Steuerung von Modus und Dispersion in Graphen-Dielektrikum-Plasmonischen Wellenleitern durch Duale Nichtlinearität

Zusammenfassung

Wir untersuchen die Modus- und Dispersionseigenschaften eines graphen-dielektrischen nichtlinearen plasmonischen Wellenleiters unter Berücksichtigung der dualen Nichtlinearität von Dielektrikum und Graphen. Für TM-Polarisation wurden die Modusverteilung, die Permittivitätsverteilung und die Dispersionsrelation durch numerisches Lösen der Maxwell-Gleichungen ermittelt. Im Vergleich zum Fall, der nur die Nichtlinearität des Dielektrikums berücksichtigt, verringert sich die initiale Feldintensität zur Anregung von Plasmonenmodi deutlich, wenn die duale Nichtlinearität eingeführt wird. Zudem wird der Einfluss der dualen Nichtlinearität auf die Dispersionsrelation diskutiert; wir finden, dass die Nichtlinearität des Graphens die Dispersionseigenschaften stark beeinflusst. Die Einführung der dualen Nichtlinearität führt zu einer Verringerung der initialen Feldintensität, was potenzielle Anwendungen in all-optischen Schaltern mit niedriger Schaltschwelle ermöglicht.

Hintergrund

Graphen-Plasmonik hat aufgrund der einzigartigen elektronischen und optischen Eigenschaften von Graphen im Vergleich zu Metallen breite Aufmerksamkeit erregt. Im THz- und Ferninfrarot-Bereich dominiert der Intraband-Übergang der Elektronen, und Graphen verhält sich metallartig. Daher können Oberflächenplasmonen-Polaritonen (SPPs) durch Graphen unterstützt werden. Für die Graphen-Dielektrikum-Mehrschichtstruktur wurden die Anregung, Kopplung und Ausbreitung von SPPs untersucht. Ein quasi-transversaler elektromagnetischer Modus wurde in einem Graphen-Plattenwellenleiter gefunden. Die Kopplung von SPPs wurde in einer Graphen-Dielektrikum-Mehrschichtstruktur untersucht. Bei der periodischen Anordnung von Monolagen-Graphen entsteht starke Kopplung zwischen SPPs, wenn die Graphenschichten eng beieinander angeordnet sind.

Erhebliche Anstrengungen wurden unternommen, um die optischen Eigenschaften von Graphen-Dielektrikum-nichtlinearen Verbundstrukturen zu untersuchen, da sie großes Potenzial für die Kontrolle der Lichtausbreitung im Mikro- und Nanomaßstab bieten. Für den Einzelschicht-Graphen-Fall wurden Oberflächenplasmonen an der Grenzfläche zwischen Graphen und Kerr-artigem nichtlinearem Substrat diskutiert. Es wurde gezeigt, dass die Wellenlänge von Graphen-Plasmonen durch Anpassung der nichtlinearen Permittivität des Substrats abgestimmt werden kann. Für die Graphen-nichtlineare-Dielektrikum-Mehrschichtstruktur wurden die Ausbreitungs- und Lokalisierungseigenschaften von Graphen-Plasmonen erforscht, und die exakten Dispersionsrelationen für TM-Oberflächenplasmonen eines Graphen-Plattenwellenleiters wurden hergeleitet. Die Ausbreitungs- und Lokalisierungslänge werden durch Anpassung der nichtlinearen Permittivitäten stark beeinflusst. Kürzlich wurde die Dispersionsrelation für symmetrische und antisymmetrische Plasmonenmodi in einer Graphen-beschichteten Kerr-Plattenstruktur hergeleitet. Neben dem typischen vorwärts gerichteten Ausbreitungsmodus wurden symmetrische und antisymmetrische Modi gefunden.

Basierend auf der starken Nichtlinearität von Graphen wurden mehrere nichtlineare optische Effekte vorhergesagt. Nesterov et al. untersuchten die nichtlineare Lichtausbreitung in einer Graphen-Monolage und fanden, dass diese bei optischen Frequenzen TE- und TM-räumliche optische Solitonen aufgrund der intrinsischen Nichtlinearität von Graphen unterstützen kann. Kürzlich ersetzten Smirnova et al. Monolagen-Graphen durch Mehrschicht-Graphen und untersuchten die nichtlinearen Eigenschaften eines Mehrschicht-Stapels von Graphenblättern, wobei sie die nichtlinearen Gleichungen für die räumliche Dynamik der nichtlinearen Plasmonen herleiteten. Bisherige Studien konzentrierten sich hauptsächlich auf den Einfluss einzelner Nichtlinearität auf die Kontrolle der Lichteigenschaften in Graphen-Dielektrikum-Strukturen. Die Idee der dualen Nichtlinearitätskontrolle wurde in graphenbasierten photonischen Supergittern eingeführt, in denen die elektrische und all-optische Steuerung von photonischen Strahlen mit tiefsubwelliger Genauigkeit erreicht wurde. Allerdings wirft die duale Nichtlinearitätskontrolle von Modus- und Dispersionseigenschaften in graphen-dielektrischen plasmonischen Strukturen noch viele offene Fragen auf. Daher betrachten wir in dieser Arbeit die Nichtlinearität von Graphen und Dielektrikum simultan im Graphen-Dielektrikum-Graphen-Wellenleiter und untersuchen den Einfluss der dualen Nichtlinearität auf Moduskopplung und Dispersionseigenschaften.

Methoden

Der Graphen-nichtlineare-Dielektrikum-Plasmonische Wellenleiter ist schematisch in Abb. 1 dargestellt: Eine Graphen-Platte mit Leitfähigkeit σ_g wird bei x = ± d/2 platziert, wobei das Dielektrikum ein Kerr-Medium mit Permittivität ε = ε_L + α|E|² ist. In unserer Analyse wird Graphen aufgrund seiner einatomigen Dicke als Randbedingung behandelt. Wir betrachten transversalmagnetische (TM) SPPs, die sich in z-Richtung mit einer Ausbreitungskonstanten β ausbreiten und in x-Richtung exponentiell in Luft und nichtlineares Medium abklingen.

Für TM-Polarisation kennen wir drei Feldkomponenten E_x, E_z und H_y. Das magnetische Feld H = H_y y und das elektrische Feld E = E_x x + E_z z erfüllen die Gleichungen:

dE_z/dx = iωμ₀H_y + iβE_x   (1)

iβH_y = -iωε₀εE_x   (2)

dH_y/dx = iωε₀εE_z   (3)

wobei ε₀ und μ₀ die elektrische Permittivität und magnetische Permeabilität des Vakuums sind. Aus Gleichung (2) und ε = ε_L + α|E|² erhalten wir:

ε²E_x² = β²/(ω²ε₀²) H_y²   (4)

E_x² = (ε - ε_L - αE_z²)/α   (5)

Einsetzen von (5) in (4) ergibt:

ε³ - (ε_L + αE_z²)ε² - αβ²/(ω²ε₀²) H_y² = 0   (6)

Für die kubische Gleichung x³ + bx² + cx + d = 0   (7) ist der Diskriminante:

Δ = b²c² - 4c³ - 4b³d + 18bcd - 27d²   (8)

Mit b = -(ε_L + αE_z²), c = 0 und d = -αβ²H_y²/(ω²ε₀²) zeigt sich, dass der Diskriminante von (6) erfüllt:

Δ = -(ε_L + αE_z²)³ αβ²/(ω²ε₀²) H_y² - 27α²β⁴/(ω⁴ε₀⁴) H_y⁴ < 0   (9)

Δ < 0 bedeutet, dass Gleichung (6) nur eine reelle Lösung hat. Nach Cardanos Methode ist die reelle Wurzel von (7):

x = -b/3 + ³√(-q/2 + √((p/3)³ + (q/2)²)) + ³√(-q/2 - √((p/3)³ + (q/2)²))   (10)

wobei p = c - b²/3, q = d - bc/3 + 2b³/27. Mit Gleichung (10) erhalten wir ε. Durch Ersetzen von ε in Gleichungen (2) und (3) durch die reelle Lösung können die gewöhnlichen Differentialgleichungen numerisch mit einem Relaxationsverfahren gelöst werden.

Ergebnisse und Diskussion

Aus den Stetigkeitsforderungen an E_z und H_y ergeben sich die Randbedingungen bei x = ± d/2: E_1z = E_2z und H_2y - H_1y = σ_gE_z. Die Oberflächenleitfähigkeit von Graphen σ_g wird durch die Kubo-Formel bestimmt, die Interband- und Intraband-Übergänge umfasst. Im THz- und Ferninfrarot-Bereich dominiert der Intraband-Beitrag, und die Oberflächenleitfähigkeit vereinfacht sich zu einem einfachen Drude-Typ:

σ_g = e²μ_c/(πℏ²) · i/(ω + iτ⁻¹)   (11)

wobei e die Elementarladung, μ_c das chemische Potential von Graphen, ω die Frequenz und τ die Impulsrelaxationszeit ist. Dieses Modell gilt im Niedertemperaturlimes (k_BT ≪ μ_c) bei niedrigen Frequenzen (ℏω ≤ μ_c). Für starke Felder muss der nichtlineare Teil der Leitfähigkeit berücksichtigt werden; die Gesamtleitfähigkeit von Graphen lautet:

σ_g = σ_L + σ^NL|E_τ|²   (12)

wobei E_τ die tangentiale Komponente des elektrischen Feldes ist und σ^NL die nichtlineare Leitfähigkeit bezeichnet:

σ^NL = -i(3/8) e²/(πℏ²) (eν_F/(μ_cω))² μ_c/ω   (13)

mit ν_F = 0,95 × 10⁸ cm/s als Fermi-Geschwindigkeit.

Da die Oberflächenleitfähigkeit von Graphen nur im THz- und Ferninfrarot-Bereich auf einen einfachen Drude-Typ vereinfacht werden kann, wählen wir die Einfallswellenlänge λ = 10 μm. Weitere Parameter sind fixiert: ε₁ = 1, ε_L = 2,25, α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², E_F = 0,27 eV, τ = 1,5 ps. Es ist bekannt, dass in linearen Graphen-Dielektrikum-Graphen-Strukturen zwei Modi existieren: symmetrische und antisymmetrische Modi. Im Folgenden diskutieren wir den Einfluss der Nichtlinearität auf die Modusverteilung in Graphen-Dielektrikum-Verbundstrukturen.

Indem wir H₀ als initiale magnetische Feldkomponente an der Einfallsgrenzfläche setzen und Gleichungen (1, 2, 3) numerisch lösen, erhalten wir die Abhängigkeit der initialen magnetischen Feldintensität H₀ von der Ausbreitungskonstanten β (Abb. 2). Die normierte Ausbreitungskonstante k_F = √(πn) ist in Einheiten des Fermi-Impulses, wobei n = 6 × 10¹² cm⁻² die Trägerdichte ist. Die durchgezogenen Kurven stellen den Fall dar, bei dem nur die Nichtlinearität des Dielektrikums berücksichtigt wird, während die gestrichelten Kurven den Fall der simultanen Berücksichtigung der Nichtlinearität von Dielektrikum und Graphen zeigen. Aus Abb. 2 erkennen wir, dass die Moduseigenschaften für beide Fälle identisch sind. Es gibt drei Zweige, was bedeutet, dass der nichtlineare plasmonische Wellenleiter drei Modi unterstützen kann. Im Vergleich zum Einzelnichtlinearitäts-Fall verringert sich die initiale Feldintensität beim dualen Nichtlinearitäts-Fall deutlich. Obwohl der Graphen-nichtlineare plasmonische Wellenleiter drei Modi unterstützen kann, ist es unmöglich zu unterscheiden, welcher Zweig den symmetrischen, antisymmetrischen oder asymmetrischen Modus darstellt. Um die Moduseigenschaften jedes Zweigs zu bestimmen, stellen wir die elektrischen und magnetischen Feldverteilungen dar, die den Punkten A, B, C und D in Abb. 2 entsprechen, in Abb. 3 dar.

Für den Zweig der schwarzen gestrichelten Kurve zeigen Abb. 3a, b die zugehörige Permittivität und Felder für Punkt A, in denen die Verteilung der Permittivität und des elektrischen Feldes E_z symmetrisch ist. Daher repräsentiert dieser Zweig den symmetrischen Modus. Für den Zweig der roten gestrichelten Kurve geben Abb. 3c, d die Permittivität und Felder für Punkt B an. Die Permittivitätsverteilung ist weiterhin symmetrisch; jedoch ist die Verteilung des elektrischen Feldes E_z antisymmetrisch, was impliziert, dass dieser Zweig ein antisymmetrischer Modus ist. Die Verteilungen für C und D sind in Abb. 3e–h dargestellt. Die zugehörigen magnetischen und elektrischen Felder sind asymmetrisch verteilt; daher repräsentiert der blaue gestrichelte Kurvenzweig den asymmetrischen Modus. Gleichzeitig führt die asymmetrische Verteilung des elektrischen Feldes zu einer asymmetrischen Permittivitätsverteilung.

Als Nächstes diskutieren wir den Einfluss der Nichtlinearität von Dielektrikum und Graphen auf die Dispersionsrelation. Abb. 4 zeigt die Dispersionsrelation für eine feste initiale magnetische Feldintensität (H₀ = 300 A/m) und verschiedene chemische Potentiale sowie nichtlineare Koeffizienten des Dielektrikums. In Abb. 4a–c wird der Einfluss des nichtlinearen Koeffizienten des Dielektrikums auf die Dispersionsrelation gezeigt, wobei nur die Nichtlinearität des Dielektrikums berücksichtigt wird. Wenn sowohl der nichtlineare Koeffizient als auch die nichtlineare Leitfähigkeit null sind (α = 0, σ^NL = 0), degeneriert die nichtlineare Struktur in eine lineare Struktur. In Abb. 4a existieren für den linearen Fall nur symmetrische und antisymmetrische Modi. Die schwarze durchgezogene Kurve und die rote durchgezogene Kurve repräsentieren den symmetrischen bzw. antisymmetrischen Modus. Wenn der nichtlineare Koeffizient ungleich null ist, erscheint ein asymmetrischer Modus als Zweig III in Abb. 4b, c. Mit weiter zunehmendem nichtlinearem Koeffizienten wird dessen Einfluss auf die Dispersionseigenschaften schwächer.

Im Folgenden führen wir simultan die Nichtlinearität von Dielektrikum und Graphen ein und diskutieren den Einfluss der Graphen-Nichtlinearität auf die Dispersionsrelation bei festem nichtlinearem Koeffizienten des Dielektrikums α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)². Die Ergebnisse sind in Abb. 4d–f dargestellt. Der Vergleich von Abb. 4d mit Abb. 4c zeigt, dass das Fold-Back-Phänomen der Dispersionsrelation in allen drei Zweigen auftritt. Aus Gleichung (13) wissen wir, dass die Nichtlinearität von Graphen durch Anpassung des chemischen Potentials kontrolliert werden kann. Wenn die Nichtlinearität von Graphen weiter von μ_c = 0,27 eV auf μ_c = 0,16 eV zunimmt (Abb. 4e), verschiebt sich der Fold-Back-Punkt der Dispersionsrelation nach oben. Bei stärkerer Graphen-Nichtlinearität (mit kleinerem chemischen Potential μ_c = 0,10 eV), wie in Abb. 4f dargestellt, erscheint nur der symmetrische Modus und bildet einen geschlossenen Loop. Aus Abb. 4 erkennen wir: Berücksichtigt man nur die Nichtlinearität des Dielektrikums, zeigt die Dispersionsrelation drei Zweige, die sich mit zunehmendem nichtlinearem Koeffizienten kaum ändern. Führt man jedoch zusätzlich die Graphen-Nichtlinearität ein, tritt das Fold-Back-Phänomen auf. Für die spezifizierte initiale magnetische Feldintensität H₀ und das chemische Potential zeigt die Dispersionsrelation nur einen symmetrischen Modus mit einem geschlossenen Loop.

Schlussfolgerungen

Zusammenfassend haben wir die Modus- und Dispersionseigenschaften eines Graphen-Dielektrikum-nichtlinearen plasmonischen Wellenleiters untersucht. Die Modusverteilung, Permittivität und Dispersionsrelationen wurden durch numerisches Lösen der Maxwell-Gleichungen für TM-Polarisation ermittelt. Im Vergleich zum Fall, der nur die Nichtlinearität des Dielektrikums berücksichtigt, verringert sich die initiale Feldintensität deutlich, wenn die Nichtlinearität von Dielektrikum und Graphen simultan betrachtet wird. Zudem beeinflusst die duale Nichtlinearität die Dispersionseigenschaften des Wellenleiters signifikant. Insbesondere verschmelzen bei zunehmender Graphen-Nichtlinearität der antisymmetrische und asymmetrische Modus zu einem und verschwinden allmählich. Daher kann im Fall starker Nichtlinearität nur der symmetrische Modus gefunden werden.