Boolesche algebraische Identitäten

In der Mathematik eine Identität ist eine Aussage wahr für alle möglichen Werte ihrer Variablen oder Variablen.

Die algebraische Identität von x + 0 =x sagt uns, dass alles (x) zu null hinzugefügt entspricht dem ursprünglichen „anything“, egal welchen Wert „anything . hat ” (x) kann sein.

Wie die gewöhnliche Algebra hat die Boolesche Algebra ihre eigenen einzigartigen Identitäten basierend auf den zweiwertigen Zuständen der Booleschen Variablen.

Additive Identitäten

Null hinzufügen

Die erste boolesche Identität ist, dass die Summe von alles und null ist das gleiche wie das Original „alles .”

Diese Identität unterscheidet sich nicht von ihrem algebraischen Äquivalent für reelle Zahlen:

Egal wie hoch der Wert von A ist , ist die Ausgabe immer gleich:wenn A=1 , die Ausgabe ist auch 1; wenn A=0 , die Ausgabe ist auch 0 .

Eins hinzufügen

Die nächste Identität unterscheidet sich definitiv von jeder anderen in der normalen Algebra.

Hier entdecken wir, dass die Summe von „alles “ und eins ist eins :

Egal wie groß der Wert von A ist, die Summe von A und 1 ist immer 1.

In gewisser Weise überschreibt das Signal „1“ die Wirkung von A auf die Logikschaltung, wobei der Ausgang auf einem Logikpegel von 1 fixiert bleibt.

Eine Menge zu sich selbst hinzufügen

Als Nächstes untersuchen wir die Wirkung des Hinzufügens von A und A zusammen, was der Verbindung beider Eingänge eines ODER-Gatters entspricht miteinander und aktivieren sie mit dem gleichen Signal:

In der Algebra der reellen Zahlen ist die Summe zweier identischer Variablen das Doppelte des Wertes der ursprünglichen Variablen (x + x =2 x), aber denken Sie daran, dass es in der Welt der Booleschen Mathematik kein Konzept von „2“ gibt, nur 1 und 0, also können wir nicht sagen, dass A + A =2A .

Wenn wir also eine boolesche Größe zu sich selbst addieren, ist die Summe gleich der ursprünglichen Größe:0 + 0 =0 , und 1 + 1 =1 .

Hinzufügen einer Menge zu seiner Ergänzung

Durch die Einführung des einzigartigen Booleschen Konzepts der Komplementierung in eine additive Identität finden wir einen interessanten Effekt.

Da es eine "1 . geben muss ” Wert zwischen einer Variablen und ihrem Komplement, und da die Summe einer beliebigen Booleschen Größe und 1 1 ist, muss die Summe einer Variablen und ihres Komplements 1:sein.

Multiplikative Identitäten

Genauso wie es vier Boolesche additive Identitäten gibt (A+0, A+1, A+A und A+A’ ), also gibt es auch vier multiplikative Identitäten:Ax0, Ax1, AxA und AxA’ . Von diesen unterscheiden sich die ersten beiden nicht von ihren äquivalenten Ausdrücken in der regulären Algebra:

Multiplizieren mit 0 oder 1

Eine Menge mit sich selbst multiplizieren

Die dritte multiplikative Identität drückt das Ergebnis einer Booleschen Größe multipliziert mit sich selbst aus.

In der normalen Algebra ist das Produkt einer Variablen und sich selbst das Quadrat dieser Variablen (3 x 3 =3 ² =9).

Das Konzept des Quadrats impliziert eine Menge von 2, die in der Booleschen Algebra keine Bedeutung hat, daher können wir nicht sagen, dass A x A =A ² .

Stattdessen finden wir, dass das Produkt einer booleschen Größe und sich selbst die ursprüngliche Größe ist, da 0 x 0 =0 und 1 x 1 =1 :

Eine Menge mit ihrem Komplement multiplizieren

Die vierte multiplikative Identität hat kein Äquivalent in der regulären Algebra, da sie das Komplement einer Variablen verwendet, ein Konzept, das nur in der Booleschen Mathematik existiert.

Da es eine "0 . geben muss ” Wert zwischen einer beliebigen Variablen und ihrem Komplement, und da das Produkt einer beliebigen Booleschen Größe und 0 ist 0 , das Produkt einer Variablen und ihres Komplements muss 0 sein :

Zusammenfassend haben wir also vier grundlegende boolesche Identitäten für die Addition und vier für die Multiplikation:

Doppeltes Komplement

Eine andere Identität, die mit Komplementation zu tun hat, ist die des doppelten Komplements :eine zweimal invertierte Variable.

Das zweimalige Komplementieren einer Variablen (oder eine beliebige gerade Anzahl von Malen) führt zum ursprünglichen booleschen Wert.

Dies ist analog zum Negieren (Multiplizieren mit -1) in der Algebra mit reellen Zahlen:eine gerade Anzahl von Negationen hebt den ursprünglichen Wert auf:

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt zur Booleschen Algebra