Reihen-Parallel-RC-und-RL-Kreise mit komplexer Impedanz analysieren

Da wir nun gesehen haben, wie die Analyse von Reihen- und Parallel-AC-Kreisen nicht grundlegend anders ist als die DC-Kreisanalyse, sollte es keine Überraschung sein, dass die Reihen-Parallel-Analyse ebenfalls gleich ist – nur mit komplexen Zahlen anstelle von Skalaren, um Spannung, Strom und Impedanz darzustellen. Nehmen Sie diesen Reihen-Parallel-Kreis als Beispiel:

Beispiel Reihen-Parallel R, L und C Kreis.

Der erste Schritt, wie üblich, besteht darin, Impedanzwerte (Z) für alle Komponenten basierend auf der Frequenz der AC-Stromquelle zu bestimmen. Dazu müssen wir zunächst Blindwiderstandswerte (X) für alle Spulen und Kondensatoren ermitteln, dann Blindwiderstand (X) und Widerstand (R) Werte in die richtige Impedanzform (Z) umwandeln:

Nun können wir die Anfangswerte in unserer Tabelle einrichten:

Da es sich um einen Reihen-Parallel-Kombinations-Kreis handelt, müssen wir ihn in mehr als einem Schritt auf eine Gesamtimpedanz reduzieren. Der erste Schritt ist, L und C₂ als Reihenkombination von Impedanzen zu kombinieren, indem wir ihre Impedanzen addieren.

Dann wird diese Impedanz parallel mit der Impedanz des Widerstands kombiniert, um eine weitere Impedanzkombination zu erhalten. Schließlich wird diese Größe zur Impedanz von C₁ addiert, um die Gesamtimpedanz zu erhalten.

Damit unsere Tabelle all diese Schritte verfolgen kann, müssen zusätzliche Spalten hinzugefügt werden, damit jeder Schritt dargestellt werden kann.

Das Hinzufügen weiterer Spalten horizontal zur oben gezeigten Tabelle wäre aus Formatierungsgründen unpraktisch, daher platziere ich eine neue Reihe von Spalten darunter, jede Spalte bezeichnet durch ihre jeweilige Komponentenkombination:

Die Berechnung dieser neuen (Kombinations-)Impedanzen erfordert komplexe Addition für Reihenkombinationen und die „Kehrwert“-Formel für komplexe Impedanzen in Parallel. Diesmal gibt es keine Vermeidung der Kehrwertformel: die erforderlichen Zahlen können auf keine andere Weise ermittelt werden!

Da unsere zweite Tabelle eine Spalte für „Gesamt“ enthält, können wir diese Spalte aus der ersten Tabelle sicher entfernen. Dies gibt uns eine Tabelle mit vier Spalten und eine andere mit drei Spalten.

Nun, da wir die Gesamtimpedanz (818,34 Ω ∠ -58,371°) und die Gesamtspannung (120 Volt ∠ 0°) kennen, können wir das Ohmsche Gesetz (I=E/Z) vertikal in der „Gesamt“-Spalte anwenden, um einen Wert für den Gesamtstrom zu erhalten:

An diesem Punkt fragen wir uns: Gibt es Komponenten oder Komponentenkombinationen, die entweder die Gesamtspannung oder den Gesamtstrom teilen? In diesem Fall teilen sowohl C₁ als auch die Parallelkombination R//(L–C₂) denselben (Gesamt-)Strom, da die Gesamtimpedanz aus den beiden Impedanzsätzen in Reihe besteht.

Daher können wir den Wert für den Gesamtstrom in beide Spalten übertragen:

Nun können wir die Spannungsabfälle über C₁ und die Reihen-Parallel-Kombination R//(L–C₂) mit dem Ohmschen Gesetz (E=IZ) vertikal in diesen Tabellenspalten berechnen:

Eine schnelle Überprüfung unserer Arbeit an dieser Stelle wäre zu prüfen, ob die Spannungsabfälle über C₁ und die Reihen-Parallel-Kombination R//(L–C₂) tatsächlich zur Gesamtsumme addieren. Laut Kirchhoffschem Spannungsgesetz sollten sie das!

Dieser letzte Schritt war nur eine Vorsichtsmaßnahme. Bei einem Problem mit so vielen Schritten gibt es viel Gelegenheit für Fehler. Gelegentliche Kreuzkontrollen wie diese können eine Menge Arbeit und unnötige Frustration sparen, indem sie Probleme vor dem endgültigen Schritt identifizieren.

Nachdem wir die Spannungsabfälle über C₁ und die Kombination R//(L–C₂) gelöst haben, fragen wir uns erneut: Welche anderen Komponenten teilen dieselbe Spannung oder denselben Strom?

In diesem Fall teilen der Widerstand (R) und die Kombination aus Spule und zweitem Kondensator (L–C₂) dieselbe Spannung, da diese Impedanzsätze parallel zueinander sind. Daher können wir den gerade gelösten Spannungswert in die Spalten für R und L–C₂ übertragen:

Nun sind wir bereit, den Strom durch den Widerstand und durch die Reihenkombination L–C₂ zu berechnen. Alles, was wir tun müssen, ist das Ohmsche Gesetz (I=E/Z) vertikal in beiden Spalten anzuwenden:

Eine weitere schnelle Überprüfung: Ob die Stromwerte für L–C₂ und R zum Gesamtstrom addieren. Laut Kirchhoffschem Stromgesetz sollten sie das:

Da L und C₂ in Reihe geschaltet sind und wir den Strom durch ihre Reihenkombinationsimpedanz kennen, können wir diesen Stromwert auf die L- und C₂-Spalten verteilen, gemäß der Regel von Reihenschaltungen, wonach Reihenelemente denselben Strom teilen:

Mit einem letzten Schritt (eigentlich zwei Berechnungen) können wir unsere Analysetabelle für diesen Kreis vervollständigen. Mit Impedanz- und Stromwerten für L und C₂ müssen wir nur noch das Ohmsche Gesetz (E=IZ) vertikal in diesen beiden Spalten anwenden, um Spannungsabfälle zu berechnen.

Nun wenden wir uns SPICE zur computergestützten Verifikation unserer Arbeit zu:

Beispiel Reihen-Parallel R, L, C SPICE-Schaltung.

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01
freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02
freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02
freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

Jede Zeile der SPICE-Ausgabe listet Spannung, Spannungsphasenwinkel, Strom und Stromphasenwinkel für C₁, L, C₂ und R in dieser Reihenfolge auf. Wie Sie sehen, stimmen diese Zahlen mit unseren handberechneten Werten in der Kreisanalysetabelle überein.

So einschüchternd die Reihen-Parallel-AC-Kreisanalyse auch erscheinen mag, muss betont werden, dass hier nichts wirklich Neues passiert, außer der Verwendung komplexer Zahlen. Das Ohmsche Gesetz (in seiner neuen Form E=IZ) gilt weiterhin, ebenso wie die Spannungs- und Stromgesetze von Kirchhoff.

Obwohl die komplexen Zahlenberechnungen mehr Potenzial für menschliche Fehler bergen, sind die grundlegenden Prinzipien und Techniken der Reihen-Parallel-Kreisreduktion genau dieselben.

ZUSAMMENFASSUNG:

• Analyse von Reihen-Parallel-AC-Kreisen ist im Wesentlichen dieselbe wie bei Reihen-Parallel-DC-Kreisen. Der einzige wesentliche Unterschied ist, dass alle Werte und Berechnungen in komplexer (nicht skalarer) Form vorliegen.
• Es ist wichtig, sich zu erinnern, dass bevor die Reihen-Parallel-Reduktion (Vereinfachung) beginnen kann, Sie die Impedanz (Z) jedes Widerstands, jeder Spule und jedes Kondensators bestimmen müssen. Damit werden alle Bauteilwerte in gemeinsame Begriffe (Z) ausgedrückt, anstatt in einer inkompatiblen Mischung aus Widerstand (R), Induktivität (L) und Kapazität (C).

VERWANDTES ARBEITSBLATT:

• Reihen-Parallel-Kombinations-AC-Kreise Arbeitsblatt