Wechselwirkungseffekte beim Zusammenbau magnetischer Nanopartikel

Hintergrund

Magnetische Hyperthermie [1,2,3,4] ist eine der vielversprechendsten Richtungen in der modernen biomedizinischen Forschung im Zusammenhang mit der Krebsbehandlung. Die Leistung magnetischer Nanopartikel zur Wärmeerzeugung in einem externen Wechselmagnetfeld wird von verschiedenen Faktoren beeinflusst, wie beispielsweise ihren geometrischen und Materialparametern, der Konzentration der Nanopartikel in den Medien sowie der Frequenz und Amplitude des magnetischen Wechselfelds. In dieser Arbeit wird der Effekt der gegenseitigen Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die spezifische Absorptionsrate (SAR) einer Anordnung magnetischer Nanopartikel in einem magnetischen Wechselfeld theoretisch untersucht. Die Nanopartikel von Eisenoxiden erscheinen am vielversprechendsten für den Einsatz in der magnetischen Hyperthermie [2,3,4,5], da sie biokompatibel und biologisch abbaubar sind und im menschlichen Körper mittels klinischer MRT nachgewiesen werden können. In dieser Studie betrachten wir Anordnungen von Nanopartikeln mit magnetischen Parametern, die typisch für Eisenoxid-Nanopartikel sind. Kürzlich wurde festgestellt [4, 6], dass magnetische Nanopartikel beim Einbetten in eine biologische Umgebung, beispielsweise in einen Tumor, fest an das umgebende Gewebe gebunden sind. Daher wird die Rotation magnetischer Nanopartikel als Ganzes unter dem Einfluss eines externen Wechselmagnetfeldes stark behindert. In einem solchen Fall ist die Brownsche Relaxation unwichtig [4]. Daher muss nur die Bewegung der magnetischen Momente der Teilchen unter dem Einfluss eines magnetischen Wechselfeldes und thermischer Fluktuationen betrachtet werden. Außerdem muss der Einfluss der Magnet-Dipol-Wechselwirkung zwischen Teilchen berücksichtigt werden. Der letztere Effekt ist besonders wichtig, da magnetische Nanopartikel in biologischen Medien dazu neigen, zu agglomerieren [2, 4, 7] und dichte Aggregate von Nanopartikeln mit fraktaler [8, 9] geometrischer Struktur bilden.

Der Einfluss thermischer Fluktuationen auf die Wärmeableitung in einer verdünnten Anordnung magnetischer Nanopartikel in einem magnetischen Wechselfeld wurde in Lit. ausführlich untersucht. [10,11,12,13]. Insbesondere wurde gezeigt [10], dass die SAR einer solchen Anordnung neben anderen Faktoren wesentlich vom mittleren Nanopartikeldurchmesser abhängt. Für eine verdünnte Nanopartikel-Anordnung erlauben detaillierte Berechnungen [10], den optimalen Durchmesser der Nanopartikel bei den gegebenen magnetischen Partikelparametern und gegebener Amplitude und Frequenz des magnetischen Wechselfeldes zu bestimmen. Bei optimaler Wahl der geometrischen und magnetischen Parameter der Nanopartikel wurden sehr hohe SAR-Werte in der Größenordnung von 1000 kW/kg vorhergesagt [10, 11]. Es ist bemerkenswert, dass die in einer Reihe von Experimenten berichteten SAR-Werte [14,15,16,17] den obigen theoretischen Schätzungen sehr nahe kommen. Gleichzeitig wurden in vielen Experimenten [5, 18,19,20,21] deutlich niedrigere SAR-Werte von ~ 20–50 kW/kg gemessen. Diese Tatsache kann höchstwahrscheinlich durch den Einfluss der starken Magneto-Dipol-Wechselwirkung in dichten Anordnungen magnetischer Nanopartikel erklärt werden.

Tatsächlich wurde experimentell gezeigt [22, 23], dass die SAR in der dichten Anordnung magnetischer Nanopartikel im Wesentlichen vom Aspektverhältnis der Testprobe, d. h. dem Verhältnis von Probenlänge zu Breite, abhängt. Dies ist ein indirekter Beweis für den Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die Reaktion einer Anordnung von Nanopartikeln auf ein externes magnetisches Wechselfeld. Der Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die Energieabsorptionsrate durch die Anordnung magnetischer Nanopartikel wurde in einer Reihe neuerer theoretischer und experimenteller Untersuchungen untersucht [7, 24,25,26,27,28,29,30,31,32 ,33,34,35,36,37,38]. Allerdings scheinen weitere Untersuchungen notwendig zu sein, um die fraktale Natur [8, 9] der Nanopartikelverteilung in biologischen Medien zu berücksichtigen.

Um den Effekt der Magneto-Dipol-Wechselwirkung klar zu sehen, berechnen wir in diesem Artikel zunächst den SAR-Wert einer Anordnung von nicht wechselwirkenden Eisenoxid-Nanopartikeln. Um den Effekt der Magneto-Dipol-Wechselwirkung zu untersuchen, lösen wir numerisch die stochastische Landau-Lifshitz-Gleichung [13, 39,40,41], die gleichzeitig sowohl das Vorhandensein thermischer Fluktuationen der magnetischen Momente der Teilchen als auch die Magneto-Dipol-Wechselwirkung berücksichtigt zwischen den Nanopartikeln der Cluster. Es werden zwei Arten von magnetischen Clustern betrachtet, die üblichen zufälligen 3D-Cluster von Nanopartikeln, die in einem starren Medium verteilt sind, und die fraktalen Cluster von Nanopartikeln, die normalerweise im intrazellulären Raum auftreten. Beachten Sie, dass die Nanopartikel innerhalb des Clusters durch eine starke Magneto-Dipol-Wechselwirkung gekoppelt sind. Gleichzeitig kann bei einer verdünnten Clusteranordnung die magnetische Wechselwirkung zwischen den Clustern in erster Näherung vernachlässigt werden.

Der Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die Eigenschaften einer verdünnten Anordnung von zufälligen 3D-Clustern wird hauptsächlich durch die Packungsdichte der Nanopartikel bestimmt η = N _p V /V _kl , wobei N _p ist die durchschnittliche Anzahl von Teilchen im Cluster, V ist das Nanopartikelvolumen und V _kl ist das Clustervolumen. Es wurde festgestellt, dass die Fläche der Hystereseschleife und die SAR der Anordnung erheblich reduziert werden, wenn die Packungsdichte der 3D-Cluster im Bereich der untersuchten Packungsdichten zunimmt, 0,005 ≤ η < 0,4. Bei fraktalen Clustern magnetischer Nanopartikel wird neben einer erheblichen Reduzierung der SAR in der Regel die maximale Absorptionsrate zu kleineren Partikeldurchmessern verschoben. Es zeigt sich auch, dass die SAR fraktaler Cluster mit zunehmender Dicke der nichtmagnetischen Hüllen an den Nanopartikeloberflächen merklich zunimmt. Dieser Effekt kann für die Anwendung magnetischer Nanopartikelanordnungen bei der magnetischen Hyperthermie wichtig sein.

Numerische Simulation

Nicht-wechselwirkende Nanopartikel

Es ist aufschlussreich, zunächst an das Verhalten einer Anordnung von nicht wechselwirkenden superparamagnetischen Nanopartikeln in einem magnetischen Wechselfeld zu erinnern. Sie ermöglicht es, den Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die Anordnungseigenschaften deutlich zu erkennen. Basierend auf der Fokker-Planck-Gleichung von W.F. Brown [39] kann man eine ungefähre kinetische Gleichung [10] für die Bevölkerungszahlen n . erhalten ₁ (t ) und n ₂ (t ) von zwei Potentialtöpfen aus einachsigen superparamagnetischen Nanopartikeln

Hier, τ ₁ (T ) und τ ₂ (T ) sind die entsprechenden Relaxationszeiten bei einer gegebenen Temperatur T für die ersten bzw. zweiten Potentialtöpfe. Die Entspannungszeiten τ ₁ (T ) und τ ₂ (T ) hängen im Wesentlichen von der Amplitude und Richtung des angelegten Magnetfelds in Bezug auf die leichte Anisotropieachse der Partikel ab (siehe Anhang in Lit. [10]). Das Iterationsverfahren kann verwendet werden, um die Bohrlochpopulationszahlen n . zu berechnen ₁ (t ) und n ₂ (t ) für mehrere Perioden des magnetischen Wechselfeldes. Es reicht aus, eine stationäre Hystereseschleife eines Teilchens in einem magnetischen Wechselfeld zu erhalten. Dazu kann man eine Näherungsbeziehung für die Komponente der reduzierten Teilchenmagnetisierung entlang der Magnetfeldrichtung verwenden

Hier, θ ₀ ist der Winkel des externen Magnetfelds in Bezug auf die Achse der leichten Anisotropie des Teilchens, θ _min,1 und θ _min,2 sind die Orte der Potentialtopfminima als Funktionen des reduzierten angelegten Magnetfelds, h _e (t ) = H ₀ Sünde(ωt )/H _a , wobei ω = 2πf ist die Kreisfrequenz, H _a das Teilchenanisotropiefeld ist. Um eine Hystereseschleife einer Anordnung zufällig orientierter unabhängiger Nanopartikel zu erhalten, ist es notwendig, die reduzierte Magnetisierung m . zu mitteln _h (t ) über den Magnetfeldrichtungen. Es ist erwähnenswert, dass die Genauigkeit einer näherungsweise analytischen Lösung, Gl. (1), (2) der Fokker-Planck-Gleichung wurde durch direkten Vergleich mit den numerischen Lösungen der stochastischen Landau-Lifshitz-Gleichung für nicht wechselwirkende magnetische Nanopartikel validiert [10].

Nanopartikel-Cluster

Um den Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung auf die spezifische Absorptionsrate einer Anordnung wechselwirkender magnetischer Nanopartikel in einem magnetischen Wechselfeld zu untersuchen, untersuchen wir in diesem Artikel das Verhalten einer verdünnten Anordnung von üblichen 3D-Clustern superparamagnetischer Nanopartikel und das von fraktalen Cluster [8, 9], die normalerweise in biologischen Medien entstehen, die mit feinen magnetischen Nanopartikeln beladen sind.

Ein quasi-sphärischer 3D-Cluster von Nanopartikeln, der in Abb. 1a schematisch dargestellt ist, kann durch seinen Radius R . charakterisiert werden _kl , und die Anzahl der Nanopartikel, N _p >> 1 innerhalb seines Volumens. Es wird angenommen, dass die Nanopartikel nahezu den gleichen Durchmesser D . haben , und ihre Zentren, {r _ich }, ich = 1, 2,.. N _p , sind im Clustervolumen zufällig verteilt. Wir gehen auch davon aus, dass die Partikel mit dünnen nichtmagnetischen Hüllen beschichtet sind, sodass die Austauschwechselwirkung zwischen den benachbarten Nanopartikeln des Clusters fehlt. Wie oben erwähnt, ist ein solcher 3D-Cluster durch die Nanopartikel-Packungsdichte η . gekennzeichnet = N _p V /V _kl . Dies ist ein Gesamtvolumen des magnetischen Materials, das im Volumen des Clusters verteilt ist. Den durchschnittlichen Abstand zwischen den Nanopartikeln des Clusters kann man mit der Beziehung D . definieren _av = (6V _kl /πN _p ) ^1/3 . Dann ist die Packungsdichte der Nanopartikel gegeben durch η = (D /D _av ) ³ .

Geometrie eines quasi-sphärischen zufälligen 3D-Clusters von Einzeldomänen-Nanopartikeln (a ) und fraktaler Cluster (b ) mit fraktalen Deskriptoren D _f = 2.1 und k _f = 1.3

Für eine Anordnung vollständig zufälliger 3D-Cluster sind die Orientierungen der leichten Anisotropieachsen von Nanopartikeln {e _ich }, ich = 1, 2, .. N _p , werden zufällig und unabhängig auf der Einheitskugel gewählt. Alternativ kann man annehmen, dass während der Bildung von Clustern in einer Lösung unter dem Einfluss magnetostatischer Wechselwirkung eine gewisse Korrelation in der Verteilung der leichten Anisotropie-Achsenrichtungen der Nanopartikel auftritt. Eine Möglichkeit, solche teilgeordneten Cluster zu beschreiben, besteht darin, anzunehmen, dass die leichten Anisotropieachsen der Nanopartikel gleichmäßig in einem Raumwinkel verteilt sind, θ < θ _max , in den Kugelkoordinaten.

Zufällige 3D-Cluster mit einer bestimmten Anzahl von Partikeln N _p von Durchmesser D wurden in dieser Studie wie folgt erstellt. Zuerst haben wir einen ausreichend dichten und annähernd gleichförmigen Satz von N . erzeugt zufällige Punkte {ρ _ich } innerhalb eines Kugelvolumens vom Radius R _kl , sodass |ρ _ich | ≤ R _kl für alle generierten Punkte, i = 1, 2... N , N>> N _p . Das Zentrum des ersten Nanopartikels wurde im ersten zufälligen Punkt platziert, r ₁ = ρ ₁ . Dann alle zufälligen Punkte mit Koordinaten |ρ _ich –r ₁ | ≤ D wurden aus dem anfänglichen Satz der Zufallspunkte entfernt. Nach diesem Vorgang könnte jeder Punkt in der verbleibenden Menge zufälliger Punkte als Zentrum des zweiten Nanopartikels verwendet werden. Zum Beispiel kann man einfach r ₂ = ρ ₂ . Im nächsten Schritt entfernt man alle zufälligen Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung |ρ . erfüllen _ich –r ₂ | ≤ D . Dieser Vorgang wird wiederholt, bis alle N _p Nanopartikelzentren werden innerhalb des Clustervolumens platziert. Als Ergebnis liegen alle zufälligen Nanopartikelzentren innerhalb einer Kugel mit dem Radius R _kl , damit |r _ich | ≤ R _kl , ich = 1, 2,... N _p . Darüber hinaus steht keines der Nanopartikel in direktem Kontakt mit den benachbarten Nanopartikeln. Dieser Algorithmus ermöglicht es, zufällige quasi-sphärische 3D-Cluster aus magnetischen Nanopartikeln für moderate Werte des Nanopartikel-Volumenanteils zu konstruieren η < 0.5.

Für einen gegebenen Satz von Anfangsparametern, d. h. D , R _kl , und N _p , verschiedene zufällige 3D-Cluster unterscheiden sich durch die Sätze der Koordinaten der Nanopartikelzentren {r _ich } und Orientierungen {e _ich } der leichten Anisotropieachsen der Teilchen. Die Berechnungen zeigen jedoch, dass im Grenzwert N _p >> 1, die Hystereseschleifen für verschiedene Realisierungen von Zufallsvariablen {r _ich } und {e _ich } unterscheiden sich nur geringfügig voneinander. Um das Verhalten einer verdünnten Anordnung von zufälligen Nanopartikel-Clustern zu charakterisieren, ist es notwendig, die Hystereseschleife der Anordnung gemittelt über eine ausreichend große Anzahl von zufälligen Cluster-Realisierungen zu berechnen. Es zeigt sich, dass im Grenzwert N _p >> 1, die gemittelte Hystereseschleife der Clusteranordnung hat eine ziemlich kleine Streuung, selbst wenn sie über 20–30 unabhängige Realisierungen zufälliger Cluster mit den festen Werten der Anfangsparameter D . gemittelt wird , R _kl , und N _p .

Die Geometrie fraktaler Cluster von Einzeldomänen-Nanopartikeln wird durch die fraktalen Deskriptoren D . charakterisiert [42, 43] _f und k _f . Per Definition ist die Gesamtzahl der Nanopartikel N _p im fraktalen Cluster ist durch die Beziehung \( {N}_p={k}_f{\left(2{R}_g/D\right)}^{D_f} \) gegeben, wobei D _f ist die fraktale Dimension, k _f ist der fraktale Vorfaktor und R _g der Kreisradius sein. Sie wird über das mittlere Quadrat der Abstände zwischen den Teilchenzentren und dem geometrischen Massenschwerpunkt des Aggregats definiert [43]. In dieser Arbeit wurden die fraktalen Cluster mit verschiedenen fraktalen Deskriptoren mit dem bekannten Algorithmus von Filippov et al. erstellt [43]. Als Beispiel zeigt Abb. 1b die geometrische Struktur eines fraktalen Clusters mit fraktalen Deskriptoren D _f = 2.1 und k _f = 1.3 bestehend aus N _p = 90 Einzeldomänen-Nanopartikel. Geometrisch scheint der Hauptunterschied zwischen 3D- und fraktalen Clustern darin zu bestehen, dass im letzteren Fall jedes Nanopartikel mindestens einen Nachbarn hat, der sich im engstmöglichen Abstand zwischen den Nanopartikelzentren befindet, der dem Nanopartikeldurchmesser D . entspricht .

Dynamik des Einheitsmagnetisierungsvektors \( {\overrightarrow{\alpha}}_i \) von i -tes Einzeldomänen-Nanopartikel des Clusters wird durch die stochastische Landau-Lifshitz (LL)-Gleichung bestimmt

wo γ ist das gyromagnetische Verhältnis, κ ist ein phänomenologischer Dämpfungsparameter, γ ₁ = γ /(1+κ ² ), \( {\overrightarrow{H}}_{ef,i} \) ist das effektive Magnetfeld und \( {\overrightarrow{H}}_{th,i} \) ist das thermische Feld. Das effektive Magnetfeld, das auf ein separates Nanopartikel wirkt, kann als Ableitung der Gesamtclusterenergie berechnet werden

Die gesamte magnetische Energie des Clusters W = W _a + W _Z + W _m ist eine Summe der magnetokristallinen Anisotropieenergie W _a , Zeeman-Energie W _Z der Teilchen im angelegten Magnetfeld \( {\overrightarrow{H}}_0\sin \left(\omega t\right)\), und die Energie der gegenseitigen Magneto-Dipol-Wechselwirkung der Teilchen W _m .

Für Nanopartikel mit nahezu kugelförmiger Form mit einachsiger magnetischer Anisotropie ist die magnetokristalline Anisotropieenergie gegeben durch

wo e _ich ist die Orientierung der leichten Anisotropieachse von i -te Teilchen des Clusters. Zeeman-Energie W _Z des Clusters im angelegten Magnetfeld ist gegeben durch

Als nächstes kann für kugelförmige, gleichmäßig magnetisierte Nanopartikel die magnetostatische Energie des Clusters als die Energie der punktwechselwirkenden Dipole dargestellt werden, die sich an den Teilchenzentren r . befinden _ich innerhalb des Clusters. Dann ist die Magneto-Dipol-Wechselwirkungsenergie

wo n _ij ist der Einheitsvektor entlang der Linie, die die Mittelpunkte von i . verbindet -th und j -te Partikel bzw.

Somit ist das effektive Magnetfeld, das auf das i . wirkt, -te Nanopartikel des Clusters ist gegeben durch

wo H _a = 2 K /M _s. ist das Partikelanisotropiefeld.

Die thermischen Felder, \( {\overrightarrow{H}}_{th,i} \), i = 1, 2...N _p , die auf verschiedene Nanopartikel des Clusters wirken, sind statistisch unabhängig, mit den folgenden statistischen Eigenschaften [39] ihrer Komponenten für jedes Nanopartikel

Hier, k _B ist die Boltzmann-Konstante, δ _αβ ist das Kroneker-Symbol und δ (t ) ist die Deltafunktion.

Das Verfahren zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen. (3), (8) und (9) sind ausführlich in Lit. beschrieben. [13, 40, 41].

Ergebnisse und Diskussion

Nicht-wechselwirkende Eisenoxid-Nanopartikel

Betrachten Sie eine verdünnte Anordnung superparamagnetischer Nanopartikel mit einem durchschnittlichen Durchmesser von D . Es wird angenommen, dass die Partikel in einem umgebenden Medium dicht gepackt sind und ihre leichten Anisotropieachsen zufällig im Raum orientiert sind. Die Hystereseschleife einer solchen Anordnung in einem magnetischen Wechselfeld H = H ₀ Sünde(ωt ) kann mit den Gl. (1) und (2). Dieser Ansatz ermöglicht aufgrund seiner Einfachheit detaillierte Berechnungen der Hystereseschleifen der Anordnung für verschiedene Partikelgrößen in Abhängigkeit von Frequenz und Amplitude des magnetischen Wechselfelds. In den durchgeführten Berechnungen wird in Übereinstimmung mit den experimentellen Daten [2,3,4,5,6] angenommen, dass die Sättigungsmagnetisierung von Eisenoxid-Nanopartikeln M . beträgt _s. = 70 Am ² /kg, die magnetische Anisotropiekonstante ist K = 10 ⁴ J/m ³ . Die Montagetemperatur beträgt T = 300 K und die Nanopartikeldurchmesser liegen im Bereich D = 10–30 nm. Diese Parameter scheinen typisch für Experimente mit Eisenoxid-Nanopartikeln zu sein.

Abbildung 2 zeigt die SAR nicht-wechselwirkender Anordnungen von Eisenoxid-Nanopartikeln bei verschiedenen Frequenzen bei einer festen Amplitude des magnetischen Wechselfelds, H ₀ = 8 kA/m. Wie zu sehen ist, gilt für den Frequenzbereich, der für magnetische Hyperthermie charakteristisch ist, f = 200–500 kHz, SAR hat ein Maximum für die Anordnung von Eisenoxid-Nanopartikeln mit den Durchmessern D = 20–21 nm. Es ist bemerkenswert, dass selbst bei einer relativ moderaten Amplitude eines magnetischen Wechselfelds die SAR der Baugruppe ausreichend hohe Werte von 350–450 kW/kg erreicht, wenn die Nanopartikeldurchmesser richtig gewählt werden.

Die spezifische Absorptionsrate der nicht-wechselwirkenden Anordnung von Eisenoxid-Nanopartikeln, erhalten mit Hilfe von Gl. (1) und (2) als Funktion des durchschnittlichen Partikeldurchmessers bei verschiedenen Frequenzen des magnetischen Wechselfelds

Allerdings liegen die experimentell gemessenen SAR-Werte für Anordnungen von Eisenoxid-Nanopartikeln in der Regel deutlich unter [18,19,20,21] diesen theoretischen Werten. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, kann diese Tatsache [22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38] erklärt werden durch der Einfluss einer starken Magneto-Dipol-Wechselwirkung in dichten Anordnungen magnetischer Nanopartikel.

Aufbau von 3D-Clustern

Betrachten Sie nun die Hystereseschleifen einer verdünnten Anordnung von zufälligen 3D-Clustern mit leichten Anisotropieachsen einzelner Nanopartikel, die zufällig im Raum orientiert sind. Wie Abb. 2 zeigt, entspricht für die Anordnung nicht wechselwirkender Eisenoxid-Nanopartikel der Peak der Energieabsorption in einem magnetischen Wechselfeld Partikeln mit dem Durchmesser D = 20 nm. Daher berechneten wir zuerst die Hystereseschleifen einer Anordnung von 3D-Clustern mit Partikeldurchmesser D = 20 nm.

Abbildung 3a zeigt die Entwicklung der Hystereseschleifen der Anordnung in Abhängigkeit vom durchschnittlichen Abstand zwischen den Nanopartikelzentren D _av beim festen Wert des Partikeldurchmessers D . Die Frequenz und Amplitude des magnetischen Wechselfelds sind auf f . festgelegt = 400 kHz und H ₀ = 8 kA/m. Die Anzahl der Teilchen in den Clustern beträgt N _p = 40. Die Berechnungen werden um T . durchgeführt = 300 K, und die magnetische Dämpfungskonstante wird als κ . angenommen = 0,5.

(a ) Entwicklung der Hystereseschleifen der verdünnten Anordnung von Clustern von Eisenoxid-Nanopartikeln mit dem Durchmesser D = 20 nm für verschiedene Verhältnisse D _av /D :(1 ) D _av /D = 1,46; (2 ) D _av /D = 2,92; (3 ) D _av /D = 5,84. Die Hystereseschleife 4 entspricht dem Zusammenbau von nicht-wechselwirkenden Nanopartikeln des gleichen Durchmessers. Sie wird mit Hilfe von Gl. (1) und (2). (b ) SAR als Funktion des durchschnittlichen Nanopartikeldurchmessers D für verdünnte Anordnungen von Clustern von Nanopartikeln mit unterschiedlicher Packungsdichte η

Offensichtlich führt die Verringerung des mittleren Abstands zwischen den Nanopartikeln des Clusters zu einer Zunahme der Intensität der Magneto-Dipol-Wechselwirkung innerhalb des Clusters. Beachten Sie, dass für N _p = 40, die Verhältnisse D _av /D die in Abb. 3a angegeben sind, entsprechen den Cluster-Packdichten η =0,005, 0,04 und 0,32 entsprechend. In Abb. 3a ist zu sehen, dass die Hystereseschleifenfläche als Funktion des Parameters η . schnell abnimmt . Zum Vergleich zeigt Fig. 3a auch die Hystereseschleife 4, berechnet für eine Anordnung von nicht wechselwirkenden Teilchen, d. h. im Grenzbereich D _av /D → , N _p = const, unter Verwendung von Gl. (1) und (2).

Man sieht, dass die Hystereseschleife 3 (η = 0,005) in Abb. 3a liegt nahe der Hystereseschleife der Anordnung nicht wechselwirkender Nanopartikel. Daher im Fall η ≤ 0,005 kann die Magneto-Dipol-Wechselwirkung der Nanopartikel innerhalb des Clusters vernachlässigt werden. Für η ≥ 0.04 hat die Magneto-Dipol-Wechselwirkung einen signifikanten Einfluss auf die Eigenschaften einer Anordnung von zufälligen 3D-Clustern. Eine ähnliche Entwicklung der Hystereseschleifen der Anordnung wurde auch für die Frequenzen f . erhalten = 300 bzw. 500 kHz.

Die in Abb. 3a gezeigten Hystereseschleifen werden für verschiedene Verhältnisse D . berechnet _av /D , aber für die feste Anzahl von Nanopartikeln im Cluster N _p = 40. Die detaillierten Computersimulationen zeigen jedoch, dass die Form der Hystereseschleife einer verdünnten Anordnung von zufälligen 3D-Clustern praktisch unverändert ist, wenn die Anzahl der Partikel N _p >> 1 und der Radius des Clusters R _kl werden so verändert, dass die Packungsdichte der Nanopartikel η bleibt konstant. Daher hängt die Hystereseschleife der verdünnten Anordnung von zufälligen 3D-Clustern hauptsächlich von der Cluster-Packungsdichte ab η .

Abbildung 3b zeigt die SAR von Anordnungen zufälliger Cluster von Eisenoxid-Nanopartikeln für verschiedene η Werte. Der SAR-Wert der Baugruppe wird berechnet [10] als SAR = M _s fA /ρ , wobei A ist die Hystereseschleifenfläche in den Variablen (M /M _s. , H ), ρ ist die Dichte von Eisenoxid-Nanopartikeln, von der angenommen wird, dass sie ρ . ist = 5 × 10 ³ kg/m ³ . Wie Abb. 3b zeigt, nimmt die SAR als Funktion von η . ab aufgrund einer Zunahme der Intensität der Magneto-Dipol-Wechselwirkung innerhalb der Cluster. Gleichzeitig bleibt die Abhängigkeit der SAR der Baugruppe vom durchschnittlichen Partikeldurchmesser bestehen, wenn auch weniger ausgeprägt.

Für kleine Werte von η ≤ 0,005, die SAR der zufälligen Anordnung von 3D-Clustern stimmt tatsächlich mit derjenigen für eine Anordnung nicht wechselwirkender Nanopartikel überein, wie in Abb. 2 gezeigt. Andererseits sinkt die SAR etwa um das Sechsfache, wenn die Cluster-Packungsdichte auf <. ansteigt i>η = 0,32. Dann nähert er sich den typischen SAR-Werten von ~ 50–100 kW/kg, die in einer Reihe von Experimenten [5, 18,19,20,21] mit Eisenoxid-Nanopartikelanordnungen erhalten wurden.

Anordnung von fraktalen Clustern

Ähnliche Berechnungen wurden für verdünnte Anordnungen fraktaler Cluster von Nanopartikeln mit verschiedenen fraktalen Deskriptoren durchgeführt. Wie Abb. 4 zeigt, nimmt auch für fraktale Cluster von Nanopartikeln die SAR als Funktion des Partikeldurchmessers gegenüber der Anordnung nicht wechselwirkender Nanopartikel erheblich ab. Im Gegensatz zur Anordnung von 3D-Clustern werden die Spitzenwerte von SAR jedoch systematisch zu kleineren Partikeldurchmessern verschoben, mit Ausnahme der fraktalen Dimension D _f = 2,7, was dem Fall von 3D-Clustern mit D . nahe kommt _f = 3,0. Interessant ist auch, dass für nicht optimale Nanopartikeldurchmesser, zum Beispiel für Nanopartikel mit Durchmessern D ≤ 17 nm, der Einfluss der Magneto-Dipol-Wechselwirkung führt zu einer Erhöhung der SAR in Bezug auf den Fall der Anordnung von nicht wechselwirkenden Nanopartikeln, da die SAR der Anordnung von nicht wechselwirkenden Nanopartikeln für Nanopartikel mit Durchmessern D ≤ 17 nm.

SAR als Funktion des durchschnittlichen Nanopartikeldurchmessers D für verdünnte Anordnungen fraktaler Cluster von Nanopartikeln mit verschiedenen fraktalen Deskriptoren. Der SAR-Wert des Zusammenbaus nicht wechselwirkender Nanopartikel wird mit Hilfe von Gl. (1) und (2)

Die in Abb. 4 gezeigten Berechnungen wurden unter der Annahme durchgeführt, dass dünne nichtmagnetische Schalen mit einer Dicke von t . vorhanden sind _Sch = 1 nm an der Oberfläche magnetischer Nanopartikel. Dies verhindert, dass die Nanopartikel des fraktalen Clusters eine direkte Austauschwechselwirkung haben. Offensichtlich verringert die Zunahme der nichtmagnetischen Schalendicke die Intensität der Magnetodipol-Wechselwirkung der nächsten Nanopartikel, wenn der durchschnittliche Abstand zwischen den magnetischen Kernen auf den Nanopartikeln zunimmt. Abbildung 5 zeigt, dass die Erhöhung der Dicke der nichtmagnetischen Hülle ein geeigneter Weg ist, um die SAR der Anordnung fraktaler Cluster von Nanopartikeln zu erhöhen. Namely, for sufficiently large thickness of non-magnetic shells the dependence of the SAR on the particle diameter resembles that for weakly interacting magnetic nanoparticles. This fact may be important for the application of magnetic nanoparticle assemblies in magnetic hyperthermia.

The dependence of the SAR of dilute assembly of fractal clusters on the thickness t _Sh of the non-magnetic shells at the surface of the nanoparticles. The SAR of the assembly of non-interacting nanoparticles is calculated by means of Eqs. (1) and (2)

Schlussfolgerungen

The main conclusion of this study is that the SAR of a dilute assembly of clusters of magnetic nanoparticles in alternating magnetic field is significantly reduced with increasing of the intensity of magneto-dipole interaction in the clusters. For usual 3D clusters of nanoparticles, the intensity of the magneto-dipole interaction can be characterized by dimensionless packing density, η  = N _p V /V _cl  = (D /D _av ) ³ . The latter determines the average distance between the nanoparticles of the cluster. The calculations show that for the assembly of random 3D clusters, the energy absorption peak, which for iron oxide nanoparticles corresponds to particles with average diameter D  = 20 nm, is reduced about six times when the packing density increases from η  = 0.005 up to η  = 0.32. The dependence of the assembly SAR on the mean nanoparticle diameter is retained with increase of η , but becomes less pronounced.

For dilute assemblies of fractal clusters of magnetic nanoparticles, the SAR values also decrease several times irrespective on the fractal descriptors of the assembly. In addition, the peak values of SAR are shifted systematically to smaller particle diameters, as a rule. It is important to note, however, that the increase of the non-magnetic shell thickness at the nanoparticle surfaces restores the SAR values close to that of the assembly of weakly interacting nanoparticles. This fact can be important for various biomedical applications of magnetic nanoparticle assemblies.

The model considered in this paper takes into account the geometrical structure of nanoparticle assemblies observed experimentally in biological media [4, 8, 9] (in particular in tumors), i.e., the agglomeration of nanoparticles in a sufficiently dense fractal clusters of different sizes, with different numbers of nanoparticles in the clusters. The stochastic LL Eq. (3) accurately describes the real dynamics of the magnetic moments of nanoparticles taking into account both the magneto-dipole interaction between the particles and the effect of thermal fluctuations. The cluster model studied allows obvious generalization that can make it more practical. First, it is necessary to take into account the size distribution of magnetic nanoparticles in the assembly. Second, in some cases exchange interaction may exist between neighboring nanoparticles of the cluster if they are in direct atomic contact.

The theoretical results obtained in this study seem to be in a satisfactory agreement with recent experimental data [35] for iron oxide nanoparticles of optimal diameters. Indeed, according to Ref. [35], the SAR of the iron oxide nanoparticles increases with the average diameter of the nanoparticles and peaks for nanoparticles with mean diameter D  = 20–21 nm. In addition, the SAR decreases [35] with a decrease in the average distance between the nanoparticles due to increasing intensity of the magneto-dipole interaction.

Unfortunately, in some experimental studies [5, 21] carried out to optimize the properties of magnetic nanoparticles for use in magnetic hyperthermia, often do not take into account the theoretical predictions [10, 11] about significant dependence of the assembly SAR on the characteristic size of the magnetic nanoparticles. As shown in this paper, this dependence can be substantial even for rather dense nanoparticle assemblies. From a theoretical point of view, it is obvious [10] that the assembly of iron oxide nanoparticles with very small, D  ≤ 10 nm, or too big, D  ≥ 30 nm diameters can hardly provide a sufficiently high SAR values for typical for magnetic hyperthermia frequencies, f  = 200–600 kHz, and magnetic field amplitudes H ₀  ~ 8 kA/m. The creation of mono-crystalline iron oxide nanoparticles with sharp size distribution near the optimal diameter has to be promising for application in magnetic hyperthermia.