Impedanztransformation mit Übertragungsleitungen: Anpassungstechniken mittels stehender Wellen

Bei der Resonanzfrequenz einer Übertragungsleitung entstehen stehende Wellen, die den von der Quelle wahrgenommenen Widerstand drastisch verändern können. Wenn die Leitungslänge ein ganzzahliges Vielfaches einer halben Wellenlänge beträgt (λ/2, λ, 3λ/2, …), „sieht“ die Quelle den Abschlusswiderstand unverändert.

Die Abbildungen unten zeigen eine offen geschlossene Leitung, die bei λ/2 und λ Frequenzen betrieben wird:

 

Quelle sieht offen, identisch zur Last am Ende einer λ/2 Leitung.

 

Quelle sieht offen, identisch zur Last am Ende einer Vollwelle (2×λ/2) Leitung.

 

In beiden Fällen zeigt die Leitung Spannungs-Antiknoten und Strom-Knoten an ihren Enden – das Kennzeichen eines offenen Kreises. Diese Symmetrie stellt sicher, dass die Leitung ihren Abschlusswiderstand am Quellenende treu wiedergibt.

Dasselbe Prinzip gilt für eine kurzgeschlossene Leitung. Bei Frequenzen, wo die Leitungslänge ein Halbwellen-Vielfaches ist, „sieht“ die Quelle einen Kurzschluss, mit minimaler Spannung und maximalem Strom an der Quelle-Leitungs-Verbindung.

 

Quelle sieht kurz, identisch zur Last am Ende einer λ/2 Leitung.

 

Quelle sieht kurz, identisch zur Last am Ende einer Vollwellen-Leitung.

 

Wenn die Leitung jedoch bei einer Viertelwellenlänge (λ/4) oder einem ungeraden Vielfachen davon resoniert, „sieht“ die Quelle den entgegengesetzten Widerstand der Terminierung.

Beispielsweise verhält sich eine offen geschlossene Leitung an ihrem Quellenende wie ein Kurzschluss, wenn ihre Länge λ/4 oder 3λ/4 beträgt. Umgekehrt erscheint eine kurzgeschlossene Leitung bei λ/4 oder 3λ/4 als offen.

Offen geschlossene Leitung – Quelle sieht kurz:

 

Quelle sieht kurz, reflektiert von der offenen Last bei λ/4.

 

Quelle sieht kurz, reflektiert von der offenen Last bei 3λ/4.

 

Kurzgeschlossene Leitung – Quelle sieht offen:

 

Quelle sieht offen, reflektiert von der kurzen Last bei λ/4.

 

Quelle sieht offen, reflektiert von der kurzen Last bei 3λ/4.

 

An diesen Resonanzpunkten fungiert die Leitung als Impedanztransformator, der einen unendlichen Widerstand in null oder umgekehrt umwandelt. Obwohl dieser Effekt nur bei spezifischen Frequenzen auftritt, kann er ausgenutzt werden, um ansonsten inkompatible Widerstände anzupassen, wenn die Betriebsfrequenz festgelegt ist.

Betrachten Sie eine 75-Ω-Quelle, die eine 100-Ω-Last über eine 75-Ω-Übertragungsleitung speist. Mit SPICE beträgt der von der Quelle gesehene Widerstand bei verschiedenen Resonanzlängen:

 

Quelle sieht 56,25 Ω bei λ/4.

 

Quelle sieht 100 Ω bei λ/2.

 

Quelle sieht 56,25 Ω bei 3λ/4 (identisch zu λ/4).

 

Quelle sieht 100 Ω bei voller Wellenlänge (identisch zu λ/2).

 

Beziehung zwischen Leitungs-, Last- und Eingangs-Widerstand

Für eine unangepasste Leitung, die an einer ungeraden Harmonischen ihrer Fundamentalfrequenz arbeitet, ist der Eingangs-Widerstand gegeben durch:

 

 

Dieser einfache Ausdruck ist die Grundlage vieler praktischer Anpassungsnetzwerke.

Beispiel: Anpassung einer 300-Ω-Last an eine 75-Ω-Quelle bei 50 MHz. Zuerst berechnen wir den erforderlichen charakteristischen Widerstand:

Z₀ = √(Z_S × Z_L) = √(75 × 300) = 150 Ω.

Mit einem Geschwindigkeitsfaktor von 0,85 (v ≈ 158.100 Meilen/s) beträgt die 50-MHz-Wellenlänge 16,695 ft. Ein Viertelwellenabschnitt ist daher 4,174 ft lang.

Das SPICE-Modell lautet:

 Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=150 td=5n rload 3 0 300 .ac lin 1 50meg 50meg .print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3) .end 

Simulationsergebnisse bei 50 MHz:

 freq v(1,2) v(1) v(2) v(3) 5.000E+07 5.000E-01 1.000E+00 5.000E-01 1.000E+00 

Die Quellspannung teilt sich gleichmäßig zwischen ihrem 75-Ω-internen Widerstand und dem Leitungs-Eingang auf, sodass die Last für die Quelle als 75 Ω erscheint. Die volle 1 V erscheint an der 300-Ω-Last und liefert die maximale Leistungsübertragung, wie vom Satz vorhergesagt.

Da diese Anpassung frequenzspezifisch ist, muss der Viertelwellen-Abschnitt für jede Betriebsfrequenz abgestimmt werden. Derselbe 150-Ω-Abschnitt kann auch eine 75-Ω-Last an eine 300-Ω-Quelle anpassen, was die Reziprozität der Impedanztransformation illustriert.

Impedanzanpassung mit einem Viertelwellen-Transformer ist eine Standardtechnik in HF-Sendern, wo die Trägerfrequenz bekannt und stabil ist. Die Kürze eines λ/4-Abschnitts bietet die kürzestmögliche Leiterlänge.

150 Ω Viertelwellen-Leitung passt eine 75 Ω Übertragungsleitung an eine 300 Ω Antenne an.

 

Kernaussagen

• Eine Übertragungsleitung mit stehenden Wellen kann disparate Widerstände anpassen, wenn sie bei der korrekten Frequenz betrieben wird.
• Bei einer λ/4 stehenden Welle beträgt der erforderliche charakteristische Widerstand √(Z_S × Z_L).