Wesentliche Boolesche Algebra-Identitäten: Umfassender Überblick

In der Mathematik ist eine Identität eine Aussage, die für alle möglichen Werte ihrer Variable(n) wahr ist.

Die algebraische Identität x + 0 = x sagt uns, dass alles (x) addiert zu null dem ursprünglichen „alles“ gleich ist, egal welchen Wert dieses „alles“ (x) haben mag.

Wie gewöhnliche Algebra hat Boolesche Algebra ihre eigenen einzigartigen Identitäten, basierend auf den zweiwertigen Zuständen Boolescher Variablen.

Additive Identitäten

Null addieren

Die erste Boolesche Identität besagt, dass die Summe von irgendetwas und null dem ursprünglichen „irgendetwas“ entspricht.

Diese Identität unterscheidet sich nicht von ihrem reell-zahligen algebraischen Äquivalent:

Egal welchen Wert A hat, der Ausgang ist immer derselbe: wenn A=1, ist der Ausgang auch 1; wenn A=0, ist der Ausgang auch 0.

Eins addieren

Die nächste Identität unterscheidet sich definitiv von allem, was man in normaler Algebra sieht.

Hier entdecken wir, dass die Summe von „irgendetwas“ und eins eins ist:

Egal welchen Wert A hat, die Summe von A und 1 wird immer 1 sein.

In gewissem Sinne überschreibt das „1“-Signal den Effekt von A auf die Logikschaltung und fixiert den Ausgang auf Logikpegel 1.

Eine Größe zu sich selbst addieren

Als Nächstes untersuchen wir den Effekt, A und A zusammenzuzählen, was dem Anschließen beider Eingänge eines OR-Gatters aneinander und deren Betätigung mit demselben Signal entspricht:

In reeller Algebra ist die Summe zweier identischer Variablen das Doppelte des ursprünglichen Wertes (x + x = 2x), aber denken Sie daran, dass es kein Konzept von „2“ in der Booleschen Mathematik gibt, nur 1 und 0, also können wir nicht sagen, dass A + A = 2A.

Daher ist die Summe einer Booleschen Größe mit sich selbst gleich der ursprünglichen Größe: 0 + 0 = 0 und 1 + 1 = 1.

Eine Größe zu ihrem Komplement addieren

Führen wir das einzigartig Boolesche Konzept der Komplementierung in eine additive Identität ein, finden wir einen interessanten Effekt.

Da es zwischen jeder Variable und ihrem Komplement einen „1“-Wert geben muss, und da die Summe jeder Booleschen Größe und 1 gleich 1 ist, muss die Summe einer Variable und ihres Komplements 1 sein:

Multiplikative Identitäten

Genau wie es vier Boolesche additive Identitäten (A+0, A+1, A+A, und A+A') gibt, so gibt es auch vier multiplikative Identitäten: A×0, A×1, A×A, und A×A'. Von diesen unterscheiden sich die ersten beiden nicht von ihren Äquivalenten in regulärer Algebra:

Multiplikation mit 0 oder 1

Eine Größe mit sich selbst multiplizieren

Die dritte multiplikative Identität drückt das Ergebnis aus, eine Boolesche Größe mit sich selbst zu multiplizieren.

In normaler Algebra ist das Produkt einer Variablen mit sich selbst das Quadrat dieser Variable (3 × 3 = 3² = 9).

Doch das Konzept des Quadrats impliziert eine Größe von 2, was in Boolescher Algebra keine Bedeutung hat, also können wir nicht sagen, dass A × A = A².

Stattdessen finden wir, dass das Produkt einer Booleschen Größe mit sich selbst die ursprüngliche Größe ist, da 0 × 0 = 0 und 1 × 1 = 1:

Eine Größe mit ihrem Komplement multiplizieren

Die vierte multiplikative Identität hat kein Äquivalent in regulärer Algebra, da sie das Komplement einer Variable nutzt, ein Konzept einzigartig für Boolesche Mathematik.

Da es zwischen jeder Variable und ihrem Komplement einen „0“-Wert geben muss, und da das Produkt jeder Booleschen Größe und 0 gleich 0 ist, muss das Produkt einer Variable und ihres Komplements 0 sein:

Zusammenfassend haben wir vier grundlegende Boolesche Identitäten für Addition und vier für Multiplikation:

Doppelte Komplementierung

Eine weitere Identität, die mit Komplementierung zu tun hat, ist die der doppelten Komplementierung: eine Variable, die zweimal invertiert wird.

Das zweifache Komplementieren einer Variable (oder jede gerade Anzahl von Malen) ergibt den ursprünglichen Booleschen Wert.

Dies ist analog zum Negieren (Multiplizieren mit -1) in reeller Algebra: eine gerade Anzahl von Negationen hebt sich auf und lässt den ursprünglichen Wert übrig:

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER

• Boolean Algebra Worksheet