Stehende Wellen und Resonanz in Übertragungsleitungen verstehen

Wenn ein Widerstandsmissmatch zwischen einer Übertragungsleitung und ihrer Last auftritt, entstehen reflektierte Wellen. Für eine kontinuierliche AC-Quelle interferieren die einfallende und die reflektierte Welle zu stationären Mustern, bekannt als stehende Wellen.

Im Diagramm unten wird ein dreiecksförmiges einfallendes Wellenform am unabgeschlossenen Ende der Leitung reflektiert, was eine spiegelbildliche Reflexion erzeugt. Die Übertragungsleitung ist als einzelne dicke Linie gezeichnet für Klarheit.

Die einfallende Welle wandert von links nach rechts, während die reflektierte Welle von rechts nach links wandert, wie in der untenstehenden Abbildung illustriert.

 

Einfallende Welle reflektiert am Ende einer unabgeschlossenen Übertragungsleitung.

 

Addieren wir die beiden Wellenformen, finden wir, dass eine dritte, stationäre Wellenform entlang der Leitungslänge entsteht, wie in der untenstehenden Abbildung gezeigt.

 

Die Summe der einfallenden und reflektierten Wellen ist eine stationäre Welle.

 

Diese stationäre Welle, die „stehende Welle“, repräsentiert die Nettospannung entlang der Leitung. Sie oszilliert in der Amplitude, breitet sich aber nicht entlang des Kabels aus wie die einfallende oder reflektierte Welle.

Beachten Sie die Punkte, die die „Null“-Punkte der stehenden Welle markieren – wo sich einfallende und reflektierte Welle gegenseitig aufheben. Diese Punkte bewegen sich nie, wie unten illustriert.

 

Die stehende Welle breitet sich nicht entlang der Übertragungsleitung aus.

 

Fälle, in denen eine stehende Welle erzeugt wird

Stehende Wellen erscheinen in vielen physikalischen Systemen. Beispielsweise erzeugt eine Saite oder ein Seil, das an einem Ende geschüttelt wird, während das andere Ende fixiert ist, ein stehendes Wellenmuster mit Knoten (Punkten minimaler Bewegung) und Antiknoten (Punkten maximaler Bewegung), die entlang der Saite fix bleiben. Der Effekt ist am stärksten, wenn die Antriebsfrequenz einer der natürlichen Frequenzen der Saite entspricht.

Gezupfte Saiten zeigen ähnliches Stehende-Wellen-Verhalten, aber der Zupf liefert die eigene Resonanzfrequenz der Saite, was maximale konstruktive Interferenz sicherstellt.

Wind, der über ein offenes Rohrende bläst, erzeugt ebenfalls stehende Schallwellen. Ob ein Knoten oder Antiknoten am Rohrende erscheint, hängt davon ab, ob das Ende offen (Antiknoten) oder geschlossen (Knoten) ist.

In all diesen Systemen wird das Stehende-Wellen-Muster durch die Randbedingungen an den Enden bestimmt.

Fortschreiten der Harmonischen der Resonanzfrequenzen

Für jedes Stehende-Wellen-System existieren mehrere Resonanzfrequenzen – jede entsprechend einem ganzzahligen Vielfachen der Fundamentalfrequenz (niedrigsten Frequenz). Diese höheren Frequenzen werden Harmonische oder Obertöne genannt.

In einem offenendigen Rohr tritt die erste Harmonische auf, wenn ein Viertel einer Wellenlänge in die Rohrlänge passt; die nächsten Harmonischen bei einem Halb, drei Vierteln usw. Die genauen Frequenzen hängen von der physischen Rohrlänge und der Schallgeschwindigkeit im Medium ab.

Harmonische (Obertöne) in offenendigen Rohren

Simulation von Übertragungsleitungs-Resonanz mit SPICE

Übertragungsleitungen unterstützen stehende Wellen, und diese Wellen werden durch den Abschlusswiderstand begrenzt. Wenn die Terminierung nicht dem charakteristischen Widerstand der Leitung entspricht, tritt Resonanz bei Frequenzen auf, die durch die Leitungslänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals bestimmt werden.

Zur Veranschaulichung betrachten wir ein perfekt angepasstes System: eine Quelle, eine 75-Ω-Übertragungsleitung und eine 75-Ω-Last. Das untenstehende SPICE-Netlist modelliert dieses Szenario.

 Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 75 .ac lin 101 1m 1meg * Using “Nutmeg” program to plot analysis .end 

In diesem Modell hat die Leitung einen charakteristischen Widerstand von 75 Ω und eine Ausbreitungsverzögerung von 1 µs, was einer physischen Länge von etwa 648 ft für ein Koaxialkabel mit Geschwindigkeitsfaktor 0,66 entspricht.

Die Simulation und das Plotten der Quellspannung, der Leitungsanfangsspannung und der Lastspannung zeigt, dass die Quellspannung bei 1 V bleibt, während die anderen Knoten bei 0,5 V verharren. Keine Resonanzen erscheinen, da die Leitung perfekt angepasst ist.

Keine Resonanzen auf einer angepassten Übertragungsleitung.

Wenn die Last auf einen offenen Kreis geändert wird (≈999 MΩ), sind Reflexionen unvermeidlich, und resonante Peaks erscheinen im Frequenzsweep von 1 mHz bis 1 MHz.

 Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 999meg .ac lin 101 1m 1meg * Using “Nutmeg” program to plot analysis .end 

Offenendige Übertragungsleitung.

Die Analyse offenbart fünf Schlüssel-Frequenzen: 0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz und 1 MHz. An jedem dieser Punkte ändern sich die Spannungs- und Stromverteilung entlang der Leitung vorhersehbar, reflektierend das Stehende-Wellen-Muster.

Beispielsweise bei 250 kHz entspricht die Leitungslänge einem Viertel der Wellenlänge. Das Lastende wird zum Spannungs-Antiknoten (maximale Spannung) und Strom-Knoten (null Strom). Folglich sieht die Quelle einen offenen Kreis, obwohl die Last physisch offen ist.

Bei 250 kHz: Quelle sieht einen offenen Kreis.

Bei 500 kHz beherbergt die Leitung ein Halbwellen-Stehendes-Muster, wobei das Quellenende wieder als Spannungs-Antiknoten und Strom-Knoten fungiert.

Halbwellen-Stehende Welle auf der Leitung.

Wenn die Last kurzgeschlossen ist (≈1 µΩ), tauschen Spannungs- und Stromknoten die Rollen: das kurzgeschlossene Ende wird zum Spannungs-Knoten und Strom-Antiknoten.

 Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 1u .ac lin 101 1m 1meg * Using “Nutmeg” program to plot analysis .end 

Kurzgeschlossene Übertragungsleitung.

Selbst bei teilweiser Anpassung – sagen wir 100 Ω an einer 75-Ω-Leitung – bestehen stehende Wellen fort, aber die Amplitude der Peaks und Täler ist reduziert. Das Stehende-Wellen-Verhältnis (SWR) für diesen Missmatch beträgt 1,333, berechnet als Verhältnis des größeren zum kleineren Widerstands.

Schwache Resonanzen auf einer missmatchten Übertragungsleitung.

In all diesen Beispielen beträgt die reflektierte Welle 100 % der einfallenden Welle am Leitungsende, aber die Spannungs- und Stromamplituden variieren entlang der Leitung in Abhängigkeit von der Frequenz.

Stehende-Wellen-Verhältnis (SWR)

SWR quantifiziert die Schwere stehender Wellen. Es ist definiert als das Verhältnis der maximalen Amplitude (Antiknoten) zur minimalen Amplitude (Knoten) von Spannung oder Strom entlang der Leitung.

Für eine offene oder kurzgeschlossene Leitung ist SWR unendlich, da die minimale Amplitude null ist. Für eine perfekt angepasste Leitung ist SWR 1, da Spannung und Strom entlang der Leitung einheitlich sind.

Hohe SWR-Werte deuten nicht nur auf ineffiziente Leistungsübertragung hin, sondern können auch die Leitungsisolierung und Leiter belasten, potenziell zu Durchschlag oder Überhitzung führen. Umgekehrt arbeiten Antennen absichtlich bei hohem SWR, um Strahlung zu maximieren.

Praktische Implikationen

In HF-Systemen streben Ingenieure nach niedrigem SWR, um maximale Leistungslieferung zu gewährleisten und unbeabsichtigte Strahlung zu minimieren. Bestimmte Anwendungen – wie Impedanzanpassungstransformatoren oder bestimmte Antennendesigns – nutzen jedoch stehende Wellen, um gewünschte Leistung zu erzielen.

Zusammenfassung

• Stehende Wellen sind stationäre Spannungs- und Strommuster, gebildet durch Interferenz von einfallenden und reflektierten Wellen auf einer Übertragungsleitung.
• Ein Knoten ist ein Punkt minimaler Amplitude; ein Antiknoten ein Punkt maximaler Amplitude.
• Stehende Wellen entstehen nur, wenn der Abschlusswiderstand der Leitung nicht ihrem charakteristischen Widerstand entspricht.
• Resonanz tritt auf, wenn die Leitungslänge einem Viertelwellenlänge oder ganzzahligen Vielfachen entspricht.
• Harmonische sind ganzzahlige Vielfache der fundamentalen Resonanzfrequenz.
• Das Stehende-Wellen-Verhältnis (SWR) ist das Verhältnis von Maximal- zu Minimalamplitude; es entspricht dem größeren von Zlast oder Z0 geteilt durch den kleineren. Eine angepasste Leitung hat SWR = 1.
• Übermäßige Stehende-Wellen-Amplituden können Übertragungsleitungen durch Überspannung der Isolierung oder Überhitzung der Leiter beschädigen.