Lösen simultaner Gleichungen:Die Substitutionsmethode und die Additionsmethode

Was sind simultane Gleichungen und Gleichungssysteme?

Die Begriffe gleichzeitige Gleichungen und Gleichungssysteme beziehen sich auf Bedingungen, bei denen zwei oder mehr unbekannte Variablen durch eine gleiche Anzahl von Gleichungen miteinander in Beziehung stehen.

Beispiel:

Für diesen Gleichungssatz gibt es nur eine einzige Kombination von Werten für x und y das wird beide zufriedenstellen.

Beide Gleichungen haben, getrennt betrachtet, eine Unendlichkeit von gültigem (x,y) Lösungen, aber gemeinsam Es gibt nur eins. In einem Graphen aufgetragen, wird diese Bedingung offensichtlich:

Jede Linie ist eigentlich ein Kontinuum von Punkten, die mögliche x . darstellen und y Lösungspaare für jede Gleichung.

Jede Gleichung hat separat eine unendliche Anzahl von geordneten Paaren (x ,y ) Lösungen. Es gibt nur einen Punkt, an dem die beiden linearen Funktionen x + y =24 und 2x - y =-6 schneiden (wo eine ihrer vielen unabhängigen Lösungen zufällig für beide Gleichungen funktioniert), und dort ist x ist gleich einem Wert von 6 und y entspricht einem Wert von 18.

Normalerweise ist die grafische Darstellung jedoch kein sehr effizienter Weg, um die simultane Lösungsmenge für zwei oder mehr Gleichungen zu bestimmen. Es ist besonders unpraktisch für Systeme mit drei oder mehr Variablen.

In einem Drei-Variablen-System beispielsweise würde die Lösung durch den Punktschnitt von drei Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatenraum gefunden – kein leicht zu visualisierendes Szenario.

Lösen simultaner Gleichungen mit der Substitutionsmethode

Es gibt mehrere algebraische Techniken, um simultane Gleichungen zu lösen.

Am einfachsten zu verstehen ist vielleicht die Ersetzung Methode.

Nehmen wir zum Beispiel unser Zwei-Variablen-Beispielproblem:

Bei der Substitutionsmethode manipulieren wir eine der Gleichungen so, dass eine Variable durch die andere definiert wird:

Dann nehmen wir diese neue Definition einer Variablen und Ersatz es für dieselbe Variable in der anderen Gleichung.

In diesem Fall nehmen wir die Definition von y , das ist 24 - x und ersetzen Sie dies durch das y Term in der anderen Gleichung gefunden:

Da wir nun eine Gleichung mit nur einer einzigen Variablen haben (x ), können wir es mit „normalen“ algebraischen Techniken lösen:

Jetzt, wo x bekannt ist, können wir diesen Wert in jede der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und einen Wert für y erhalten.

Oder, um uns etwas Arbeit zu ersparen, können wir diesen Wert (6) in die Gleichung einsetzen, die wir gerade erzeugt haben, um y . zu definieren in Bezug auf x , da es bereits in einer Form zum Auflösen nach y . vorliegt :

Die Anwendung der Substitutionsmethode auf Systeme mit drei oder mehr Variablen beinhaltet ein ähnliches Muster, nur mit mehr Aufwand.

Dies gilt im Allgemeinen für jede Lösungsmethode:Die Anzahl der Schritte, die zum Erhalten von Lösungen erforderlich sind, nimmt mit jeder zusätzlichen Variablen im System schnell zu.

Um nach drei unbekannten Variablen aufzulösen, benötigen wir mindestens drei Gleichungen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Da die erste Gleichung die einfachsten Koeffizienten hat (1, -1 und 1, für x , y , und z ), erscheint es logisch, damit eine Definition einer Variablen in Bezug auf die anderen beiden zu entwickeln.

Auflösen nach x in Bezug auf y und z :

Jetzt können wir diese Definition von x . ersetzen wo x erscheint in den anderen beiden Gleichungen:

Reduzieren dieser beiden Gleichungen auf ihre einfachsten Formen:

Bisher haben unsere Bemühungen das System von drei Variablen in drei Gleichungen auf zwei Variablen in zwei Gleichungen reduziert.

Jetzt können wir die Substitutionstechnik wieder auf die beiden Gleichungen anwenden 4y - z =4 und -3y + 4z =36 nach entweder y . auflösen oder z . Zuerst manipuliere ich die erste Gleichung, um z . zu definieren in Bezug auf y :

Als nächstes ersetzen wir diese Definition von z in Bezug auf y wo wir z sehen in der anderen Gleichung:

Jetzt, wo y ein bekannter Wert ist, können wir ihn in die Gleichung einsetzen, die z . definiert in Bezug auf y und erhalte eine Zahl für z :

Jetzt mit Werten für y und z bekannt, können wir diese in die Gleichung einsetzen, in der wir x . definiert haben in Bezug auf y und z , um einen Wert für x . zu erhalten :

Abschließend haben wir Werte für x . gefunden , y , und z von 2, 4 bzw. 12, die alle drei Gleichungen erfüllen.

Lösen simultaner Gleichungen mit der Additionsmethode

Während die Substitutionsmethode auf konzeptioneller Ebene am einfachsten zu verstehen ist, stehen uns andere Lösungsmethoden zur Verfügung.

Eine solche Methode ist die sogenannte Addition Methode, bei der Gleichungen miteinander addiert werden, um variable Terme aufzuheben.

Nehmen wir unser Zwei-Variablen-System, das verwendet wird, um die Substitutionsmethode zu demonstrieren:

Eine der am häufigsten verwendeten Regeln der Algebra ist, dass Sie jede beliebige arithmetische Operation an einer Gleichung durchführen können, solange Sie sie gleich auf beiden Seiten ausführen .

In Bezug auf die Addition bedeutet dies, dass wir jede beliebige Größe auf beiden Seiten einer Gleichung hinzufügen können – solange sie gleich ist Menge – ohne die Wahrheit der Gleichung zu ändern.

Eine Möglichkeit besteht dann darin, die entsprechenden Seiten der Gleichungen zu addieren, um eine neue Gleichung zu bilden.

Da jede Gleichung ein Ausdruck der Gleichheit ist (die gleiche Menge auf beiden Seiten des = Vorzeichen), ist das Hinzufügen der linken Seite einer Gleichung zur linken Seite der anderen Gleichung gültig, solange wir auch die rechten Seiten der beiden Gleichungen addieren.

In unserem Beispielgleichungssatz können wir zum Beispiel x + y . hinzufügen bis 2x - y , und füge 24 . hinzu und -6 auch zusammen, um eine neue Gleichung zu bilden.

Welchen Nutzen hat das für uns? Untersuchen Sie, was passiert, wenn wir dies mit unserem Beispielgleichungssatz tun:

Weil die oberste Gleichung zufällig ein positives y . enthielt Term, während die untere Gleichung zufällig ein negatives y . enthielt Begriff, diese beiden Begriffe haben sich bei der Addition aufgehoben, sodass kein y . übrig bleibt Begriff in der Summe.

Was uns bleibt, ist eine neue Gleichung, aber eine mit nur einer einzigen unbekannten Variablen, x ! Dies ermöglicht es uns, leicht nach dem Wert von x . aufzulösen :

Sobald wir einen bekannten Wert für x . haben , bestimmt y 's Wert ist einfach eine Frage der Ersetzung (ersetzt x mit der Zahl 6 ) in eine der ursprünglichen Gleichungen.

In diesem Beispiel hat die Technik des Addierens der Gleichungen gut funktioniert, um eine Gleichung mit einer einzigen unbekannten Variablen zu erstellen.

Wie wäre es mit einem Beispiel, bei dem die Dinge nicht so einfach sind? Betrachten Sie den folgenden Gleichungssatz:

Wir könnten diese beiden Gleichungen addieren – dies ist eine vollständig gültige algebraische Operation – aber es würde uns nicht nützen, Werte für x . zu erhalten und y :

Die resultierende Gleichung enthält immer noch zwei unbekannte Variablen, genau wie die ursprünglichen Gleichungen, und daher sind wir bei der Suche nach einer Lösung nicht weiter.

Was wäre jedoch, wenn wir eine der Gleichungen so manipulieren könnten, dass ein negativer Term entsteht, der den entsprechenden Term in der anderen Gleichung streichen, wenn er hinzugefügt wird?

Dann würde das System auf eine einzige Gleichung mit einer einzigen unbekannten Variablen reduziert, genau wie beim letzten (zufälligen) Beispiel.

Wenn wir nur das y drehen könnten Term in der unteren Gleichung in ein - 2y Term, so dass bei der Addition der beiden Gleichungen beide y Terme in den Gleichungen würden sich aufheben und uns nur ein x . hinterlassen Begriff würde uns dies einer Lösung näher bringen.

Glücklicherweise ist dies nicht schwer. Wenn wir multiplizieren jeder einzelne Term der unteren Gleichung um a -2 , es wird das gesuchte Ergebnis erzeugen:

Jetzt können wir diese neue Gleichung zur ursprünglichen, oberen Gleichung hinzufügen:

Auflösen nach x , erhalten wir einen Wert von 3 :

Ersetzen dieses neu gefundenen Werts für x in eine der ursprünglichen Gleichungen den Wert von y ist leicht zu bestimmen:

Die Anwendung dieser Lösungstechnik auf einem Drei-Variablen-System ist etwas komplexer.

Wie bei der Substitution müssen Sie diese Technik verwenden, um das Drei-Gleichungssystem von drei Variablen auf zwei Gleichungen mit zwei Variablen zu reduzieren, und sie dann erneut anwenden, um eine einzelne Gleichung mit einer unbekannten Variablen zu erhalten.

Zur Veranschaulichung verwende ich das Drei-Variablen-Gleichungssystem aus dem Substitutionsabschnitt:

Da die oberste Gleichung Koeffizientenwerte von 1 . hat Für jede Variable ist es eine einfach zu manipulierende Gleichung und kann als Löschungswerkzeug verwendet werden.

Wenn wir zum Beispiel die 3x . stornieren möchten Term aus der mittleren Gleichung, alles was wir tun müssen, ist die obere Gleichung zu nehmen und jeden ihrer Terme mit -3 . zu multiplizieren , dann füge es wie folgt zur mittleren Gleichung hinzu:

Wir können die untere Gleichung von ihrem -5x befreien Term auf die gleiche Weise:Nehmen Sie die ursprüngliche obere Gleichung, multiplizieren Sie jeden ihrer Terme mit 5 , dann füge diese modifizierte Gleichung zur unteren Gleichung hinzu und belasse eine neue Gleichung mit nur y und z Begriffe:

An diesem Punkt haben wir zwei Gleichungen mit denselben zwei unbekannten Variablen, y und z :

Bei einer Inspektion sollte klar sein, dass das -z Term der oberen Gleichung könnte genutzt werden, um die 4z . aufzuheben Term in der unteren Gleichung, wenn wir nur jeden Term der oberen Gleichung mit 4 . multiplizieren und addiere die beiden Gleichungen zusammen:

Nimm die neue Gleichung 13y =52 und auflösen nach y (indem beide Seiten durch 13 geteilt werden ), erhalten wir einen Wert von 4 für y .

Ersetzen dieses Wertes von 4 für y in einer der Gleichungen mit zwei Variablen ermöglicht es uns, nach z . aufzulösen .

Ersetzen beider Werte von y und z in eine der ursprünglichen Gleichungen mit drei Variablen lässt sich nach x . auflösen .

Das Endergebnis (ich erspare Ihnen die algebraischen Schritte, da Sie sie jetzt kennen sollten!) ist x =2 , y =4 , und z =12 .

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt Simultangleichungen für die Schaltungsanalyse