Vom Nanomaßstab zum Makromaßstab: Wie sich die Kontaktfläche rauer Oberflächen unter Normallast entwickelt

Zusammenfassung

Die Entwicklung der Kontaktfläche mit Normallast für raue Oberflächen hat große fundamentale und praktische Bedeutung, von Erdbebendynamik bis Maschinenverschleiß. Diese Arbeit schließt die Lücke zwischen atomarem und makroskopischem Maßstab für normales Kontaktverhalten. Die reale Kontaktfläche, gebildet aus einem großen Ensemble diskreter Kontakte (Cluster), erweist sich als viel kleiner als die scheinbare Oberfläche. Die Verteilung der diskreten Kontaktcluster und die Wechselwirkung zwischen ihnen sind der Schlüssel zum Verständnis des Mechanismus kontaktierender Festkörper. Zu diesem Zweck wird Green'sche-Funktion-Molekulardynamik (GFMD) eingesetzt, um sowohl zu untersuchen, wie sich der Kontaktcluster vom atomaren zum makroskopischen Maßstab entwickelt, als auch die Wechselwirkung zwischen Clustern. Es zeigt sich, dass die Wechselwirkung zwischen Clustern einen starken Effekt auf ihre Bildung hat. Die Bildung und Verteilung der Kontaktcluster ist weit komplexer als vom Asperitäten-Modell vorhergesagt. Die Ignoranz der Wechselwirkung zwischen ihnen führt zu Überschätzung der Kontaktkraft. Im realen Kontakt sind kontaktierende Cluster kleiner und diskreter aufgrund der Wechselwirkung zwischen Asperitäten. Das Verständnis der exakten Natur der Kontaktfläche mit Normallast ist essenziell für folgende Reibungsforschung.

Hintergrund

Die meisten makroskopischen Oberflächen gelten als rauh und fraktal [1, 2]. Das Kontaktverhalten zwischen rauen Oberflächen ist weit komplexer als das perfekt glatter Oberflächen [3, 4]. Die reale Kontaktfläche wird durch ein großes Ensemble diskreter Kontaktbereiche (Cluster) gebildet, was viel kleiner als die scheinbare Oberfläche ist. Die Normalkraft und die Größe, Form und Verteilung der Kontaktcluster sind Schlüssel zum Verständnis des Kontaktverhaltens, was für folgende Reibungsstudien essenziell ist [5-7].

Um die Beziehung zwischen Kontaktfläche und Last zu erhalten, wurden seit den 1960er Jahren zahlreiche Modelle vorgeschlagen [1, 8-14]. Unter ihnen ist das Asperitäten-Modell das einfachste und populärste. In einer frühen Anwendung beschrieben Greenwood und Williamson [8] die Rauheit der Kontaktgrenzfläche durch Annahme gleicher Radien aber unterschiedlicher Höhen der Asperitäten. Seitdem hat das Asperitäten-Modell vorgeherrscht und umfangreiche Literatur hervorgebracht. Whitehouse und Archard [15] erweiterten das Greenwood-Williamson (G-W) Modell durch Berücksichtigung zufälliger Krümmungsradien der Asperitätenspitzen. Nayak [16-18] führte Techniken der Zufallsprozesstheorie [19, 20] in die Analyse gaußscher Rauheit ein, was später von Bush et al. [9] in rauer Oberflächenkontakt genutzt wurde.

Eine Grundannahme im Asperitäten-Modell ist, dass die Wechselwirkung zwischen Asperitäten vernachlässigt werden kann, was bedeutet, dass potenzielle Kontaktasperitäten im Voraus durch Oberflächengeometrie bestimmt werden können. Diese Annahme kann jedoch zu ungenauen Schätzungen von Kontaktkraft und Kontaktfläche führen. Um die Entwicklung kontaktierender Cluster und deren Wechselwirkung zu erhalten, nutzen wir Green'sche-Funktion-Molekulardynamik (GFMD) [21-23] zur Untersuchung fraktaler rauer Oberflächen.

Diese Arbeit zielt darauf ab, die Lücke zwischen atomarem und makroskopischem Maßstab für normales Kontaktverhalten zu schließen. Die Entwicklung der Kontaktfläche von atomaren zu makroskopischen Maßstäben wird durch numerische Beispiele unter Berücksichtigung der Asperitätenwechselwirkungen demonstriert. In der folgenden Diskussion präsentieren wir zunächst kurz unsere Ansätze für fraktale Oberflächengenerierung, das GFMD-Modell, den Kontaktcluster-Erkennungsalgorithmus und das numerische Experimentdesign. Dann fokussieren wir uns auf Bildung und Entwicklung des Kontaktclusters und deren Einfluss auf Grenzflächenverhalten.

Methoden

Generierung fraktaler rauer Oberflächen

Um das Kontaktverhalten rauer Oberflächen zu untersuchen, müssen wir die Oberfläche für das numerische Modell generieren. Mehrere Algorithmen wurden für fraktale Oberflächen verwendet [24]. In dieser Arbeit nutzen wir die Fourier-Transformationsmethode zur Generierung fraktaler rauer Oberflächen, wie in Abb. 1 gesehen. Vier Parameter bestimmen die fraktale raue Oberflächengeometrie: maximale Frequenz (w_H), minimale Frequenz (w_L), Hurst-Exponent (H) und Standardabweichung der Amplitude (P). Die grundlegenden statistischen Parameter der Oberfläche, wie RMS-Höhe (M₀^1/2), RMS-Neigung (M₂^1/2) und RMS-Krümmung (M₄^1/2), sind Schlüsselfaktoren für Grenzflächenverhalten, wobei M_i das i-te radiale Moment des Oberflächenspektrums ist [19, 20]. Es ist anzumerken, dass der Oberflächenstatistikparameter M_i mit den Profilstatistikparametern m_i durch folgende Gleichung verknüpft ist: M₀ = m₀, M₂ = 2m₂, M₄ = 4/3 m₄. Bekanntlich kann die Asperitätendichte n (Oberflächengipfel oder -täler) durch folgende Gleichung bestimmt werden:

$$ n=\frac{1}{6\pi \sqrt{3}}\left({m}_4/{m}_2\right) $$ (1)

Zusätzlich wird die Gesamtzahl der Oberflächengipfel/Täler N ausgedrückt durch

$$ N={A}_0\times n={A}_0\frac{1}{6\pi \sqrt{3}}\left({m}_4/{m}_2\right) $$ (2)

wobei A₀ die scheinbare Oberfläche ist. Für selbstaffine fraktale Oberflächen hängen die Oberflächenstatistikparameter von den Eingabeparametern (w, H, P) durch folgende Gleichung ab:

$$ {m}_i={\int}_{w_L}^{w_H}{\omega}^i{\varPhi}_{\phi}\left(\omega \right) d\omega ={\int}_{w_L}^{w_H}{\omega}^iB{\omega}^{-\left(1+2H\right)} d\omega $$ (3)

wobei B die Oberflächenrauhigkeitskonstante ist, die mit P verknüpft ist. Gleichungen (3) und (2) zeigen, dass die fraktale Oberflächen-Gipfel/Tal-Zahl von Wellenlänge und Hurst-Exponent abhängt. Detaillierte Diskussionen fraktaler Oberflächenstatistiken finden sich in der Literatur [25, 26].

Im Fourier-Transformationsalgorithmus setzen wir als typisches Beispiel den Hurst-Komponenten auf H = 0,5, maximale Frequenz auf w_L = 1/(24σ), minimale Frequenz auf w_H = 1/(256σ), Standardabweichung der Frequenzamplitude auf P = 0,69 und Systemsgröße auf 512 × 512 Atome (mit Anfangsabstand 1,12σ). Diese Eingabeparameter generieren anschließend die Oberfläche mit folgenden statistischen Parametern: RMS-Neigung M₂^1/2 = 0,077 und RMS-Krümmung M₄^1/2 = 0,0077. Die Gesamtzahl der Oberflächengipfel/Täler beträgt 150 gemäß Gl. (2), während numerisches Zählen 158 Gipfel und 159 Täler ergibt. Der Fehler liegt innerhalb von 5 %, was suggeriert, dass die Systemsgröße statistisch akzeptabel ist. Tatsächlich liefern Vergrößerungen auf 2048 × 2048 Atome (Anfangsabstand 1,12σ) konsistente statistische Parameter mit dem kleineren System.

GFMD-Modell

Wechselwirkung zwischen Teilchen ist experimentell schwer zu erfassen [6, 27]. Kürzlich wurde Molekulardynamik zur Simulation von Teilchenwechselwirkungen genutzt, um molekulare Ursprünge von Kontakt-/Reibungsmechanismen zu untersuchen. Der Rechenaufwand ist jedoch für großskalige MD-Simulationen erheblich. Daher wird GFMD eingeführt, um die Oberfläche aufgrund ihrer hohen Effizienz zu simulieren. GFMD nutzt Molekulardynamik zur Simulation der Wechselwirkung der Grenzflächenatome (hier zwei Lagen), während die nicht-Grenzflächenlage, die üblicherweise elastisches Verhalten zeigt, durch Green'sche Funktion simuliert wird. Damit wird das große Atomensystem auf zwei Atomlagen an der Grenzfläche reduziert (wie in Abb. 1), was den Rechenaufwand drastisch senkt. Detaillierte Diskussionen zu GFMD finden sich in der Literatur [21-23, 28]. Im GFMD-Modell wird das Lennard-Jones (LJ) Potential zur Simulation der Teilchenwechselwirkung verwendet:

$$ u(r)=4\varepsilon \left[{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^{12}-{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^6\right] $$ (4)

wobei ε die Tiefe des Potenzialtopfs, σ die endliche Distanz bei null Wechselwirkungspotenzial und r der Teilchenabstand ist. Wir nehmen ε, σ und ε/σ als Energie-, Distanz- und Krafteinheit. Laut LJ-Potenzial ist die Wechselwirkungskraft null bei r = 2^1/6 σ ≈ 1,12σ. Für r > 1,12σ ist die Kraft anziehend; für r < 1,12σ abstoßend. Da wir Adhäsion nicht betrachten, wird die Abschneiddistanz auf 1,12σ gesetzt. Die Kristallstruktur für die Atomlage ist flächenzentriert kubisch (FCC). Aufgrund Symmetrie nehmen wir nur die Grenzflächenlage zur Oberflächengeometriebildung (Abb. 1), und der elastische Block unter der flachen Oberfläche wird durch Green'sche Funktion simuliert.

Kontaktcluster-Erkennungsmethode

Drei Skalen werden an der Grenzfläche beobachtet (Abb. 1): (1) atomare Skala, simuliert durch LJ-Potenzial; (2) Asperitäten-Skala, Gruppeneffekt von Kontaktaatomen; (3) makroskopische Skala, Gruppeneffekt von Kontaktclustern. Größe, Form, Lage und Verteilung der Kontaktcluster sind die kritische Brücke zwischen molekularem Verhalten und Grenzflächeneigenschaften. Auf Nanoskala ist der atomare Kontaktbereich schwer zu definieren [6]. Wir definieren hier ein Kontaktaatom durch seine normale Kraftkomponente f_z > 0. Anschließend werden verbundene Kontaktaatome als kontaktierender Cluster definiert. Die Labeling-Technik [29, 30] wird zur Cluster-Suche verwendet. Hier nutzen wir einen modifizierten Algorithmus zur Beschleunigung, der rekursives Suchen vermeidet. Der Algorithmus-Flussplan ist in Abb. 2 gezeigt, wo Atomkraftdaten aus GFMD-Simulation extrahiert werden. Der Algorithmus ist in acht Schlüsselschritte unterteilt:

Schritt 1. Start Zeilensuche und hole neue Atomdaten, d.h. suche Atome zeilenweise.
Schritt 2. Prüfe ob Atom in Kontakt. Wenn nicht, zurück zu Schritt 1. Wenn ja, nächster Schritt.
Schritt 3. Vergleiche aktuelles Atom mit vorherigem in gleicher Zeile. Wenn vorheriges auch in Kontakt, füge Atom in Cluster des vorherigen ein, label mit gleicher Nummer. Wenn vorheriges nicht in Kontakt, label mit neuer Nummer (vorherige + 1).
Schritt 4. Prüfe ob letztes Atom; wenn nicht, zurück zu Schritt 1, sonst Spaltensuche.
Schritt 5. Start Spaltensuche und hole neue Atomdaten, d.h. suche Atome spaltenweise.
Schritt 6. Prüfe ob Atom in Kontakt. Wenn nicht, zurück zu Schritt 5. Wenn ja, nächster Schritt.
Schritt 7. Vergleiche aktuelles Atom mit vorherigem in gleicher Spalte. Wenn vorheriges auch in Kontakt und zu anderem Cluster gehört, verschmelze aktuellen Cluster in Cluster des vorherigen, label Atome mit gleicher Nummer und speichere. Wenn vorheriges nicht in Kontakt oder zum selben Cluster gehört, nächster Schritt.
Schritt 8. Prüfe ob aktuelles Atom letztes; wenn nicht, zurück zu Schritt 5, sonst Suche beendet.

Numerisches Experimentdesign

Bekanntlich kann das Zwei-raue-Oberflächen-Kontaktproblem vereinfacht werden zu einem Problem mit einer kompositen starren rauen Oberfläche und einer flachen elastischen Oberfläche durch Einführung des äquivalenten Elastizitätsmoduls E*:

$$ \frac{1}{E^{\ast }}=\frac{1-{v}_1^2}{E_1}+\frac{1-{v}_2^2}{E_2} $$ (5)

wobei E₁ und E₂ die Elastizitätsmodule der oberen und unteren Oberfläche sind. Zur Vereinfachung betrachten wir eine starre raue Oberfläche im Kontakt mit einer glatten elastischen Oberfläche und untersuchen Bildung und Entwicklung des Kontaktclusters und sein Kraft-Flächen-Verhalten. In der folgenden Diskussion verwenden wir die oben generierte Oberfläche (obere Oberfläche starr und rau (E₁ = ∞), untere glatt und elastisch (E₂ = 3ε/σ³)), wobei beide v₁ und v₂ = 0,5 gesetzt sind. Unsere Systemsgröße ist 512 × 512 Atome (Anfangsabstand 1,12σ), periodische Randbedingungen in x-y Ebene. Elastischer Block-Tiefe ist 1024 Atomlagen (Anfangsabstand 1,12σ). In regulärer MD-Simulation bestünde das System aus 268.697.600 Atomen; GFMD reduziert auf 524.288 (zwei Atomlagen), wie in Abb. 1. Wir drücken die raue Oberfläche (oben) graduell in die flache elastische Oberfläche. Die Belastung der starren Oberfläche wird durch Verschiebung gesteuert. Jeder Verschiebungsbelastungsschritt ist 0,01σ, und der GFMD-Algorithmus aktualisiert jede Atomposition bis Konvergenzkriterium L¹-Norm = 0,01ε/σ. Maximale Iterationszahl ist 50.000 zur Vermeidung endloser Schleifen.

Ergebnisse und Diskussion

Verteilung und Entwicklung kontaktierender Cluster

Das Asperitäten-Modell betrachtet Asperitäten als kugelförmig oder elliptisch und vernachlässigt Wechselwirkung zwischen kontaktierenden Asperitäten. In dieser Arbeit werden die im Asperitäten-Modell verwendeten Asperitäten aus der oben generierten Oberfläche extrahiert. Im Asperitäten-Modell können potenzielle Kontaktasperitäten im Voraus durch Oberflächengeometrie basierend auf ihren Höhen bestimmt werden; d.h. Oberflächengipfel/Täler bilden Kontaktcluster gemäß ihrer Höhe. In Realität hat die Asperität jedoch irreguläre Form, und meist verschmelzen mehrere benachbarte Asperitäten zu einer großen, wie in Abb. 2 gezeigt. Es wird beobachtet, dass anfangs sechs unabhängige Asperitäten existieren, die mit steigender Kontaktkraft schließlich zu einem großen Kontaktcluster verschmelzen (Abb. 3). Dies suggeriert, dass die Annahme, der Inter-Asperitäten-Abstand sei groß genug für keine gegenseitige Beeinflussung, zu ungenauen Ergebnissen führen kann.

Abbildung 4 demonstriert, dass die Clusterzahl zunächst steigt und dann fällt, während die Kontaktfläche zunimmt, während die Oberflächenasperitäten immer mit der Kontaktfläche zunehmen. Dies ist auf den Verschmelzungseffekt aus Abb. 3 zurückzuführen.

Der Kontaktcluster-Verschmelzungseffekt wurde in sowohl Asperitäten-Modell als auch GFMD-Modell beobachtet. Bei gleicher Kontaktfläche ist die Kontaktclusterzahl im GFMD-Modell jedoch viel größer als im Asperitäten-Modell, wie in Abb. 5 gesehen. Die Kontaktclusterzahl im GFMD-Modell ist fast doppelt so hoch wie im Asperitäten-Modell (Abb. 5). Der Hauptgrund: Das Asperitäten-Modell berücksichtigt keine Inter-Asperitäten-Wechselwirkung. Im GFMD-Modell beeinflussen sich Kontaktcluster gegenseitig. Die von Kontaktclustern erzeugten Verschiebungsfelder sind kontinuierlich über die gesamte Oberfläche. Die Verschiebung des großen Ensembles von Clustern resultiert in neuer Geometrie auf der elastischen Oberfläche, was die Bildung neuer Kontaktcluster beeinflusst. Daher basiert die Bildung des Kontaktclusters nicht nur auf der Höhe der starren rauen Oberfläche, sondern kann auch durch Verformungen in der glatten elastischen Oberfläche beeinflusst werden. Dies ist auch in Abb. 6 beobachtbar, die Kontaktclusterverteilung bei verschiedenen Flächen für Asperitäten- und GFMD-Modell zeigt. Bei 5 % Kontaktfläche betragen Clusterzahlen 17 und 34 für Asperitäten- und GFMD-Modell; bei 10 % werden es 24 und 52. Dies suggeriert, dass Kontaktcluster im GFMD-Modell diskreter sind. Im GFMD-Modell ist die durchschnittliche Clustergröße kleiner, aber die meisten Cluster fallen mit Gipfeln/Tälern zusammen (Abb. 7). Zudem betrachtet das Asperitäten-Modell entweder Täler oder Gipfel als potenzielle Asperitäten (abhängig von Kontaktseite). In Abb. 8 finden wir jedoch, dass mit steigender Kontaktfläche sowohl Gipfel als auch Täler Kontaktcluster bilden können. Bei kleiner Kontaktfläche sind die meisten kontaktierenden Asperitäten Oberflächentäler. Bei Kontaktfläche > 10 % der Oberfläche können auch immer mehr Gipfel als Kontaktcluster bilden.

Kontaktfläche-Last-Beziehung

Die Kraft-Flächen-Beziehung unter Normallast ist essenziell für Kontaktverhalten. In früheren Modellen werden Asperitäten meist als kugelförmig und elliptisch betrachtet. Reale Kontaktcluster sind jedoch weit komplexer. In diesem Abschnitt verglichen wir drei Modelle Kraft-Flächen-Beziehung: (1) GFMD-Modell; (2) Asperitäten-Modell (AM), in dem Asperitäten direkt aus der Oberfläche extrahiert werden bevor GFMD sie in die flache elastische Oberfläche drückt (dies stellt sicher, dass keine unerwartete Kontaktclusterbildung während Kontakt auftritt); (3) Greenwood-Williamson-Modell (G-W), in dem Asperitäten in äquivalente Kugeln umgewandelt werden. Der Kugelradius wird erhalten durch:

$$ \frac{1}{R}=\frac{8}{3}{\left(\frac{m_4}{\pi}\right)}^{1/2} $$ (6)

Für GFMD-Modell und Asperitäten-Modell mit exakt aus Oberfläche extrahierten Asperitäten können die Gesamtkräfte an der Grenzfläche durch Summation jedes Kontaktclusters Kraft aus GFMD erhalten werden. Für G-W-Modell nutzen wir Hertz-Theorie für jede Asperitätskraft (mit gleichen Materialeigenschaften wie GFMD), sodass Gesamtkraft F ausgedrückt wird als:

$$ F=\sum \limits_{i=1}^n{f}_i=\sum \limits_{i=1}^{\mathrm{N}}\frac{4}{3}{E}^{\ast }{R}^{1/2}{\left(d-{z}_i\right)}^{3/2} $$ (7)

wobei Z_i Asperitätshöhe, d angewendete Verschiebung an starrer Oberfläche und f Asperitätskontaktkraft basierend auf Hertz-Kontakttheorie ist.

In Abb. 9 verglichen wir die drei Modelle Kraft-Flächen-Beziehungen, die lineare Relationen zeigen. Die Gesamtkraft im GFMD ist viel kleiner als im Asperitäten- und G-W-Modell. F im Asperitäten-Modell ist 1,80-mal so groß wie GFMD-Vorhersage, und F im G-W-Modell 1,54-mal. Dies erklärt sich durch RMS-Neigung der Kontaktcluster. Bekanntlich ist Normallast proportional zur RMS-Neigung, d.h. L ∝ M₂^1/2. Im GFMD-Modell besteht Kontaktfläche aus mehr Clustern, deren Penetration flacher ist als im Asperitäten-Modell. Da Asperitätenspitzen-Neigung kleiner ist, ist auch RMS-Neigung für Kontaktcluster im GFMD-Modell kleiner. Abb. 10 zeigt Kontaktcluster-RMS-Neigungen für die drei Modelle. Die GFMD-Kontaktcluster-RMS-Neigung ist kleiner als die Oberflächen-RMS-Neigung von 0,077, während beide anderen Modelle größere Kontaktcluster-RMS-Neigungen als die Oberflächen-RMS-Neigung aufweisen.

Schlussfolgerungen

Um die Entwicklung der Kontaktfläche vom atomaren zum makroskopischen Maßstab zu finden, wurde das fraktale raue Oberflächenkontaktproblem mit GFMD-Modell untersucht. Wir definierten atomaren Kontakt durch Existenz einer Kraft > 0 und untersuchten drei Längenskalen im gleichen System. Es zeigt sich, dass Inter-Asperitäten-Wechselwirkung essenziell für Kontaktcluster-Bildung ist. Einige Cluster sind nah genug, um zu großen zu verschmelzen. Der reale Kontaktbereich ist weit komplexer als durch Oberflächengeometrie vorhergesagt aufgrund elastischer Verformung in der glatten elastischen Oberfläche. Die meisten Kontaktcluster-Lagen fallen mit Oberflächengipfeln/Tälern zusammen. Allerdings ist Clustergröße kleiner, und ihre Bildung wird nicht durch Oberflächenasperitätenhöhen bestimmt. Mit steigender Kontaktfläche können sowohl Gipfel als auch Täler Kontaktcluster bilden. Im GFMD-Modell ist die Kraft viel kleiner als im Asperitäten-Modell, während Kontaktclusterzahl im GFMD viel größer ist. Die RMS-Neigung der Kontaktcluster im GFMD ist kleiner als im Asperitäten-Modell, was erklärt, warum Asperitäten-Modell zu höherem Druck führt. Unsere Ergebnisse suggerieren, dass reale Kontaktfläche nicht einfach durch Oberflächengeometrie vorhersagbar ist. Die tatsächliche Kontaktfläche mit Normallast ist wichtig für folgende Reibungsforschung.