Logische Vereinfachung mit Karnaugh Maps

Die bisherigen Beispiele zur logischen Vereinfachung hätten mit Boolescher Algebra ungefähr genauso schnell durchgeführt werden können. Probleme mit der Vereinfachung der Logik in der realen Welt erfordern größere Karnaugh-Maps, damit wir ernsthafte Arbeit leisten können.

Wir werden in diesem Abschnitt an einigen erfundenen Beispielen arbeiten und die meisten realen Anwendungen für das Kapitel Kombinatorische Logik lassen. Mit erfunden meinen wir Beispiele, die Techniken veranschaulichen.

Dieser Ansatz wird die Werkzeuge entwickeln, die wir für den Übergang zu den komplexeren Anwendungen im Kapitel Kombinatorische Logik benötigen.

Karnaugh-Maps und Gray-Code-Sequenz

Wir zeigen unsere zuvor entwickelte Karnaugh-Karte. Wir werden das Formular rechts verwenden.

Beachten Sie die Zahlenfolge oben auf der Karte. Es ist nicht in binärer Reihenfolge, die 00, 01, 10, 11 wäre . Es ist 00, 01, 11 10 , die eine Gray-Code-Sequenz ist. Die Gray-Code-Sequenz ändert nur ein binäres Bit, wenn wir in der Sequenz von einer Zahl zur nächsten gehen, im Gegensatz zu binär.

Das bedeutet, dass benachbarte Zellen nur um ein Bit oder eine boolesche Variable variieren. Das ist es, was wir brauchen, um die Ausgänge einer Logikfunktion zu organisieren, damit wir Gemeinsamkeiten sehen können.

Darüber hinaus müssen die Spalten- und Zeilenüberschriften in der Gray-Code-Reihenfolge sein, sonst funktioniert die Karte nicht als Karnaugh-Karte. Zellen mit gemeinsamen booleschen Variablen würden nicht mehr benachbart sein und auch keine visuellen Muster zeigen.

Benachbarte Zellen variieren nur um ein Bit, da eine Gray-Code-Sequenz nur um ein Bit variiert.

Gray-Code generieren

Wenn wir unsere eigenen Karnaugh-Karten skizzieren, müssen wir Gray-Code für jede beliebige Kartengröße generieren, die wir verwenden können. So generieren wir Gray-Code beliebiger Größe.

Beachten Sie, dass die Gray-Code-Sequenz oben rechts nur um ein Bit variiert, wenn wir in der Liste nach unten gehen, oder nach unten, um die Liste aufzufüllen. Diese Eigenschaft des Gray-Codes ist oft für digitale Elektronik im Allgemeinen nützlich. Dies gilt insbesondere für Karnaugh-Karten.

Beispiele für die Vereinfachung mit Karnaugh Maps

Lassen Sie uns zu einigen Beispielen für die Vereinfachung mit Karnaugh-Maps mit 3 Variablen übergehen. Wir zeigen, wie man die Produktterme der nicht vereinfachten Logik auf die K-Map abbildet.

Wir veranschaulichen, wie man Gruppen benachbarter Zellen identifiziert, was zu einer Sum-of-Products-Vereinfachung der digitalen Logik führt.

Über uns platzieren Sie die Einsen in der K-Map für jeden der Produktterme, identifizieren Sie eine Gruppe von zwei und schreiben Sie dann einen p-Term (Produktterm) für die Sohlengruppe als unser vereinfachtes Ergebnis.

Die Abbildung der vier obigen Produktterme ergibt eine Vierergruppe, die von Boolean A’ . abgedeckt wird

Die Abbildung der vier p-Terme ergibt eine Vierergruppe, die von einer Variablen C . abgedeckt wird .

Nachdem Sie die sechs obigen p-Terme zugeordnet haben, identifizieren Sie die obere Vierergruppe, nehmen Sie die unteren beiden Zellen als Vierergruppe auf, indem Sie die beiden mit zwei weiteren aus der anderen Gruppe teilen. Wenn Sie diese beiden mit einer Vierergruppe abdecken, erhalten Sie ein einfacheres Ergebnis.

Da es zwei Gruppen gibt, gibt es zwei p-Terme im Produktsummenergebnis A’+B

Die beiden obigen Produktbegriffe bilden eine Zweiergruppe und vereinfachen sich zu BC

Die Abbildung der vier p-Terme ergibt eine einzelne Vierergruppe, die B ist

Die Abbildung der vier obigen p-Terme ergibt eine Gruppe von vier. Stellen Sie sich die Vierergruppe vor, indem Sie die Enden der Karte zu einem Zylinder zusammenrollen, dann grenzen die Zellen aneinander. Normalerweise markieren wir die Vierergruppe wie oben links.

Von den Variablen A, B, C gibt es eine gemeinsame Variable:C’. C’ ist eine 0 insgesamt vier Zellen. Das Endergebnis ist C’

.

Die sechs obigen Zellen aus der nicht vereinfachten Gleichung können in zwei Vierergruppen organisiert werden. Diese beiden Gruppen sollten uns zwei p-Terme in unserem vereinfachten Ergebnis von A’ + C’ give geben .

Vereinfachen von Booleschen Gleichungen mit Karnaugh Maps

Im Folgenden gehen wir noch einmal auf die Verbrennungsanlage für giftige Abfälle aus dem Kapitel der Booleschen Algebra ein. Einzelheiten zu diesem Beispiel finden Sie im Kapitel Boolesche Algebra. Wir werden die Logik mit einer Karnaugh-Map vereinfachen.

Die boolesche Gleichung für die Ausgabe hat vier Produktterme. Ordnen Sie vier Einsen zu, die den p-Termen entsprechen. Wenn wir Zellengruppen bilden, haben wir drei Zweiergruppen. Das vereinfachte Ergebnis enthält drei p-Terme, einen für jede Gruppe. Siehe Konvertieren von Wahrheitstabellen in boolesche Ausdrücke aus Kapitel 7 für ein Gatterdiagramm des Ergebnisses, das unten wiedergegeben wird.

Im Folgenden wiederholen wir zum Vergleich die Vereinfachung der Booleschen Algebra der Verbrennungsanlage für giftige Abfälle.

Im Folgenden wiederholen wir die Karnaugh-Kartenlösung der Verbrennungsanlage für giftige Abfälle zum Vergleich mit der obigen Vereinfachung der Booleschen Algebra. Dieser Fall veranschaulicht, warum die Karnaugh-Map häufig zur Vereinfachung der Logik verwendet wird.

Die Karnaugh-Kartenmethode sieht sicherlich einfacher aus als die vorherigen Seiten der Booleschen Algebra.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Karnaugh-Mapping-Arbeitsblatt