nicht-überlappendes Domänenzerrlegungsschema, das ein ursprüngliches großskaliges komplexes Problem in eine Reihe kleinräumiger einfacher Probleme zerlegt. Es erzwingt eine Transmissionsbedingung an den Subdomänen-Schnittstellen, um Feldstetigkeit zu gewährleisten, und führt eine duale Variable ein, um das ursprüngliche dreidimensionale (3D) Problem auf ein zweidimensionales (2D) Problem via Lagrange-Multiplikator zu reduzieren. Primale Variablen an den Subdomänen-Ecken werden extrahiert, um die Konvergenzrate der iterativen Lösung des dualen Problems zu beschleunigen. Ein Low-Rank-Sparsifizierungsansatz wird entwickelt, um die Leistung von FETI-DP zu verbessern. Er nutzt datensparsame Algorithmen, um die Effizienz für die Lösung der Subdomänen-Probleme und des dualen Problems zu verbessern. Die vorgeschlagene Methode bietet vollständig entkoppelte Subdomänen, was die parallele Simulation optischer Kraft für das Fangen von Nanopartikeln ermöglicht. Der Maxwell-Spannungstensor (MST), der die Beziehung zwischen elektromagnetischem Feld und mechanischem Impuls offenbart, wird zur Bewertung der optischen Kraft herangezogen. Basierend auf der erhaltenen optischen Kraft kann das optische Potenzial weiter berechnet werden für die Analyse stabilen Fangens. Im Vergleich zu IEMs ist die vorgeschlagene Methode leistungsfähiger im Umgang mit Verbundmaterialien und Lösung des Nahfelds für SP-basierte optische Pinzetten. Im Vergleich zu FDTD kann die vorgeschlagene Methode dispersive Metallmaterialien in SP-basierten optischen Pinzetten-Systemen präzise handhaben und den Treppchenfehler für Objekte mit gekrümmten Grenzen eliminieren. Im Vergleich zu FEM ist die vorgeschlagene Methode für großskalige Berechnungen optischer Pinzetten geeignet. Mehrere Beispiele werden analysiert und numerische Ergebnisse demonstrieren die Genauigkeit und Effizienz der vorgeschlagenen Methode für Vorhersage und Analyse optischer Pinzetten im Nanomaßstab.

Methoden

FETI-DP-Formulierungen

Für die FETI-DP-Implementierung wird der ursprüngliche Rechenbereich Ω zunächst in eine Reihe nicht-überlappender Subdomänen Ω^i (i = 1, 2, 3⋯, N_s) zerrissen, wie in Abb. 1 gezeigt. In jeder Subdomäne Ω^i kann ein Subdomänen-Finite-Elemente-System aus der Vektorwellengleichung abgeleitet werden als ... [Gleichungen 1-2]

An der Subdomänen-Schnittstelle Γ^i wird eine angenommene Randbedingung benötigt, um ein vollständiges Randwertproblem in Ω^i zu generieren. Hier wird eine Robin-Typ Transmissionsbedingung mit einer unbekannten Hilfsvariablen Λ_i auferlegt ... [Gleichung 3]

Alle Subdomänen werden dann durch Tetraederelemente diskretisiert. In jedem Element entwickeln wir E mit Vektorbasisfunktionen N und unbekannten elektrischen Feldkoeffizienten E ... [Gleichung 4]

Anwendung der Galerkin-Methode liefert die FEM-Matrixgleichung in Ω^i über den unbekannten elektrischen Feldkoeffizienten E^i ... [Gleichung 5]

Dann können benachbarte Subdomänen durch Erzwingen tangentialer elektrischer und magnetischer Feldstetigkeit an den Schnittstellen miteinander verbunden werden. Wir assemblieren alle Subdomänen-Schnittstellen und eliminieren alle Subdomänen-internen Unbekannten E^i. Eine reduzierte globale Schnittstellengleichung über die duale Variable λ kann erhalten werden als ... [Gleichung 6]

Gleichung (6) kann durch iterative Methoden wie die verallgemeinerte minimal-residuelle (GMRES) Methode gelöst werden. K_cc ist das globale Ecken-System, das die iterative Konvergenz im primalen Raum beschleunigen kann. Geeignete Präkonditionierer können eingesetzt werden, um die iterative Konvergenzrate zu verbessern, wie approximative Inverse und unvollständige LU-Zerlegung. Sobald die duale Variable λ gelöst ist, kann das elektrische Feld in jeder Subdomäne unabhängig durch (5) evaluiert werden. Für die Konstruktion der globalen Matrix K_rr muss man die Subdomänen-numerische Greensche Funktion Z_rr^i konstruieren ... [Gleichung 7]

Da die Inversion der Subdomänen-FEM-Matrix (K_rr^i)⁻¹ im Preprocessing-Stage sowie deren Matrix-Vektor-Produkte (MVPs) im iterativen Lösungsstadium computergesteuert teuer sind, wird eine Low-Rank-Sparsifizierungsmethode eingeführt, um die Berechnung von (K_rr^i)⁻¹ zu beschleunigen. Da einige Submatrizen im globalen Schnittstellensystem in Low-Rank-Matrixform dargestellt werden können, kann ihre Berechnung mit Low-Rank-Algorithmen durchgeführt werden, was die FETI-DP-Leistung verbessert. FETI-DP bietet unabhängige Subdomänen-Operationen, sodass parallele Berechnung zur Effizienzsteigerung ausgenutzt werden kann. Für ein effizientes paralleles Schema ist ein Prinzip der Domänenzerrlegung, die Anzahl der Freiheitsgrade (DOFs) in jeder Subdomäne so ausgeglichen wie möglich zu machen. Daher sollte die Subdomänengröße mit der Mesh-Diskretisierungsdichte zusammenhängen. Üblicherweise werden kleine Subdomänen in fein gemaschten Bereichen verwendet, während große Subdomänen in grob gemaschten Bereichen eingesetzt werden.

Low-Rank-Sparsifizierung

Ein Low-Rank-Sparsifizierungsansatz wird vorgeschlagen, um einen datensparsamen Weg zur Verbesserung der FETI-DP-Effizienz bereitzustellen. Hier bedeutet "datensparsam", dass diese Matrizen nicht wirklich spärlich sind, aber bestimmte Subblöcke davon durch Low-Rank-Zerlegungsmatrixformen dargestellt werden können ... [Gleichung 8]

Die Matrix (K_rr^i)⁻¹ kann durch datensparsame Matrixformen dargestellt werden, da sie die Matrixeigenschaft eines Integraloperators besitzt. Daher kann, sofern (K_rr^i)⁻¹ in gegebener Subdomäne Low-Rank-Eigenschaft besitzt, diese effizient berechnet und in datensparsamen Formen mit dem Low-Rank-Sparsifizierungsansatz gespeichert werden, was die MVPs in der iterativen Lösung beschleunigt.

Die Prozesse des Low-Rank-Sparsifizierungsansatzes können in folgende Schritte unterteilt werden: (1) Konstruktion eines Clusterbaums durch Unterteilung der Basisfunktionenmenge in jeder Subdomäne, (2) Konstruktion eines Blockclusterbaums durch Interaktion zweier Clusterbäume, (3) Erzeugung einer datensparsamen Form von K_rr^i durch eine Zulässigkeitsbedingung, (4) Durchführung Low-Rank-formatierter Algorithmen zur Erlangung der datensparsamen Darstellung von (K_rr^i)_DS⁻¹, und (5) Eintritt in die Lösung der FETI-DP-Systeme durch datensparsame Algorithmen. Geeignete Präkonditionierer können eingesetzt werden, um die Lösung zu beschleunigen. Es sei angemerkt, dass die datensparsame LU-Faktorisierung (K_rr^i)_DS = (L_rr^i)_DS (U_rr^i)_DS verwendet wird, um die Matrixinversion (K_rr^i)_DS⁻¹ zu ersetzen. Eine Nested-Dissection-Technik wird eingesetzt, um die Effizienz der Low-Rank-Sparsifizierung weiter zu verbessern. Die Nested Dissection nutzt Separatoren, um große off-diagonale Null-Subblöcke zu erzeugen, die während der LU-Faktorisierung null bleiben, was die Fill-ins signifikant reduziert.

Zur Erzeugung von (K_rr^i)_DS konstruieren wir zunächst einen Clusterbaum T_I durch rekursive Unterteilung der Subdomänen-kantenbasierten Basisfunktionenmenge I = {1,2,……N} mittels Bounding Box. Mit der Nested Dissection wird ein Cluster t innerhalb der entsprechenden Bounding Box in drei Nachfolger {s_1, s_sep, s_2} unterteilt, wobei s_1 und s_2 die Indexmengen der zwei getrennten Bounding Boxes sind und s_sep die Indexmenge des Separators. Abb. 2a zeigt ein einfaches Beispiel dieses Prozesses. Dann kann ein Blockclusterbaum T_I×I durch Interaktion zweier Clusterbäume T_I konstruiert werden, wie in Abb. 2b gezeigt. Als Nächstes führen wir eine Zulässigkeitsbedingung basierend auf der Nested Dissection ein, um volle Blöcke, Low-Rank-Zerlegungsblöcke und off-diagonale Nullblöcke in T_I×I zu unterscheiden. Damit kann (K_rr^i)_DS durch Befüllen der entsprechenden Blöcke mit den Nicht-Null-Einträgen von K_rr^i erzeugt werden. Schließlich kann die datensparsame LU-Faktorisierung von (K_rr^i)_DS = (L_rr^i)_DS (U_rr^i)_DS rekursiv berechnet werden ... [Gleichung 9]

Ein adaptiver Trunkierungsfehler ε_t wird verwendet, um die Genauigkeit der Low-Rank-Approximationen zu kontrollieren. Die erhaltenen LU-Faktoren (L_rr^i)_DS und (U_rr^i)_DS werden gespeichert und zur Konstruktion von Z_rr^i verwendet ... [Gleichung 10]

Optische Kraft und Potenzial

Nach Elektrodynamik-Theorie kann die optische Kraft durch den Maxwell-Spannungstensor (MST) evaluiert werden, der die Beziehung zwischen elektromagnetischem Feld und mechanischem Impuls offenbart. Sobald die elektromagnetische Feldverteilung um das Objekt erhalten ist, kann die optische Kraft durch Integration des MST über eine geschlossene Fläche um das Objekt berechnet werden. Basierend auf der erhaltenen elektrischen Feldverteilung kann der MST an beliebigen Koordinaten konstruiert werden als ... [Gleichung 11]

Durch das äußere Produkt von Vektoren kann die Tensorform von T geschrieben werden als ... [Gleichung 12]

Gemäß der Entwicklung von E beschrieben in (4) können die Einträge des MST T_mn (m,n = x,y,z) in entwickelte Formen in der FETI-DP-Berechnung umgewandelt werden als ... [Gleichungen 13-14]

Schließlich kann die auf das Objekt ausgeübte optische Kraft durch Integration des MST über jede geschlossene Fläche um es herum berechnet werden als ... [Gleichung 15]

Für stabiles optisches Fangen ist eine der Hauptbedingungen, dass die Gradientenkraft größer als die Streukraft sein sollte. Mit anderen Worten, die Richtung der Gesamtkraft sollte identisch mit der der Gradientenkraft sein, die immer auf die Position zeigt, wo die elektrische Feldintensität am stärksten ist.

Das optische Potenzial ist ein weiterer attraktiver Parameter, der die Stabilität des optischen Fangens offenbart. Basierend auf der erhaltenen optischen Kraft kann die optische Potenzialtiefe U an Position r_0 berechnet werden als ... [Gleichung 16]

Der Wert von U kann durch k_B T dargestellt werden, wobei k_B die Boltzmann-Konstante (1,3806488 × 10⁻²³ J/K) und T die Umgebungstemperatur bezeichnet. Allgemein kann das Teilchen die Brownsche Bewegung in Lösung überwinden und stabil gefangen werden, wenn U > 1 k_B T erfüllt ist. Andernfalls kann das Teilchen nicht stabil gefangen werden. Da die gesamte optische Kraft die konservative Gradientenkraftkomponente und die nicht-konservative Streukraftkomponente einschließt, ist die gesamte optische Kraft F aus (15) nicht-konservativ. Allerdings, sofern die Bewegung des Nanopartikels auf eine Dimension beschränkt ist, ergibt dies eine eindeutige Definition eines optischen Potenzials aus (16), auch wenn die gesamte optische Kraft nicht-konservativ ist.

Ergebnisse und Diskussion

Drei Beispiele werden präsentiert, um die Effektivität der vorgeschlagenen Methode zu demonstrieren. Da Edelmetalle häufig zur Anregung von Oberflächenplasmonen verwendet werden, wählen wir repräsentative Gold- und Silbersmaterialien für die Analysen. Das erste Beispiel berechnet die optische Kraft eines Silbernanopartikels zur Verifizierung der Genauigkeit der vorgeschlagenen Methode. Das zweite und dritte Beispiel simulieren und diskutieren das optische Fangen von Goldnanopartikeln. Für alle Beispiele wird der unendliche Bereich mit ABC abgeschnitten, und die Abstände zwischen ABC und den Objekten werden auf eine Wellenlänge gesetzt, was ausreichend für akzeptable Genauigkeit ist. Alle Berechnungen werden auf einer Dell-Workstation mit 3,6 GHz Intel Xeon Prozessoren durchgeführt.

Silber-Nanokapsel

Ein Silber-Nanokapsel-Objekt wird zuerst betrachtet, um Genauigkeit und Effizienz der vorgeschlagenen FETI-DP-Methode bei der Vorhersage optischer Kraft zu testen. Abb. 3a,b zeigt Konfiguration und Abmessungen. Die konstitutiven Parameter von Silber sind alle Messwerte aus [32]. Zur Implementierung des FETI-DP-Schemas wird der gesamte Analysebereich zunächst in 24 Subdomänen unterteilt. Dichtere Meshes sind nahe der Metalloberfläche erforderlich, um den plasmonischen lokalen Felderhöhungseffekt zu modellieren. Tetraederelemente werden für die Diskretisierung verwendet, was insgesamt 6,9 × 10⁵ Unbekannte ergibt, einschließlich 4,1 × 10⁴ dualer Unbekannter und 313 Ecken-Unbekannter. Das einfallende Licht beleuchtet entlang +z-Richtung, während die Polarisation des elektrischen Feldes in −x-Richtung liegt.

Zunächst variieren wir die Wellenlänge des einfallenden Lichts λ von 200 nm bis 400 nm, um die auf die Nanokapsel ausgeübten optischen Kräfte zu simulieren. Da FETI-DP im Frequenzbereich arbeitet, werden optische Kräfte an 15 Abtastfrequenzpunkten berechnet. Abb. 4 zeigt die berechnete Kurve der optischen Kräfte auf die Silber-Nanokapsel. Zur Angabe der FETI-DP-Genauigkeit werden die optischen Kraft-Ergebnisse von FETI-DP mit denen der kommerziellen Software Lumerical FDTD Solutions [33] verglichen, und gute Übereinstimmung kann beobachtet werden.

Dann wird die FETI-DP-Leistung für verschiedene Anzahlen von Subdomänen getestet. Wir erhöhen die Subdomänenzahl von 4 auf 24 bei gleichbleibender Diskretisierungsdichte. Wir weisen jedem Prozessor eine Subdomäne zu. Tabelle 1 berichtet die Zeit für Konstruktion der globalen Schnittstellengleichung (6) und die Gesamtlösungszeit. Man sieht, dass FETI-DP parallele Rechenressourcen vollständig ausnutzen und die Lösungeffizienz signifikant verbessern kann. Auch die Genauigkeit von FETI-DP mit steigender Subdomänenzahl wird geprüft und in Tabelle 1 berichtet. Hier wird Genauigkeit definiert durch den 2-Norm-relativen Fehler der optischen Kraft als δ_OF = ‖OF_i − OF_ref‖/‖OF_ref‖, wobei OF_i die optische Kraft mit i Subdomänen und OF_ref die Referenzkraft mit zwei Subdomänen bezeichnet. Die Genauigkeit bleibt mit steigender Subdomänenzahl nahezu konstant.

Gold-Nanosphären-Dimer

Das zweite Beispiel analysiert das optische Fangen einer Gold-Nanosphäre mittels Gold-Nanosphären-Dimer. Die plasmonischen Effekte am Dimer-Spalt können die optische Kraft für das Fangen von Nanopartikeln effektiv verstärken. Abb. 5a,b gibt Konfiguration und Abmessungen. Die konstitutiven Parameter von Gold sind Messwerte aus [32]. Das umgebende Medium ist Wasser mit relativem Brechungsindex n = 1,33. Das einfallende Licht ist eine ebene Welle mit Leistung 10 mW/µm², elektrischer Feldpolarisation in +x-Richtung und Einfallsrichtung −z. Die optische Kraft auf das Objekt-Nanosphäre wird mit FETI-DP berechnet. Für die FETI-DP-Implementierung wird der gesamte Rechenbereich in 32 Subdomänen unterteilt und durch Tetraedermeshes diskretisiert, was 3,5 × 10⁶ Unbekannte ergibt, einschließlich 1,6 × 10⁵ dualer Unbekannter und 1738 Ecken-Unbekannter.

Zunächst testen wir die Parallelleistung von FETI-DP mit verschiedenen Prozessorzahlen. Tabelle 2 berichtet die Lösungszeit für Gleichung (6) sowie die Gesamtlösungszeit. Zudem werden Speedups für die Parallelberechnung in Tabelle 2 angegeben. Der Speedup ist definiert als T_1 / T_Np, wobei T_Np die Gesamt-Wall-Clock-Zeit mit N_p Prozessoren bezeichnet. Man sieht, dass FETI-DP die Lösungeffizienz signifikant verbessert und gute parallele Speedups aufweist. Bei dieser großen Unbekanntenanzahl beträgt der Gesamtspeicherbedarf aller Prozessoren nur 57,2 GB.

Dann wird die Effektivität des Low-Rank-Sparsifizierungsansatzes untersucht. Mit Low-Rank-Sparsifizierung kann die Subdomänenmatrix durch datensparsamen Algorithmus faktorisiert und als datensparsame Matrizen gespeichert werden. Konstruktionszeit und Speicherbedarf betragen nur 18 s und 0,5 GB, während sie bei konventionellem Matrixalgorithmus 67 s und 1,7 GB betragen. Das entspricht 72 % Zeitersparnis und 70 % Speicherkompression. Bezüglich Speicherbedarf können auch die nachfolgenden MVPs 70 % Zeitersparnis erzielen.

Als Nächstes wird FETI-DP für optische Kraftberechnung mit Wellenlänge λ von 277 nm bis 818 nm getestet. In der Praxis sind Analysen optischer Kraft unter einfallendem Licht verschiedener Wellenlängen oft notwendig, um die plasmonische Resonanzwellenlänge zu suchen, wo drastische Felderhöhung auftritt und stärkste optische Kraft erzielt werden kann. Zwei Fälle werden betrachtet mit der Nanosphäre bei (0, 0, 20 nm) und (0, 0, −20 nm). Abb. 6a,b zeigt die berechneten optischen Kräfte auf die Nanosphäre für verschiedene λ. Die maximale optische Kraft tritt bei λ = 472 nm auf, der plasmonischen Resonanzwellenlänge. Die optische Kraft bei dieser Resonanzwellenlänge ist um fast das 40-fache gegenüber der bei Nicht-Resonanzwellenlänge verstärkt. Zudem zeigt die optische Kraft immer zum Dimer-Spalt, wo die elektrische Feldintensität am stärksten ist – die Richtung der Gradientenkraft zum Fangen des Objekts. Abb. 7a,b zeigt die berechneten elektrischen Felderhöhungsverteilungen auf der xoz-Ebene bei Nicht-Resonanzwellenlänge λ = 300 nm und Resonanzwellenlänge λ = 472 nm. Die elektrische Feldintensität wurde durch den plasmonischen Resonanzeffekt um fast das 250-fache erhöht.

Zudem werden optische Kraft und optisches Potenzial berechnet, während die Nanosphäre von (0, 0, −30 nm) bis (0, 0, −17 nm) entlang der z-Achse bewegt wird. Da das typischste und interessanteste Verhalten von Fangkräften und -potenzialen jene entlang z-Richtung sind, betrachten wir hier das axiale Fangpotenzial durch Integration entlang z-Achse. Da die Nanopartikelbewegung auf eine Dimension beschränkt ist, ist die Definition eines optischen Potenzials aus (16) eindeutig, auch wenn die gesamte optische Kraft aus (15) nicht-konservativ ist. Wie in Abb. 8a,b gezeigt, nehmen optische Kraft und optische Potenzialtiefe offensichtlich zu, wenn die Nanosphäre zum Dimer-Spalt bewegt wird. An der Position (0, 0, −17 nm) wird eine optische Potenzialtiefe von 4,6 k_B T erzeugt, was ausreicht, um die Brownsche Bewegung in Wasser zu überwinden und stabiles optisches Fangen zu erreichen.

Schließlich testen wir die Effekte des dielektrischen Substrats für dieses Beispiel. Optische Kräfte werden mit und ohne Substrat berechnet. Für beide Fälle befindet sich die Nanosphäre bei (0, 0, −20 nm) und die einfallende Wellenlänge wird als Resonanzwellenlänge gewählt. Ohne Substrat beträgt die berechnete optische Kraft |F_0| = 0,769 pN. Mit Substrat wird der Gold-Nanosphären-Dimer auf ein dielektrisches Substrat mit 60 nm Dicke und relativer Permittivität ε_r = 2,25 gelegt. Die berechnete optische Kraft beträgt |F_1| = 0,761 pN. Der relative Fehler zwischen diesen beiden optischen Kräften beträgt ca. 1,0 × 10⁻², definiert als |F_1 − F_0|/|F_0|.

Gold-abgestumpfter-Kegel-Dimer

Das dritte Beispiel behandelt das optische Fangen einer Gold-Nanosphäre mittels Gold-abgestumpften-Kegel-Dimers. Abb. 9 gibt Konfiguration und Abmessungen. Die konstitutiven Parameter von Gold stammen aus [32]. Das dielektrische Substrat hat relative Permittivität ε_r = 2,25. Das umgebende Medium ist Wasser mit n = 1,33. Das einfallende Licht ist eine ebene Welle mit 10 mW/µm², elektrischer Feldpolarisation +x, Einfallsrichtung −z. Der gesamte Rechenbereich wird in 32 Subdomänen unterteilt und durch Tetraedermeshes diskretisiert, was 3,1 × 10⁶ Unbekannte ergibt, einschließlich 1,3 × 10⁵ dualer Unbekannter und 1227 Ecken-Unbekannter.

Zunächst analysieren wir die optischen Kräfte durch Variation von λ von 277 nm bis 818 nm. Abb. 10 zeigt die berechneten optischen Kräfte auf die Nanosphäre für verschiedene λ. Die Nanosphäre befindet sich bei (0, 0, 35 nm). Die maximale optische Kraft tritt bei λ = 464 nm auf, der plasmonischen Resonanzwellenlänge, und die optische Kraft ist hier um fast das 30-fache bei Nicht-Resonanzwellenlänge verstärkt. Zudem zeigt die gesamte optische Kraft immer in −z-Richtung, was die Richtung der Gradientenkraft ist. Dies bestätigt, dass die Gradientenkraft größer als die Streukraft ist – eine Bedingung für stabiles Fangen der Nanosphäre. Abb. 11a,b zeigt die berechneten elektrischen Feldverteilungen bei Nicht-Resonanzwellenlänge λ = 300 nm und Resonanzwellenlänge λ = 464 nm. Die elektrische Feldintensität wurde durch lokalisierte Oberflächenplasmonenresonanz um fast das 500-fache erhöht.

Dann wird der Ort der Nanosphäre auf 0, 5 und 35 nm geändert, um die optische Kraft zu beobachten. Abb. 12 zeigt die berechneten optischen Kräfte auf die Nanosphäre, wobei eine offensichtliche y-Komponente der optischen Kraft beobachtet werden kann, während eine größere z-Komponente existiert. Die gesamte optische Kraft zeigt immer noch zur Position mit stärkstem elektrischem Feld, um die Nanosphäre zu fangen.

Weiterhin analysieren wir das optische Potenzial, während die Nanosphäre von (0, 0, 50 nm) bis (0, 0, 20 nm) entlang der z-Achse bewegt wird. Wir betrachten das axiale Fangpotenzial entlang z-Richtung, was die Nanopartikelbewegung auf eine Dimension beschränkt und zu einer eindeutigen Definition des optischen Potenzials führt. Beide, optische Kraft und Potenzial, werden berechnet. Wie in Abb. 13a,b beobachtbar, nehmen optische Kraft und optische Potenzialtiefe offensichtlich zu, wenn die Nanosphäre zum Dimer-Spalt bewegt wird. An (0, 0, 20 nm) wird eine optische Potenzialtiefe von 3,8 k_B T erzielt, was ausreicht, um die Brownsche Bewegung in Wasser zu überwinden und stabiles optisches Fangen zu erreichen.

Schließlich testen wir die Rechenkosten von FETI-DP durch Variation der Unbekanntenanzahl von 1,0 Millionen auf 3,2 Millionen basierend auf unterschiedlichen Mesh-Größen. In der Praxis sind Tests unter verschiedenen Mesh-Dichten meist notwendig, um unterschiedliche Genauigkeitsanforderungen zu erfüllen. Ein solch großskaliges komplexes Problem stellt große Herausforderungen für konventionelle numerische Methoden dar. FETI-DP kann jedoch dieses Problem leicht handhaben. 32 Prozessoren werden für die FETI-DP-Simulation eingesetzt, wobei jeder Prozessor eine Subdomäne bearbeitet. Tabelle 3 berichtet die Rechenkosten von FETI-DP. Man sieht, dass FETI-DP hohe Simulations-effizienz und geringen Speicherbedarf aufweist.

Schlussfolgerung

Eine FETI-DP-Methode kombiniert mit Low-Rank-Sparsifizierung wird für die Vorhersage und Analyse des optischen Fangens von Metallnanopartikeln vorgeschlagen. Die vorgeschlagene Methode bietet vollständig entkoppelte Subdomänen-Probleme, die ein großskaliges komplexes Problem in eine Reihe kleinräumiger einfacher Probleme umwandeln. Sie eignet sich gut für parallele Berechnung und kann die Effizienz numerischer Simulation signifikant verbessern. Beispiele demonstrieren, dass die vorgeschlagene Methode hervorragende Leistung bei großskaligen Berechnungen zeigt und gut geeignet ist für schnelle und präzise Simulation optischer Pinzetten im Nanomaßstab.