Thermoelektrische Antwort eines korrelierten Quantenpunkts gekoppelt an Majorana-Bound-States

H_MBSs = δ_M (f^† f − ½) + (λ₁/√2) (d_↑ − d^†_↑)(f^† + f) − (λ₂/√2) (d_↑ + d^†_↑)(f^† − f) (3)

Wir betrachten das System im linearen Antwortregime, d. h. unter unendlich kleiner Bias-Spannung ΔV und Temperaturdifferenz ΔT zwischen linker und rechter Elektrode. Elektrischer und Wärme-Strom jeder Spin-Komponente lauten:

I_e,σ = −e² L_0,σ ΔV + (e/T) L_1,σ ΔT (4)

I_h,σ = e L_1,σ ΔV − (1/T) L_2,σ ΔT (5)

mit Elementarladung e und Gleichgewichtstemperatur T, und

L_n,σ = (1/ℏ) ∫ (ε−μ)ⁿ [−∂f(ε,μ)/∂ε] T_σ(ε) dε/2π (6)

wobei ℏ die reduzierte Planck-Konstante ist. Wir setzen das chemische Potential der Kontakte μ = 0 als Energie-Nullpunkt. Die Fermi-Verteilungsfunktion ist f(ε,μ) = 1/{1+exp[(ε−μ)/k_BT]} mit Boltzmann-Konstante k_B. Der Transmissionskoeffizient T_σ(ε) wird mittels retarded Green'scher Funktion berechnet:

T_σ(ε) = (Γ_LΓ_R)/(Γ_L+Γ_R) [−2 Im G^r_σ(ε)] (7)

wobei Γ_L(R) = 2π Σ_k |V_kL(R)|² δ[ε − ε_kL(R)] die Linienbreitenfunktion ist. Wir wenden die Standard-Gleichungsbewegungs-Methode zur Erhaltung der Green'schen Funktion an. Höhere Green'sche Funktionen werden nach Schema 2 in Ref. [39] abgeschnitten (vernachlässigt simultanes Tunneln des Elektrons entgegengesetzten Spins). Nach geradlinigen Berechnungen ergibt sich die Spin-up retarded Green'sche Funktion:

G^r_↑(ε) = [ε₋ − Σ^M₁ − U {1 − ⟨n_↓⟩ [1 − (λ₁² − λ₂²)² B̃ B̃_U]}] / [(ε₋ − Σ^M₀)(ε₋ − U − Σ^M₁)] (8)

mit den MBS-induzierten Selbstenergien

Σ^M₀ = B₁ + (λ₁² − λ₂²)² B B̃ (9)

Σ^M₁ = B₁ + (λ₁² − λ₂²)² B B̃_U (10)

wobei

B = ε/(ε² − δ_M²) (11)

B₁ = ½ [(λ₁² − λ₂²)/(ε − δ_M) + (λ₁² + λ₂²)/(ε + δ_M)] (12)

B̃ = B/(ε₊ + B₂) (13)

B̃_U = B/(ε₊ + U − B₂) (14)

und

B₂ = ½ [(λ₁² − λ₂²)/(ε + δ_M) + (λ₁² + λ₂²)/(ε − δ_M)] (15)

mit ε_± = ε ± ε_d + i(Γ_L+Γ_R)/2. Ohne QD-MBS-Hybridisierung (λ₁=λ₂=0) gilt Σ^M_0,1=0 und G^r_↑(ε) geht in die von Ref. [39] über. Die Spin-down retarded Green'sche Funktion ergibt sich durch Austausch von n_↓ gegen n_↑. Die Besetzungszahl wird selbstkonsistent berechnet aus:

n_σ = ∫ dε/2π [Γ_L f_L(ε) + Γ_R f_R(ε)]/(Γ_L+Γ_R) [−2 Im G^r_σ(ε)] (16)

wobei f_L/R(ε) die Fermi-Verteilung in linker/rechter Elektrode ist. Einmal erhalten die Transmissionsfunktion, sind elektrischer Leitwert und Thermopower (Seebeck-Koeffizient) jeder Spin-Komponente gegeben durch G_σ = e² L_0,σ und S_σ = −L_1,σ/(e T L_0,σ).

Ergebnisse und Diskussion

Im Folgenden nehmen wir symmetrische Kopplung zwischen QD und Elektroden an und setzen Γ = 2Γ_L = 2Γ_R = 1 als Energieeinheit. Die intradot Coulomb-Wechselwirkung ist fest U = 10 Γ. Zunächst untersuchen wir den Fall, dass der QD nur an MBS-1 gekoppelt ist mit variierender Hybridisierungsstärke λ₁ (Abb. 2), indem λ₂=0 gesetzt wird. Für λ₁=0 entwickelt der Leitwert jeder Spin-Komponente in Abb. 2a zwei Peaks bei ε_d = −μ und −μ−U. Der QD ist frei von Spinpolarisation durch MBS, und die Leitwerte beider Spin-Komponenten sind gleich (G_↑=G_↓). Bei eingeschalteter Hybridisierung (λ₁≠0) wird der Betrag von G_↑ monoton unterdrückt (Abb. 2a), konsistent mit früheren Ergebnissen [18, 34, 35]. G_↓ bleibt nahezu unverändert, obwohl die Besetzungszahl n_↓ durch λ₁ aufgrund der intradot Coulomb-Wechselwirkung ändert (nicht gezeigt). Peakposition und -breite in G_↑ werden leicht durch λ₁ modifiziert aufgrund der Niveaureormalisierung durch QD-Majorana-Kopplung [18, 34, 35]. Die Konfiguration des Gesamtleitwerts G = G_↑+G_↓ in Abb. 2c ähnelt der von G_↑.

Der Thermopower S_↑ in Abb. 2b zeigt die typische Sägezahn-Konfiguration mit drei Nullstellen bei ε_d = μ, −U/2, μ−U [41, 42]. Er entwickelt ein Paar scharfer Peaks mit entgegengesetzten Vorzeichen an den beiden Resonanzzuständen (ε_d = μ, μ−U) und wechselt das Vorzeichen beim Durchlaufen jeder Nullstelle. Ohne QD-MBS-Hybridisierung (λ₁=0, schwarze durchgezogene Linie in Abb. 2b) ist S_↑ positiv (negativ), wenn ε_d unterhalb (oberhalb) der Nullstelle liegt, da Hauptladungsträger Elektronen (Löcher) sind. Mit steigendem λ₁ bleibt S_↓ unverändert, der Betrag von S_↑ wird zunächst unterdrückt, dann verstärkt. Für hinreichend großes λ₁ ändert S_↑ sein Vorzeichen (Abb. 2b). Bei weiterem Anstieg übersteigt der Betrag von S_↑ den von S_↓, und auch der Gesamt-Thermopower S = S_↑+S_↓ wechselt das Vorzeichen. Ein solches Phänomen wurde zuvor in spinlosen Modellen gefunden [35–37]. Tatsächlich wurde der Vorzeichenwechsel des Thermopowers in QD-Bauelementen ohne MBS auf verschiedene Ursachen zurückgeführt: Systemgleichgewichtstemperatur [29], magnetischer Moment der Elektroden [43], Coulomb-Wechselwirkung [43, 44], Kopplungsstärke zwischen QDs, angewendetes Magnetfeld, Quanteninterferenzeffekt oder magnetischer Fluss durch Mehrfach-QD-Systeme [45, 46]. Diese Mechanismen unterscheiden sich grundlegend vom vorliegenden Fall; der Vorzeichenwechsel durch Änderung der QD-MBS-Hybridisierung hilft beim MBS-Nachweis [35–37].

Abbildung 3a, b zeigt Gesamtleitwert G und Thermopower S in Abhängigkeit vom QD-Niveau ε_d für verschiedene Temperaturen T. Der Peakwert von G wird zunächst verstärkt, dann durch Temperaturerhöhung unterdrückt (Abb. 3a). Der Thermopower-Betrag in Abb. 3b wird hauptsächlich durch Temperaturerhöhung verstärkt, da mehr Elektronen (Löcher) oberhalb (unterhalb) des chemischen Potenzials angeregt werden. Zudem wechselt S sein Vorzeichen für T=0,1 und 0,2 (rosa und grüne Linien in Abb. 3b), ähnlich wie in QD-Strukturen ohne MBS. Für T=0,2Γ erreicht der Peakwert von S bis zu 2 k_B/e – eine Größenordnung größer als bei T=0,001. Der Thermopower-Betrag lässt sich durch weitere Temperaturerhöhung noch steigern; wir fokussieren uns jedoch auf den Vorzeichenwechsel bei relativ niedrigen Temperaturen, typisch für experimentell gebildete MBS. Abb. 3c, d zeigt Leitwert und Thermopower für verschiedene Werte der direkten Hybridisierung der beiden MBS an den Nanodrahtenden bei festem T=0,025Γ. Der Leitwert-Peakwert in Abb. 3c wird monoton durch Erhöhung von δ_M verstärkt, konsistent mit López et al. [35]. Der Thermopower in Abb. 3d wechselt das Vorzeichen für 0,03Γ < δ_M < 0,05Γ, was größer ist als die Temperatur T=0,025Γ. In Ref. [32] fand man Vorzeichenwechsel bei δ_M ≈ k_BT im spinlosen Modell. Hier tritt der Vorzeichenwechsel bei relativ größerem δ_M auf, da MBS nur an eine Spin-Richtung koppeln. Auch der Thermopower-Peakwert lässt sich durch Erhöhung von δ_M verstärken.

Abbildung 4 zeigt die spin-auflösenden Thermopowers als Funktionen von λ₁ und δ_M. S_↑ in Abb. 4a steigt zunächst, erreicht ein Maximum und fällt dann mit steigendem λ₁. Bei hinreichend großem λ₁ bleibt es stabil. S_↓ wird durch λ₁ nicht verändert, wie erwartet. Das Verhalten von S_↑ und S_↓ führt zu zwei interessanten Ergebnissen: 100 % spinpolarisierter Thermopower, wenn S_↑=0 aber S_↓ einen endlichen Wert hat (nutzbar zum Filtern von Elektronenspin); und endlicher reiner Spin-Thermopower S_s = S_↑−S_↓ mit Null-Ladungs-Thermopower S_c = S_↑+S_↓ = 0, wenn S_↑ = −S_↓ (Punkte in Abb. 4b). Im geschlossenen Stromkreis entsprechen 100 % spinpolarisierter und reiner Spin-Thermopower den entsprechenden Strömen – virtuell in spintronischen Bauelementen. Ähnliche Ergebnisse finden sich in Abb. 4c, d, wo S_↑ durch Änderung von δ_M Vorzeichen wechselt, während S_↓ konstant bleibt. Wir betonen: Diese 100 % spinpolarisierten und reinen Spin-Thermopowers entstehen ohne Magnetfeld oder magnetische Materialien im QD.

Abbildung 5 untersucht den Fall, dass beide MBS an den Nanodrahtenden an den QD gekoppelt sind, wenn Draht und Dot nah genug beieinander sind (δ_M=0). Abb. 5a zeigt, dass der Gesamtleitwert G die Doppelpeak-Konfiguration bei Vorhandensein von λ₂ beibehält. Die Peakhöhe wird durch Erhöhung von λ₂ unterdrückt. Die Linienform von S wird durch λ₂ nicht verändert (Abb. 5b). Der Peakwert von S wird signifikant verstärkt, da Thermopower umgekehrt proportional zum Leitwert ist. Für λ₂∼0,2Γ erreicht der Thermopower-Betrag bis zu 2 k_B/e. Zudem wechselt S sein Vorzeichen nicht durch Anpassung von λ₂. Abbildung 6 zeigt den Gesamt-Thermopower als Funktion von ε_d für verschiedene δ_M bei festem λ₁=λ₂=0,2Γ. Sowohl Betrag als auch Vorzeichen lassen sich effektiv durch Abstimmung von δ_M ändern – ähnlich wie bei Kopplung nur eines MBS an den QD. Schließlich diskutieren wir kurz die experimentelle Realisierbarkeit. Der MBS-haltige Nanodraht kann aus InAs hergestellt werden, gewachsen per Molekularstrahlepitaxie mit wenigen Nanometern epitaktischem Al [47]. Experimentell bewiesen: Ein harter supraleitender Gap lässt sich auf solchen Nanodrähten durch Anlegen eines kritischen Magnetfelds > 2 T entlang der Drahtachse induzieren [47, 48]. Ein QD bildet sich im blanken InAs-Segment am Drahtende durch Zustandsdichtegradienten an den Rändern der Al-Hülle [20, 47, 48].

Fazit

Zusammenfassend haben wir die Eigenschaften von elektrischem Leitwert und Thermopower in einem an linke/rechte Normalmetall-Elektroden gekoppelten Quantenpunkt mit Coulomb-Wechselwirkung untersucht. Der Dot ist zudem an MBS gekoppelt, die in einem Halbleiter-Nanodraht gebildet sind. Wir finden, dass MBS den Leitwert und Thermopower nur der Spin-Komponente beeinflussen, an die sie koppeln, obwohl Spin-up und Spin-down Elektronen über Coulomb-Abstoßung wechselwirken. Das Vorzeichen des Thermopowers lässt sich durch Anpassung der QD-MBS-Hybridisierungsstärke, der direkten Hybridisierung zwischen den MBS und der Systemtemperatur ändern. Große Werte von entweder 100 % spinpolarisiertem oder reinem Spin-Thermopower lassen sich in nicht-magnetischen QD-Strukturen erzielen. Die Kopplung des Dots an beide MBS ändert nur den Betrag des Thermopowers, nicht sein Vorzeichen. Unsere Ergebnisse könnten für den Nachweis der MBS-Existenz über thermoelektrische Techniken nützlich sein.

Verfügbarkeit von Daten und Materialien

Die die Schlussfolgerungen dieses Artikels unterstützenden Datensätze sind im Artikel enthalten.

Abkürzungen

QD:

Quantenpunkt

MBSs:

Majorana-Bound-States